8.5.2直线与平面平行教案2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步

8.5.2　直线与平面平行
(教师独具内容)
课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的平行关系.2.归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明．
教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
教学难点：综合运用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、线面平行的相互转化．
核心素养：通过发现、推导、应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的过程，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．
2．直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可
①直线a和平面α平行，即a∥α.
②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.
③直线a在平面β内，即a?β.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)
(2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平行．(　　)
(3)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．(　　)
(4)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．(　　)
　
2．做一做
(1)下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
(2)梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
(3)已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是____.
(4)如图，空间四边形ABCD中，若M，N，P分别是AB，BC，CD的中点，则与MN平行的平面是____，与NP平行的平面是____.
题型一 直线与平面平行判定定理的理解
例1　能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD
D．a?α，b?α，a∥b
[跟踪训练1]　给出下列几个说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；③若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
题型二 直线与平面平行的判定
例2　如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．
求证：PD∥平面MAC.
[跟踪训练2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1B，B1C的中点．求证：EF∥平面ABCD.
题型三 直线与平面平行性质定理的应用
例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
[跟踪训练3]　 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是(　　)
3．(多选)过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a，b，c，…，则这些交线的位置关系可能为(　　)
A．都平行 B．都相交于同一点
C．都相交但不交于同一点 D．以上均不正确
4. 如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____.
5．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m?α，则必有(　　)
A．l∥α B．α∥γ
C．m∥β且m∥γ D．m∥β或m∥γ
2．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．共面或异面
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是(　　)
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
4. 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，点H，则HG与AB的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
5. (多选)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法正确的是(　　)
A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQ
C．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB
二、填空题
6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有____条．
7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝____.
8．如图所示，在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____.
三、解答题
9. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE.
10. 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
1．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是(　　)
A．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上存在一点E(不与端点重合)，使得BD1∥平面B1CE，则(　　)
A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1
C．D1E＝2EC1 D．D1E＝EC1
3. 如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为____.
4．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
8.5.2　直线与平面平行
(教师独具内容)
课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的平行关系.2.归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明．
教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
教学难点：综合运用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、线面平行的相互转化．
核心素养：通过发现、推导、应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的过程，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．
2．直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可
①直线a和平面α平行，即a∥α.
②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.
③直线a在平面β内，即a?β.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)
(2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平行．(　　)
(3)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．(　　)
(4)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
　
2．做一做
(1)下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
(2)梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
(3)已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是____.
(4)如图，空间四边形ABCD中，若M，N，P分别是AB，BC，CD的中点，则与MN平行的平面是____，与NP平行的平面是____.
答案　(1)C　(2)B　(3)l?α　(4)平面ACD　平面ABD
题型一 直线与平面平行判定定理的理解
例1　能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD
D．a?α，b?α，a∥b
[解析]　A错误，若b?α，a∥b，则a∥α或a?α；B错误，若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a?α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a?α或a与α相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D.
[答案]　D
平行问题的实质
(1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线与平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决．
(2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线与平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法．
[跟踪训练1]　给出下列几个说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；③若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　B
解析　对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a与α不一定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b?α，∴a?α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．故选B.
题型二 直线与平面平行的判定
例2　如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．
求证：PD∥平面MAC.
[证明]　如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，
则MO为△BDP的中位线，
∴PD∥MO.
∵PD?平面MAC，
MO?平面MAC，
∴PD∥平面MAC.
证明线面平行的方法、步骤
(1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行．即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行．即由立体向平面转化．
(2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论．
(3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理．
[跟踪训练2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1B，B1C的中点．求证：EF∥平面ABCD.
证明　如图，分别取AB，BC的中点G，H，连接EG，FH，GH.
则由三角形中位线的性质知：
EG∥AA1，EG＝AA1，FH∥BB1，FH＝BB1，
又AA1∥BB1，AA1＝BB1，
∴EG∥FH，且EG＝FH，
∴四边形EGHF是平行四边形，∴EF∥GH.
∵EF?平面ABCD，而GH?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
题型三 直线与平面平行性质定理的应用
例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
[证明]　因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
所以EH∥B1C1，
又EH?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1.
又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，
所以EH∥FG，即FG∥A1D1.
又FG?平面ADD1A1，A1D1?平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤
[跟踪训练3]　 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明　如图，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
又AP?平面BDM，OM?平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
答案　B
解析　由线面平行的判定定理可知，B正确．
2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是(　　)
答案　C
解析　在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP；在图C中，AB与平面MNP相交，故选C.
3．(多选)过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a，b，c，…，则这些交线的位置关系可能为(　　)
A．都平行 B．都相交于同一点
C．都相交但不交于同一点 D．以上均不正确
答案　AB
解析　因为l?α，所以l∥α或l∩α＝A.若l∥α，则由直线与平面平行的性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由基本事实4可知，a∥b∥c….若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故选AB.
4. 如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____.
答案　
解析　∵a∥α，平面ABD∩α＝EG，∴EG∥a.∴＝，∴＝，即EG＝.
5．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.
证明　如图，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.
∵M，N分别是△ABD和△BCD的重心，
∴BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1，
∴MN∥PQ.
又MN?平面ADC，PQ?平面ADC，
∴MN∥平面ADC.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m?α，则必有(　　)
A．l∥α B．α∥γ
C．m∥β且m∥γ D．m∥β或m∥γ
答案　D
解析　?m∥β或m∥γ.若m为α与β的交线或为α与γ的交线，则不能同时有m∥β，m∥γ.故选D.
2．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．共面或异面
答案　B
解析　因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是(　　)
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
答案　D
解析　由于BD∥平面EFGH，由直线与平面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4. 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，点H，则HG与AB的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
答案　A
解析　∵E，F分别为AA′，BB′的中点，∴EF∥AB.∵AB?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD＝HG，∴EF∥HG，∴HG∥AB.
5. (多选)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法正确的是(　　)
A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQ
C．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB
答案　ABD
解析　因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以AO＝OC.又Q为PA的中点，所以QO∥PC.由直线与平面平行的判定定理，可知A，B正确．又四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，故CD∥平面PAB，故D正确．AQ与平面PCD相交，C错误．故选ABD.
二、填空题
6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有____条．
答案　6
解析　如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1，共6条．
7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝____.
答案　
解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.易知DP＝DQ＝.故PQ＝a·＝.
8．如图所示，在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____.
答案　平面ABC和平面ABD
解析　连接CM并延长交AD于E，连接CN并延长交BD于F，则E，F分别为AD，BD的中点，连接MN，EF，∴EF∥AB.易得MN∥EF，∴MN∥AB.∵MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵MN?平面ABD，AB?平面ABD，∴MN∥平面ABD.
三、解答题
9. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE.
证明　如图，连接AC交BD于点O，连接OE.
在?ABCD中，O是AC的中点，又E是PC的中点，
∴OE是△PAC的中位线．∴OE∥PA.
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，∴PA∥平面BDE.
10. 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
证明　∵AB∥平面MNPQ，过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，
∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ为平行四边形．
1．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是(　　)
A．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
答案　C
解析　对于A，如图①所示，此时n与α相交，则A不正确；对于B，如图②所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图③所示，m与n相交，故D不正确．故选C.
2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上存在一点E(不与端点重合)，使得BD1∥平面B1CE，则(　　)
A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1
C．D1E＝2EC1 D．D1E＝EC1
答案　D
解析　如图，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接OE，∵BD1∥平面B1CE，平面BC1D1∩平面B1CE＝OE，∴BD1∥OE，∵O为BC1的中点，∴E为C1D1的中点，∴D正确，C错误；由异面直线的定义，知BD1，CE是异面直线，故A错误；连接AD1，在矩形ABC1D1中，AC1与BD1不垂直，故B错误．故选D.
3. 如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为____.
答案　4＋6
解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.
4．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
证明　如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，
AC＝2DF，G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形．
所以O为CD的中点．
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
又OH?平面FGH，BD?平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
解　若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，BF?平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以四边形FBMN是平行四边形，所以MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线．
所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.