18.2.2 菱形的判定 课件（共18张PPT）

第十八章 平行四边形
2021年春人教版八年级（下）数学
18.2.2 菱形的判定
用菱形的定义，我们容易得到，一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外还有没有其他判定方法？
新课导入
1.能从研究菱形性质的逆命题正确性中得到菱形的判定.
2.能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形.
菱形的判定的推导与归纳.（重点）
菱形的判定的正确运用.（难点）
学习目标
菱形的判定定理
与研究平行四边形、矩形的判定方法相似，我们研究菱形的性质定理得逆命题，看看他们是否成立.
命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
探究新知
已知：四边形ABCD 是平行四边形，且AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD 是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，又∵AC⊥BD,
∴AB=BC（线段垂直平分线上
的点到两个端点的距离相等）
∴ ABCD是菱形.（菱形的定义）
命题2：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：平移BD到A交CB的延长线于E，
∵BD∥AE 且BD=AE，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴AD∥BC， 又 AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
又AB=BC，
∴ ABCD是菱形.
E
1
2
3
四条边都相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定定理
例4 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证： ABCD是菱形.
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形， AC⊥ BD.
∴ ABCD是菱形.
1.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
解：这是一个菱形.
AO=CO= AC=6，
BO=DO= BD=3 .
针对练习
在△ABO中，∵AO2+BO2=（3 ）2+62=81，
AB2=92=81，∴△ABO是直角三角形，
∴AC⊥BD，∴ ABCD是菱形.
S菱形ABCD= AC · BD
=36
1. ABCD的对角线AC平分∠BAD，则 ABCD____(填“是”或“不是”)菱形.
是
2.四边形ABCD是平行四边形，请补充一个条件：________，使它是菱形.
AB=BC
课堂练习
3.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BO平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AE∥BF，∴∠EAC=∠ACB.
又∵AC平分∠BAD，
∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,∴AB=BC.
同理：AB=AD，∴AD=BC，而AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
4，如图，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA.
请你以其中的三个作为题设，以“四边形ABCD是菱形”作为结论.
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例加以说明.
解：（1）若①②③，则四边形ABCD是菱形.
∵AC⊥BD，AC平分BD,
∴∠BOC=∠DOA=90°，BO=OD.
又∵AD∥BC，∴∠OBC=∠ODA.
∴△BOC≌△DOA，∴OC=OA.
∴AC、BD互相垂直且平分，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）若②③④，则四边形ABCD是菱形.
反例：当四边形ABCD是矩形时，满足②③④，但不是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定定理
课堂小结
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