2011学年第一学期上海市长宁区高三教学质量检测数学试卷（文、理）

长宁区2011学年第一学期高三教学质量检测
数学试卷（文、理）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式的解集是.
2.行列式中的代数余子式的值为.
3.从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则该样本的方差是 .
4.等比数列的首项与公比分别是复数（是虚数单位的实部与虚部，
则数列的各项和的值为 。
5. 随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为
（精确到0.001）.
6.（文）中，为所对的边，且，则
（理）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得.,米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高=_________.
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n值是8，则从集合中所有满足条件的S0值为
第6题图
8. （文）已知是等差数列，，其前10项和，则其公差
（理）圆锥和圆柱的底面半径和高都是R，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为______．
9．（文）圆锥和圆柱的底面半径和高都是R，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为______．
（理）设为 的展开式中含 项的系数，为 的展开式中二项式系数的和，，则能使 成立的n的最大值是________．
10. （文）若的展开式中的第项为，则___________．
（理）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[3，3]，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是_________.
11.（文）同理科第10题
（理）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则公比为
12. （文）右数表为一组等式，如果能够猜测，则 ．
（理），，，则的
最小值是　 　　.
13.已知函数 的定义域为R，且对任意
，都有。
若，，则 .
14．（文）已知函数 的定义域为R，且对任意 ，都有。若，，则 .
（理）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则__________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15.下列命题正确的是 （ ）
A．若，则且
B．中，是的充要条件
C．若，则
D．命题“若，则”的否命题是“若，则”
16.已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是( )
A. 1 B. 2 C. －2 D. -1
17．下列命题中 （ ）
① 三点确定一个平面；
② 若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；
③ 同时垂直于一条直线的两条直线平行；
④ 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12.
正确的个数为 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
18．已知，为的反函数.若，那么与在同一坐标系内的图像可能是 （ ）
A B C D
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．
19.（本题满分12分）
设（其中是虚数单位）是实系数方程的一个根，求的值.
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分.
在正四棱柱中，已知底面的边长为2，点P是的中点，直线AP与平面成角.
（文）（1）求的长；
（2）求异面直线和AP所成角的大小.(结果用
反三角函数值表示)；
（理）（1）求异面直线和AP所成角的大小.(结果用
反三角函数值表示) ；
（2）求点到平面的距离.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知为锐角，且.
（1）设，若，求的值；
（2）在中，若，，，求的面积.
22.(本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设函数是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）（文）当时，试判断函数单调性并求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
（理）若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；
（3）若f(1)＝，且g(x)＝a 2x＋a - 2x－2m f(x) 在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．
23.(本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
（文）已知数列中，
（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.
（理）对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.
（1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；
（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；
（3）设数列，构造，，求使对恒成立的的最小值.
长宁区2011学年第一学期高三教学质量检测
数学试卷评分标准
填空题（每小题4分，一共56分）
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 2 3 （文）（理） 0
8 9 10 11 12 13 14
（文）（理） （文）（理）4 （文）1（理） （文）（理） （文）4（理） （文）（理） （文）（理）1028
选择题（每小题5分，一共20分）
题号 15 16 17 18
答案 B D B C
解答题
19、（本题满分12分）
解：………………2分
， ………………4分
因此解得，………………6分
又解得，………………8分
因此，………………12分
20、（本题满分12分）
（文）解: （1）连结BP，设长方体的高为h ，因为AB⊥平面 ，
所以，∠APB即为直线AP与平面所成的角。 …………………………3分
，由得．……………………6分
（2）又因为，
所以是异面直线和AP所成的角． ………………………………8分
在中，，，，…………………10分
所以，，即……………12分
（理）解: （1）连结BP，设长方体的高为h ，
因为AB⊥平面 ，所以，∠APB即为直线AP与平面所成的角。 …………………………2分
，由得．…………………4分
又因为，所以是异面直线和AP所成的角． ………………………………5分
在中，，，，…………………6分
所以，，即……………8分
（2）设点到平面的距离为，，
， ……………10分
由，得，
。 ……………12分
21、（本题满分14分）
（1）
……………2分
又∵为锐角
， ，……………4分
， ……………6分
（2）由（1）得A=,而,
根据正弦定理得， ……………8分
求得 ……………10分
， ……………12分
从而求得的面积。………14分
22、（本题满分18分）
解(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0， …………………… 2分
∴1-（k－1）＝0，∴k＝2， …………………… 4分
（2）（文）
，单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。
…………………… 6分
原不等式化为：f(x2＋2x)>f(4－x)
∴x2＋2x<4－x，即x2＋3x－4<0 …………………… 8分
∴，
∴不等式的解集为{x|}． …………………………10分
（2）（理）
………………6分
单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。 ………………7分
不等式化为
恒成立，…………… 8分
，解得。…………………… 10分
(3)∵f(1)＝，，即
……………………………………12分
∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.
令t＝f(x)＝2x－2－x，
由(1)可知f(x)＝2x－2－x为增函数
∵x≥1，∴t≥f(1)＝，
令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2　(t≥)………………15分
若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2………… 16分
若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去……17分
综上可知m＝2. ………………………………18分
23、（本题满分18分）
（文）（1），不是等比数列；………2分
，及成等比数列，
公比为2， ……………6分
（2），
当为偶数时，
；……………8分
当为奇数时，
.……………10分
因此，……………12分
（3）
。 ……………13分
， ……………14分
因此不等式为 3(1-k2)3(-1)2，
k，即k-(2-1)，
……………16分
F(n)=-(2-1)单调递减；F(1)= 最大，
，即的最小值为。……………18分
（理）
（1）等，答案不唯一；……………4分
（2），当时最小值为9,；……………6分
，则,
因此，时，最大值为6，……………9分
所以，，数列是数列的“下界数列”；……………10分
（3），…11分
， ……………12分
不等式为，，，…13分
设，则，…………15分
当时，单调递增，时，取得最小值，因此， ……………17分
的最小值为 ……………18分
x
0
y
1
2
3
y=f(x)
y=g(x)
第10题理