上海市静安区2011学年第一学期期末教学质量检测高三年级数学试卷（理）

静安区2011学年第一学期期末教学质量检测
高三年级数学试卷（理）
（本试卷满分150分 考试时间120分钟） 2012.1
考生注意：
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．设为虚数单位，若复数（）的实部与虚部相等，则实数的值为 .
2. 函数的定义域为 .
3. 若二项式的展开式中，的系数为，则常数的值为 .
4. 若关于的一元二次方程两根异号，则实数的取值范围是 .
5. 若，则关于的不等式组的解集为 .
6. 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本.若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 种.（结果用数值表示）
7. 函数在闭区间上的最小值为 .
8. 已知向量、的夹角为150，，，则= .
9. 已知圆锥侧面积为cm2，高为cm，则该圆锥底面周长为 cm.
10.已知等差数列的前10项之和为30，前20项之和为100，则= .
11.已知为锐角，为钝角，，，则的值为 .
12.从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为 .
13.记，已知函数是偶函数（为实常数），则函数的零点为 .（写出所有零点）
14.已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称，则的取值集合是 .
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．下列命题正确的是 …………………………………………………………………( )
, 则()
若数列、的极限都不存在，则的极限也不存在
若数列、的极限都存在,则的极限也存在
设，若数列的极限存在,则数列的极限也存在
16. 若、为锐角△的两内角，则点是…( )
(A)第一象限的点 (B)第二象限的点 (C)第三象限的点 (D)第四象限的点
17．若、、都是复数，则“”是“” 的………( )
(A) 充要条件 (B) 既非充分条件又非必要条件
(C) 充分而非必要条件 (D) 必要而非充分条件
18．若，则，满足的条件是…………………………………( )
(A)且 (B) 且或且
(C) 且， (D) 且
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
（1）已知、为正实数，，，.试比较与的大小，并指出两式相等的条件；
（2）求函数，的最小值.
20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分6分.
如图，在四棱锥的底面梯形中，，，，，.又已知平面，.求：（1）异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
（2）四棱锥的体积；
21．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.
某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足. 地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.求：
（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？
（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=）
22． (本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.
已知且，数列是首项与公比均为的等比数列，数列满足（）.
求数列的前项和；
如果对于，总有，求的取值范围.
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数，.
（1）求的取值范围，使在闭区间上是单调函数；
（2）当时，函数的最小值是关于的函数.求的最大值及其相应的值；
（3）对于，研究函数的图像与函数的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.
静安区2011学年第一学期期末教学质量检测
高三年级数学试卷（理）解答与评分建议
1．； 2．； 3． 2；
4．； 5．； 6．864
7．； 8．1； 9．
10．14； 11． ； 12．
13．； 14．
15——18 C D C B
19．（1）作差比较：=.………………4分
所以，.…………………………………………6分
当时，两式相等. …………………………………………8分
（2）解法1：.……………3分
当，即时，，函数取得最大值25. ……6分
解法2：，令，则,
设，则，化简并变形得；
因为， ……………3分
当且仅当时等号成立，且时递增，时递减，或时，，所以，，当即时取得最大值25。 ……6分
20．（1）连接，过点作交于点，因为，所以，从而，…………2分
解法1：延长至，使得，则且，，，.5分
在△中，.……8分
所以，异面直线与所成角的大小为.………9分
解法2：建立如图所示的空间直角坐标系.
则.
所以，，………………5分
设异面直线与所成角的大小为，
则.………………8分
所以异面直线与所成角的大小为.………………9分
（2）底面梯形面积为.四棱锥的体积为底面积高，……………3分
所以，四棱锥的体积为.………………………6分
21．（1）地铁营运第年的收入，…………2分
根据题意有：，………………………………4分
解得9年.
（或者，解得10年）
答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金. …………6分
（2）市政府各年为1公里地铁支付费用
第1年：；
第2年：；
......
第年：.………………………………2分
年累计为：
，……4分
将代入得，亿. ………8分
答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为一公里地铁共支付19541135元费用. ………………………………………………9分
22．（1）由已知有，.2分
所以，
，5分
所以，
因为，所以.……………………8分
（2）即.由且得.2分
所以或……………………………3分
即或对任意成立，………………………5分
而，且，所以或.……………8分
23．（1）函数图像的对称轴为.
因为在闭区间上是单调函数，所以或.
故或. ………………………………………………4分
（2）当时，；
当时，；
当时，. ………………………………2分
所以，
分段讨论并比较大小得，当时，有最大值4. ………………6分
（3）公共点的横坐标满足.即是方程=的实数解.
设，则直线与有公共点时的横坐标与上述问题等价.
当或时，；
解方程即，得，；……1分
当时，.
解方程即，得或；……2分
研究结论及评分示例：（满分6分）
结论1：无论取何实数值，点必为两函数图像的公共点. ………………1分
结论2：（对某些具体的取值进行研究）. ………………………………2分
当时，两图像有一个公共点；
当时，公共点有2个，坐标为、；
当时，公共点有2个，坐标为、.
（对每一个具体的取值，结论正确给1分，总分值不超过2分）
结论3：当时，公共点有3个，坐标为、、. ………………………………4分
结论4：叙述完整，结论正确，给满分.具体包括下面几个方面：
当时，公共点有2个，坐标为、；
当时，公共点有2个，坐标为、.
当时，公共点有1个，坐标为.
当时，公共点有3个，坐标为、、. ……………………………………………6分
P
D
C
B
A
P
D
C
B
A
E
F
P
D
C
B
A
E
F
x
z
y