7.4.2超几何分布练习题2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分布

超几何分布
1.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球.若从中任取2个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任取3个,那么至少有一个是一等品的概率是(　　)
A. B.
C. D.以上均不对
4.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球的个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为(　　)
A. B. C. D.
5.10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为,则a=________.?
6.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为:
ξ 0 1 2
P ____ ____ ____
7.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的概率分布.
8.某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况:有20人参加1次活动,有50人参加2次活动,有30人参加3次活动.
(1)从这些学生中任选两名,求恰好有一名参加1次活动的概率;
(2)从这些学生中任选两名,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列.
扩展练习
1.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本共有(　　)
A.2本 B.3本 C.4本 D.5本
2.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是好的
D.至多有2个是坏的
3.某国科研合作项目成员由11个美国人,4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一国家的概率为________.?
4.在20瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,从中任取2瓶,取到已过保质期的饮料的概率为________.?
5.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的概率分布.
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求顾客乙中奖的概率;
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的概率分布.
6.在医学、生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.用X表示笼内还剩下的果蝇的只数.
(1)写出X的分布列;
(2)求P(X≥4).
参考答案
1.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球.若从中任取2个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
分析：选D.由题意得P==.
2.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　)
A. B. C. D.
分析：选A.正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时,P1==.
当1个正品3个次品时,P2===.
所以正品数比次品数少的概率为P1+P2=.
3.有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任取3个,那么至少有一个是一等品的概率是(　　)
A. B.
C. D.以上均不对
分析：选D.“至少有一个是一等品”包含取出的3个中有1个一等品,取出的3个中有2个一等品和取出的3个中有3个一等品三种情况,其概率应为.
4.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球的个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为(　　)
A. B. C. D.
分析：选C.由题意得取出的3个球必为2个旧球,1个新球.故P(X=4)=
=.
5.10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为,则a=________.?
分析：根据题意,得=,解得a=2或a=8.
答案:2或8
6.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为:
ξ 0 1 2
P ____ ____ ____
分析：P(ξ=0)==,P(ξ=1)===,P(ξ=2)==.
答案:　　
7.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的概率分布.
分析：(1)一次取2个球共有=36种可能情况,2个球颜色相同共有++
=10种可能情况,
所以取出的2个球颜色相同的概率P==.
(2)X的所有可能取值为4,3,2,则P(X=4)==,P(X=3)==,
于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=,
所以X的概率分布列为
X 2 3 4
P


8.某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况:有20人参加1次活动,有50人参加2次活动,有30人参加3次活动.
(1)从这些学生中任选两名,求恰好有一名参加1次活动的概率;
(2)从这些学生中任选两名,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列.
分析：(1)由题意知,若设X为任选两名学生中参加1次活动的人数,则X服从参数为N=100,M=20,n=2的超几何分布,故P(X=1)==.
(2)ξ的可能取值为0,1,2.
从这些学生中任选两名,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件A,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件B,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件C,易知P(ξ =1)=P(A)+
P(B)=+=,P(ξ=2)=P(C)==,P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=
.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P


扩展练习
1.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本共有(　　)
A.2本 B.3本 C.4本 D.5本
分析：选C.设语文课本n本,则数学课本有7-n本(n≥2).则2本都是语文课本的概率为=,由组合数公式得n2-n-12=0,解得n=4(负值舍去).
2.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是好的
D.至多有2个是坏的
分析：选C.“X=k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”,则P(X=k)=(k=1,2,3,4),
所以P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故选C.
3.某国科研合作项目成员由11个美国人,4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一国家的概率为________.?
分析：成员有11+4+5=20人,从中任选2人的不同选法有种,其中不属于同一国家的有·+·+·种,根据等可能性事件发生的概率计算公式,可得所求概率为P==.
答案:
4.在20瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,从中任取2瓶,取到已过保质期的饮料的概率为________.?
分析：取到已过保质期饮料的瓶数服从超几何分布,其中参数为N=20,M=2,
n=2,
则所求事件的概率为1-=1-=.
答案:
5.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的概率分布.
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求顾客乙中奖的概率;
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的概率分布.
分析：(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X的取值只有1和0两种情况.P(X=1)===,则P(X=0)=1-P(X=1)=1-=.
因此X的概率分布为
X 0 1
P

(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类:所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.
故所求概率P===.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且P(Y=0)===,P(Y=10)=
==,P(Y=20)===,P(Y=50)===,P(Y=60)===.
因此随机变量Y的概率分布为
Y 0 10 20 50 60
P




6.在医学、生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.用X表示笼内还剩下的果蝇的只数.
(1)写出X的分布列;
(2)求P(X≥4).
分析：(1)随机变量X的所有取值为0,1,2,3,4,5,6.
试验相当于把8只不同的蝇子排成一列,有种排列方法.由题意得P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==.
故随机变量X的分布列为:
X 0 1 2 3 4 5 6
P






(2)P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=++=.