8.3.2.2球的表面积和体积教案2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步Word含答案解析

第2课时　球的表面积和体积
(教师独具内容)
课程标准：知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
教学重点：球的表面积、体积公式及其应用．
教学难点：与球有关的几何体的表面积和体积的计算．
核心素养：通过有关球的表面积和体积的计算问题培养直观想象和数学运算素养.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)决定球的大小的因素是球的半径．(　　)
(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)
(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝S.(　　)
2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是(　　)
A． B．
C． D．2πc2
(2)表面积为4π的球的半径是____.
(3)直径为2的球的体积是____.
(4)已知一个球的体积为，则此球的表面积为____.
题型一　球的表面积与体积
例1　(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积；
(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(3)已知球的体积为，求它的表面积．
[跟踪训练1]　(1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为____.
(2)已知球的大圆周长为16π cm，求这个球的表面积．
题型二　球的截面问题
例2　一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A．π B．4π
C．4π D．6π
[跟踪训练2]　(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　)
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
(2)球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为____.
题型三　与球有关的切、接问题
例3　(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为(　　)
A．4∶3 B．3∶1
C．3∶2 D．9∶4
(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
[跟踪训练3]　(1)已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是(　　)
A．27 B．16
C．9 D．3
(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B．πa2
C．πa2 D．5πa2
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)
A． B．
C． D．
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A． B．16π
C．9π D．
3．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)
A．1倍 B．2倍
C.倍 D．倍
4．一个距离球心为的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为____.
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
一、选择题
1．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为(　　)
A． B．
C． D．
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)
A． B．
C．8π D．
3．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是(　　)
A．20π B．25π
C．50π D．200π
4. 如图所示，扇形的中心角为，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，若△ABO旋转得到的几何体体积为V1，弓形AB旋转得到的几何体积为V2，则V1∶V2的值为(　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．1∶2 D．1∶4
5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是(　　)
A．96 B．16
C．24 D．48
二、填空题
6. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是____ cm.
7．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于____.
8．已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为____.
三、解答题
9．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
10. 如图，AB是半径为R的球的直径，C为球面上一点，且∠BAC＝30°，求图中阴影区域构成的几何体的表面积及其体积．
1．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为 (　　)
A． B．
C． D．
2．(多选)正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为24π，则正四棱锥P－ABCD的高可能是(　　)
A．3＋ B．3－
C．2＋ D．－2
3．已知正三棱柱的体积为3 cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为____ cm2.
4．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积约是多少(π≈3.14，结果精确到0.1 cm3)?
(2)要在2500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100 g，那么共需胶约多少克(π≈3.14)?
5．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：
(1)棱锥的表面积；
(2)内切球的表面积与体积．
第2课时　球的表面积和体积
(教师独具内容)
课程标准：知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
教学重点：球的表面积、体积公式及其应用．
教学难点：与球有关的几何体的表面积和体积的计算．
核心素养：通过有关球的表面积和体积的计算问题培养直观想象和数学运算素养.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)决定球的大小的因素是球的半径．(　　)
(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)
(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝S.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是(　　)
A． B．
C． D．2πc2
(2)表面积为4π的球的半径是____.
(3)直径为2的球的体积是____.
(4)已知一个球的体积为，则此球的表面积为____.
答案　(1)C　(2)1　(3)　(4)4π
题型一　球的表面积与体积
例1　(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积；
(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(3)已知球的体积为，求它的表面积．
[解]　(1)∵球的直径为6 cm，∴球的半径R＝3 cm.
∴球的表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)，
球的体积V球＝πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即R＝4.
∴V球＝πR3＝π×43＝.
(3)∵V球＝πR3＝，∴R3＝125，R＝5.
∴S球＝4πR2＝100π.
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
[跟踪训练1]　(1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为____.
(2)已知球的大圆周长为16π cm，求这个球的表面积．
答案　(1)　(2)见解析
解析　(1)设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得
∴
∴它们的体积和为πR3＋πr3＝.
(2)设球的半径为R cm，由题意可知2πR＝16π，解得R＝8，
则S球＝4πR2＝256π(cm2).
题型二　球的截面问题
例2　一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A．π B．4π
C．4π D．6π
[解析]　如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，∴V＝π×()3＝4π.
[答案]　B
球的截面的性质
(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝.
[跟踪训练2]　(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　)
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
(2)球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为____.
答案　(1)A　(2)6
解析　(1)如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝π×53＝(cm3)．
(2)如图，由已知条件知球的半径R＝10，截面圆的半径r＝8，∴球心到截面的距离h＝＝6.
题型三　与球有关的切、接问题
例3　(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为(　　)
A．4∶3 B．3∶1
C．3∶2 D．9∶4
(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
[解析]　(1)画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°.
又∠PCB＝90°，∴CB＝PC＝r，PB＝2r，∴圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2.
(2)作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.
[答案]　(1)C　(2)B
[条件探究]　将本例(2)中的长方体改为棱长为a的正四面体，则球的表面积如何求？
解　如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE.
∵棱长为a，∴BE＝a×＝a.
∴在Rt△ABE中，AE＝ ＝a.
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝a，∴S球＝4π×2＝πa2.
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝，如图(2)．
3．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为2R＝a.
[跟踪训练3]　(1)已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是(　　)
A．27 B．16
C．9 D．3
(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B．πa2
C．πa2 D．5πa2
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则＝3.由题意，知πr3＝1，则外接球的体积是πR3＝27×πr3＝27.故选A．
(2)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是×π×13＝.
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A． B．16π
C．9π D．
答案　A
解析　如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOE中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，∴该球的表面积为4πr2＝4π×2＝.
3．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)
A．1倍 B．2倍
C.倍 D．倍
答案　C
解析　设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r,3r，其表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，故最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的＝倍．
4．一个距离球心为的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为____.
答案　
解析　设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋()2＝R2，∴R＝2.∴V＝πR3＝.
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，
而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是
V′＝π·2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.即容器中水的深度为r.
一、选择题
1．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　设球O的半径为r，则πr3＝23，解得r＝ .
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)
A． B．
C．8π D．
答案　C
解析　设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
3．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是(　　)
A．20π B．25π
C．50π D．200π
答案　C
解析　因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，故它的外接球的表面积是S＝4πr2＝50π.
4. 如图所示，扇形的中心角为，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，若△ABO旋转得到的几何体体积为V1，弓形AB旋转得到的几何体积为V2，则V1∶V2的值为(　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．1∶2 D．1∶4
答案　A
解析　△AOB绕AO旋转一周得到的几何体为圆锥，体积V1＝πR3，整个扇形绕AO旋转一周得到的几何体为半球，体积V＝πR3，于是V2＝V－V1＝πR3，所以V1∶V2＝1∶1.
5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是(　　)
A．96 B．16
C．24 D．48
答案　D
解析　设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径R＝×a＝a，正三棱柱的高为a.又V球＝πR3＝×a3＝.∴a＝4.∴V柱＝×(4)2××4＝48.
二、填空题
6. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是____ cm.
答案　4
解析　设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4 cm.
7．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于____.
答案　16π
解析　设球O的半径为R，圆M的半径为r，由题意得r＝，又球心到圆M的距离为，由勾股定理，得R2＝r2＋2，R＝2，则球的表面积为16π.
8．已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2，则该球的表面积为____.
答案　36π
解析　∵两正四棱锥有公共底，且体积比为1∶2，∴它们的高之比为1∶2，设高分别为h,2h，球的半径为R，则h＋2h＝3h＝2R，∴R＝h，又底面边长为4，∴R2＝2＝2＋(2)2，解得h＝2，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.
三、解答题
9．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解　如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，
连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝，
在Rt△BEE1中，
BE1＝＝2，
所以2R＝2，则R＝，
所以球的体积V球＝πR3＝4π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.
10. 如图，AB是半径为R的球的直径，C为球面上一点，且∠BAC＝30°，求图中阴影区域构成的几何体的表面积及其体积．
解　如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，
由题意可得∠BCA＝90°.
又∠BAC＝30°，AB＝2R，CO1⊥AB，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
AO1＝R，BO1＝.
∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧
＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2，
∴几何体的表面积为πR2.
又V球＝πR3，V圆锥AO1＝AO1·πCO＝πR3，
V圆锥BO1＝BO1·πCO＝πR3，
∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)
＝πR3－πR3＝πR3.
1．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为 (　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　设铁球的半径为R，因为πr2h＝πR3，所以R＝ .
2．(多选)正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为24π，则正四棱锥P－ABCD的高可能是(　　)
A．3＋ B．3－
C．2＋ D．－2
答案　CD
解析　设四棱锥的高为h，外接球的半径为R，由4πR2＝24π，得R＝.如图1所示，OH2＋HC2＝OC2，即(h－)2＋2＝6，得h＝2＋.如图2所示，OH2＋HC2＝OC2，即(－h)2＋2＝6，得h＝－2.
3．已知正三棱柱的体积为3 cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为____ cm2.
答案　12π
解析　球O的表面积最小时，球O的半径R最小．设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的体积V＝a2b＝3，所以a2b＝12.底面正三角形所在截面圆的半径r＝a，则R2＝r2＋2＝＋＝×＋＝＋＝＋＋≥3＝3，当且仅当＝，即b＝2时，取等号．又因为04．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积约是多少(π≈3.14，结果精确到0.1 cm3)?
(2)要在2500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100 g，那么共需胶约多少克(π≈3.14)?
解　(1)因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为
V球＝πR3＝π×27＝36π(cm3)．
又圆柱的体积为V圆柱＝πR2h＝π×9×2＝18π(cm3)．
所以这种“浮球”的体积是
V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3)．
(2)根据题意，上、下两个半球的表面积之和为
S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)，
又圆柱的侧面积为
S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，
所以“浮球”的表面积为S＝＝π(m2)．
因此2500个这种“浮球”的表面积的和为2500S＝2500×π＝12π(m2)．
因为每平方米需要涂胶100 g，所以共需胶100×12π＝1200π≈3768(g)．
5．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：
(1)棱锥的表面积；
(2)内切球的表面积与体积．
解　(1)如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，
连接AD并延长交BC于点E，连接PE.
∵P－ABC为正三棱锥，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB＝2，
∴S△ABC＝×(2)2＝6，DE＝×AB＝，
在Rt△PDE中，PE＝＝.
S△PAB＝S△PBC＝S△PCA＝×2×＝3.
∴S表＝9＋6.
(2)设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥．
则VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCA＋VO－ABC
＝×(9＋6)r＝(3＋2)r.
∵PD＝1，∴VP－ABC＝×6×1＝2.
则由等体积可得r＝＝－2，
∴S球＝4π(－2)2＝(40－16)π，
V球＝(－2)3π.