8.5.3平面与平面平行 讲义2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 第八章立体几何初步

8.5.3　平面与平面平行
(教师独具内容)
课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．
教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理及其应用．
教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
核心素养：通过发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
1．证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可
(1)两个平面平行，即α∥β.
(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.
(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.
3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．(　　)
(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(　　)
(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.(　　)
2．做一做
(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 (　　)
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是____.
(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：
①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；
②若α∥β，a∥α，a?β，则a∥β；
③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l?α；
④平行于同一个平面的两个平面平行．
其中所有正确结论的序号是____.
(4)已知平面α，β和直线l，且α∥β，l∥α，则直线l与平面β的位置关系是____.
题型一 平面与平面平行判定定理的理解
例1　下列命题中正确的是(　　)
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．
A．①③ B．②④
C．②③④ D．③④
[跟踪训练1]　设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有(　　)
①l?α，m?α，且l∥β，m∥β；
②l?α，m?α，且l∥m，l∥β，m∥β；
③l∥α，m∥β，且l∥m；
④l∩m＝P，l?α，m?α，且l∥β，m∥β.
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，D，B四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[跟踪训练2]　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
题型三 平面与平面平行性质定理的应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
[跟踪训练3]　 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.
题型四 直线、平面平行的综合应用
例4　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
[跟踪训练4]　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　　)
A．m∥l，l∥α?m∥α
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C(　　)
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动，都共面
3. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状可能是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
4. 如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG.
其中正确的结论是____.
5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.
一、选择题
1．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)
A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：
①?α∥β；②?α∥β；③?a∥α；
④?a∥α.
其中正确的命题是(　　)
A．①②③ B．②④
C．② D．③④
3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有(　　)
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
4. 如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝(　　)
A． B．2
C． D．3
5. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则(　　)
A．FG∥平面AA1D1D
B．EF∥平面ABC1D1
C．平面ABCD∥平面A1B1C1D1
D．平面EFG∥平面A1BC1
二、填空题
6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是____.
7. 如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
其中判断正确的序号是____.
8．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为____.
三、解答题
9. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．
10. 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若＝，求的值．
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q为CC1上的点，要使平面D1BQ∥平面PAO，则点Q(　　)
A．与C重合 B．与C1重合
C．为CC1的三等分点 D．为CC1的中点
2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A． B．
C． D．
3. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝____，ED与AF相交于点H，则GH＝____.
4. 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.
求证：(1)MN∥平面PAD；
(2)MN∥PE.
5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
8.5.3　平面与平面平行
(教师独具内容)
课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．
教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理及其应用．
教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
核心素养：通过发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
1．证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可
(1)两个平面平行，即α∥β.
(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.
(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.
3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．(　　)
(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(　　)
(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．做一做
(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 (　　)
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是____.
(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：
①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；
②若α∥β，a∥α，a?β，则a∥β；
③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l?α；
④平行于同一个平面的两个平面平行．
其中所有正确结论的序号是____.
(4)已知平面α，β和直线l，且α∥β，l∥α，则直线l与平面β的位置关系是____.
答案　(1)C　(2)相交或平行　(3)②③④　(4)l∥β或l?β
题型一 平面与平面平行判定定理的理解
例1　下列命题中正确的是(　　)
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．
A．①③ B．②④
C．②③④ D．③④
[解析]　对于①，一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故①错误；对于②，一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行．如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错误；对于③，一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义，故③正确；对于④，一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理，故④正确．故选D.
[答案]　D
应用平面与平面平行判定定理的注意事项
(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面．
(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法．
[跟踪训练1]　设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有(　　)
①l?α，m?α，且l∥β，m∥β；
②l?α，m?α，且l∥m，l∥β，m∥β；
③l∥α，m∥β，且l∥m；
④l∩m＝P，l?α，m?α，且l∥β，m∥β.
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
答案　A
解析　①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，④正确.
题型二 平面与平面平行的判定
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，D，B四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[证明]　(1)如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，D，B四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，
又A1D1∥AD，A1D1＝AD，
∴MF∥AD，MF＝AD，
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM?平面EFDB，DF?平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
线线平行、线面平行与面面平行的转化
(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．
(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．
[跟踪训练2]　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.
题型三 平面与平面平行性质定理的应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
[解]　如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，
由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.
因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[跟踪训练3]　 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.
证明　若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.
又BD?α，MN?α，∴MN∥α.
若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC.
∵α∥β，∴ED∥AC.
又P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥ED，又PN?α，ED?α，∴PN∥α，
同理可证MP∥BE，MP?α，BE?α，∴MP∥α，
又MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α，
又MN?平面MPN，∴MN∥α.
题型四 直线、平面平行的综合应用
例4　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
[解]　(1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
因为AO1?平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.
同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，所以F是CE的中点，即CF＝EF，所以A1E＝EF＝FC.
三种平行关系的相互转化
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化．相互间的转化关系如图．
因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．
[跟踪训练4]　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证明　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1.
∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G.
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G.
∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF＝F，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G，
且平面A1C1G∩BC＝H，
∴平面A1C1G∩平面ABC＝GH.
又平面ABC∥平面A1B1C1，
平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　　)
A．m∥l，l∥α?m∥α
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
答案　D
解析　A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，平面α内的两条相交直线l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理可知α∥β.故选D.
2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C(　　)
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动，都共面
答案　D
解析　如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点变成A′B′的中点C′，当AA′∥BB′时，易得CC′∥α，当AA′与BB′异面时，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，则CE∥AA′，∴CE∥α.∵C′E∥BB′，∴C′E∥β.又α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．
3. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状可能是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
答案　ABC
解析　若点E与点A1重合，则点F与点C重合，此时四边形D1EBF是矩形；若点E在AA1的中点处，则点F也在CC1的中点处，此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形；其他情况下为普通的平行四边形．故选ABC.
4. 如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG.
其中正确的结论是____.
答案　①②③④
解析　还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四棱锥P－ABCD，逐一考查所给的命题：
①易知EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，且EF∩FG＝F，
则平面EFGH∥平面ABCD，①正确．
②设AC，BD的交点为点O，连接OG，由三角形中位线的性质可知OG∥PA，结合线面平行的判定定理可得PA∥平面BDG，②正确．
③由三角形中位线的性质可知EF∥DA，又DA∥BC，故EF∥BC，结合线面平行的判定定理可得EF∥平面PBC，③正确．
④由三角形中位线的性质可知，FH∥BD，结合线面平行的判定定理可知，FH∥平面BDG，④正确．
⑤由③可知EF∥BC，由于直线BC与平面BDG相交，故EF∥平面BDG不成立，⑤错误．
5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.
证明　如图所示，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EG綊A1B1.
又A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1.
∴四边形EGC1D1为平行四边形．
∴D1E綊GC1.
又BG綊C1F，
∴四边形BGC1F为平行四边形．
∴BF∥GC1.∴BF∥D1E.
∵BF?平面B1D1E，D1E?平面B1D1E，
∴BF∥平面B1D1E.
又BD∥B1D1，BD?平面B1D1E，B1D1?平面B1D1E，
∴BD∥平面B1D1E.
又BD∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1E.
一、选择题
1．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)
A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
答案　D
解析　若两个平面α，β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的；而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行；C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的．
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：
①?α∥β；②?α∥β；③?a∥α；
④?a∥α.
其中正确的命题是(　　)
A．①②③ B．②④
C．② D．③④
答案　C
解析　命题②正确．①中α与β还可能相交，③④中a还可能在α内，所以命题①③④错误．
3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有(　　)
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
答案　C
解析　六棱柱的表面中一共有8个面，若互相平行的面最多，则底面六边形对边平行，则六棱柱的表面中相对的侧面相互平行的有3对，加上两底面互相平行，共4对．
4. 如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝(　　)
A． B．2
C． D．3
答案　C
解析　∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则＝，
∴AB＝＝＝.
5. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则(　　)
A．FG∥平面AA1D1D
B．EF∥平面ABC1D1
C．平面ABCD∥平面A1B1C1D1
D．平面EFG∥平面A1BC1
答案　ACD
解析　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面ABC1D1相交，∴EF与平面ABC1D1相交，故B错误；由正方体的性质可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，故C正确；∵FG∥BC1，EF∥A1C1，BC1?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1，FG?平面A1BC1，EF?平面A1BC1，∴FG∥平面A1BC1，EF∥平面A1BC1.又FG∩EF＝F，∴平面EFG∥平面A1BC1，故D正确．
二、填空题
6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是____.
答案　相交或平行
解析　b，c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．
7. 如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
其中判断正确的序号是____.
答案　①②③④
解析　以面ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个判断都是正确的．
8．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为____.
答案　
解析　AA′，BB′相交于点O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，且＝＝，同理可得＝＝，＝＝，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为，所以△A′B′C′的面积为.
三、解答题
9. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．
解　存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点．证明如下：
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，
∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.
又AD?平面ADD1A1，CF?平面ADD1A1，
∴CF∥平面ADD1A1.
又CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，
∴CC1∥平面ADD1A1.又CF∥平面ADD1A1，CC1∩CF＝C，
∴平面C1CF∥平面ADD1A1.
10. 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若＝，求的值．
解　∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，
平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.
∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB.
∴△A′B′C′∽△ABC.
又PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5.
∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q为CC1上的点，要使平面D1BQ∥平面PAO，则点Q(　　)
A．与C重合 B．与C1重合
C．为CC1的三等分点 D．为CC1的中点
答案　D
解析　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：因为Q为CC1的中点，P是DD1的中点，所以QB∥PA，又QB?平面PAO，所以QB∥平面PAO.连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1B∥PO.因为D1B?平面PAO，所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　取C1D1，B1C1的中点为P，Q，连接DP，BQ，B1D1，NP，PQ.易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，∴四边形ANPD为平行四边形，∴AN∥DP，又BD和DP为平面DBQP的两条相交直线，MN，AN为平面AMN的两条相交直线，∴平面DBQP∥平面AMN，即平面DBQP的面积即为所求．∵PQ∥DB，PQ＝BD＝，∴四边形DBQP为梯形，高为h＝＝，∴S＝(PQ＋BD)·h＝，故选B.
3. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝____，ED与AF相交于点H，则GH＝____.
答案　1　
解析　因为ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，且AB＝CD.
又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，
又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，
所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，
所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.
因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝，GH＝PE＝.
4. 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.
求证：(1)MN∥平面PAD；
(2)MN∥PE.
证明　(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
因为N，Q分别是PC，DC的中点，
所以NQ∥PD.
因为NQ?平面PAD，PD?平面PAD，
所以NQ∥平面PAD.
因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
所以MQ∥AD.
又MQ?平面PAD，AD?平面PAD，所以MQ∥平面PAD.
因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN?平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
(2)因为平面MNQ∥平面PAD，
且平面PEC∩平面MNQ＝MN，
平面PEC∩平面PAD＝PE，
所以MN∥PE.
5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
解　(1)当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1，
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形．所以AD1∥DC1.
又因为DC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，BC1?平面BC1D，DC1?平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，
所以平面BC1D∥平面AB1D1.