7.4.1二项分布练习题2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分布

二 项 分 布
1.某人进行投篮训练100次,每次命中的概率为0.8(相互独立),则命中次数的标准差等于(　　)
A.20 B.80 C.16 D.4
2.已知某同学每次射箭射中的概率为p,且每次射箭是否射中相互独立,该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784,则p=(　　)
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
3.甲、乙两队进行友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则甲队战胜乙队的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(多选题)若X～B(20,0.3),则(　　)
A.E(X)=3　　　　 B.P(X≥1)=1-0.320
C.D(X)=4.2 D.P(X=10)=×0.2110
5.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________.?
6.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)=________.?
7.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
8.现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题,设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列.
9.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张,每人投三类票中的任何一类的概率都是,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.
(1)求该公司决定对该项目投资的概率;
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.
扩展练习
1.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,成功卫冕,收到习近平总书记的贺电,团结协作、顽强拼搏是中国女排精神,为学习女排精神,A,B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.已知某人每次投篮投中的概率均为,计划投中3次则结束投篮,则此人恰好在第5次结束投篮的概率是________.?
4.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是________.?
5.在4次独立重复的试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________.?
6.如图是高尔顿板的改造装置示意图,小球从入口处自由下落,已知在下落过程中,小球遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋的概率P(A);
(2)在入口处依次放入4个小球,设落入A袋中的小球个数为ξ,求ξ的分布列.
参考答案
1.某人进行投篮训练100次,每次命中的概率为0.8(相互独立),则命中次数的标准差等于(　　)
A.20 B.80 C.16 D.4
分析：选D.命中次数服从ξ～B(100,0.8);
所以命中次数的标准差等于=4.
2.已知某同学每次射箭射中的概率为p,且每次射箭是否射中相互独立,该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784,则p=(　　)
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
分析：选C.某同学每次射箭射中的概率为p,且每次射箭是否射中相互独立,该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784,则1-=0.784,解得p=0.7.
3.甲、乙两队进行友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则甲队战胜乙队的概率为(　　)
A. B. C. D.
分析：选C.甲、乙两队进行友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,甲队战胜乙队包含两种情况:
①甲连胜2局,概率为p1==,
②前两局甲队一胜一负,第三局甲队胜,概率为p2=×××=,
则甲队战胜乙队的概率为p=p1+p2=+=.
4.(多选题)若X～B(20,0.3),则(　　)
A.E(X)=3　　　　 B.P(X≥1)=1-0.320
C.D(X)=4.2 D.P(X=10)=×0.2110
分析：选CD.由X～B(20,0.3),所以E(X)=20×0.3=6,所以A错误;计算P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.720,所以B错误;
又D(X)=20×0.3×0.7=4.2,所以C正确;
计算P(X=10)=×0.310×0.710=×0.2110,
所以D正确.
5.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________.?
分析：袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率均为,所以3次中恰有2次抽到黄球的概率为:
P==.
答案:
6.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)=________.?
分析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故ξ～B.
即有P(ξ=k)=×,k=0,1,2,3,4,5,所以P(ξ=4)=×=.
答案:
7.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
分析：(1)甲上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,
故X～B.P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.故X的分布列为
X 0 1 2 3
P



X的数学期望为E(X)=3×=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y,则Y～B,
由题意,M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0},
由事件的独立性和互斥性,得
P(M)=P{X=3,Y=1}+P{X=2,Y=0}=P{X=3}P{Y=1}+P{X=2}P{Y=0}=×+×
=.
8.现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题,设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列.
分析：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=···=,
P(X=1)=···+·
··=,
P(X=2)=···
+···=,
P(X=3)=···=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P



9.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张,每人投三类票中的任何一类的概率都是,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.
(1)求该公司决定对该项目投资的概率;
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.
分析：(1)该公司决定对该项目投资的概率为P=+=.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:
“同意”票张数 “中立”票张数 “反对”票张数
事件A 0 0 3
事件B 1 0 2
事件C 1 1 1
事件D 0 1 2
P(A)==,P(B)==,
P(C)==,P(D)==.
因为A,B,C,D互斥,
所以P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.
扩展练习
1.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
分析：选B.因为随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),
又P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=,
解得p=,所以η～B,
则P(η≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)=1--××=.
2.在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,成功卫冕,收到习近平总书记的贺电,团结协作、顽强拼搏是中国女排精神,为学习女排精神,A,B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为(　　)
A. B. C. D.
分析：选D.为学习女排精神,A,B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为,设各局比赛相互间没有影响,在此次比赛中,四局结束比赛包含两种情况:①前3局A两胜一负,第四局A胜;②前3局A一胜两负,第四局A负.则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为P=+=.
3.已知某人每次投篮投中的概率均为,计划投中3次则结束投篮,则此人恰好在第5次结束投篮的概率是________.?
分析：依题意,恰好在第5次结束投篮,则前4次有2次投中,且第5次投中,所以概率为:P=×××=.
答案:
4.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是________.?
分析：依题意得,质点P移动五次后位于点(1,0),则这五次移动中必有某两次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于··=.
答案:
5.在4次独立重复的试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________.?
分析：由题知p(1-p)3≤p2(1-p)2,
即4(1-p)≤6p,所以p≥0.4,又0答案:0.4≤p<1
6.如图是高尔顿板的改造装置示意图,小球从入口处自由下落,已知在下落过程中,小球遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋的概率P(A);
(2)在入口处依次放入4个小球,设落入A袋中的小球个数为ξ,求ξ的分布列.
分析：(1)记“小球落入A袋中”为事件A,记“小球落入B袋中”为事件B,则事件A的对立事件为B,而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故P(B)=+=,从而P(A)=1-P(B)=.
(2)ξ可能的取值为0,1,2,3,4.
P(ξ=0)=·=;
P(ξ=1)=·=;
P(ξ=2)=·=;
P(ξ=3)=·=;
P(ξ=4)=·=.所以ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3 4
P