24.7.1弧长与扇形面积 课件（共34张PPT）

第1课时 弧长与扇形面积
24.7 弧长与扇形面积
第24章 圆
2021年春沪科版九年级数学下册
1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）
2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
（重点）
学习目标
如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
新课导入
一，与弧长相关的计算
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
O
R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
观察与思考
探究新知
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为
知识要点
弧长公式
·
O
A
解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的度数为n°，则
解得 n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
例1 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径 R =10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转多少度（假设绳索与
滑轮之间没有滑动， 取3.14）？
例题讲解
例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法. 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里≈158.5 m). 当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离
直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，
由此估算出了地球的周长，你能
进行计算吗？
O
α
A
S
）
O
α
A
S
解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长为C，则
答：地球的周长约为39625km.
=250000 (希腊里)
≈39625 (km).
∴
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l =2×700+1570 =2970 (mm).
答：管道的展直长度为2970mm．
700mm
700mm
R=900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
针对练习
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
二，与扇形面积相关的计算
概念学习
探究新知
判断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
针对练习
合作探究
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
圆心角占
周角的比例
扇形面积占
圆面积的比例
扇形的
面积
=
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
知识要点
___大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关，
___ 越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O ●
A
B
D
C
E
F
O ●
A
B
C
D
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
例3 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
1. 已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇= ．
2. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .
针对练习
例4 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
证明：连接OC，如图．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠ACO=90°．
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
解：∵∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°，
在Rt△OCD中，
例5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
(1)
O .
B
A
C
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
O.
B
A
C
D
(2)
O.
B
A
C
D
(3)
(2) 水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC. 过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.
(3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积 = 扇形OAB的面积 - △OAB 的面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C，连接AC.
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴ AD是线段OC的垂直平分线，
∴ AC＝AO＝OC.
　从而 ∠AOD＝60?，∠AOB=120?.
O.
B
A
C
D
(3)
　　有水部分的面积：
　　S =S扇形OAB - SΔOAB
O
B
A
C
D
(3)
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
知识要点
弓形的面积公式
C
B．
C. D.
1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 .
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC按顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ）
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为90°的扇形弧长之和，即
4.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
5. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O
A
B
D
C
E
解：
6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
A
B
A'
B'
C
解：由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA'
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
弧长
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
公式
课堂小结
谢谢聆听