8.6.1直线与直线垂直教案2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步

8.6.1　直线与直线垂直
(教师独具内容)
课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．
教学重点：异面直线所成的角的求法．
教学难点：找异面直线所成的角．
核心素养：1.通过从教材实例中抽象出异面直线所成的角的概念的过程培养数学抽象素养.2.通过借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直的过程提升逻辑推理素养.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同．(　　)
(2)异面直线a与b所成的角可以是0°.(　　)
(3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°.(　　)
(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．(　　)
2．做一做
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是______；
(2)AC和D1C1所成的角是______；
(3)AC和B1D1所成的角是______；
(4)AC和A1B所成的角是____.
题型一 求异面直线所成的角
例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角的大小；
(2)FO与BD所成的角的大小．
[跟踪训练1]　在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，求异面直线AD与BC所成的角的大小．
题型二 利用异面直线所成的角证明垂直
例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证：OD1⊥A1C1.
[跟踪训练2]　如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1，点P，M分别是AA1，CC1的中点，求证：B1M⊥D1P.
题型三 异面直线所成的角的综合问题
例3　(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中(下左图)，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为____.
　
(2)如图所示(上右图)，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度．
[跟踪训练3]　(1)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2AD，则异面直线CB1与BA1所成角的余弦值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2) 在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是____.
1．设a，b，c是直线，则(　　)
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3. (多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中，下列结论正确的是(　　)
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
4．空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角的大小为____.
5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求A1C1与B1C所成的角的大小；
(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3. 如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4. 如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是(　　)
A. B．
C. D．
5．(多选)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成的角的大小可能为(　　)
A．15° B．25°
C．65° D．75°
二、填空题
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的是____.
7. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝____.
8．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝AB，则异面直线AB1与BD所成角的余弦值为____.
三、解答题
9．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.
10. 如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)
A．0°＜θ＜60° B．0°≤θ＜60°
C．0°≤θ≤60° D．0°＜θ≤60°
2．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′－DEF，则HG与IJ所成的角的大小为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．0°
3. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成的角为____，直线A1B与AC1所成角的余弦值为____.
4．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值．
5. 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点．
(1)求证：BE∥平面ADP；
(2)求异面直线PA与CB所成的角的大小．
所以异面直线PA与CB所成的角为60°.
8.6.1　直线与直线垂直
(教师独具内容)
课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．
教学重点：异面直线所成的角的求法．
教学难点：找异面直线所成的角．
核心素养：1.通过从教材实例中抽象出异面直线所成的角的概念的过程培养数学抽象素养.2.通过借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直的过程提升逻辑推理素养.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同．(　　)
(2)异面直线a与b所成的角可以是0°.(　　)
(3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°.(　　)
(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．做一做
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是______；
(2)AC和D1C1所成的角是______；
(3)AC和B1D1所成的角是______；
(4)AC和A1B所成的角是____.
答案　(1)90°　(2)45°　(3)90°　(4)60°
题型一 求异面直线所成的角
例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角的大小；
(2)FO与BD所成的角的大小．
[解]　(1)如图，因为CG∥BF.
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，由正方体的性质可知HD∥FB，且HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．
提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.
[跟踪训练1]　在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，求异面直线AD与BC所成的角的大小．
解　如图所示，
设BD的中点为O，连接EO，FO，
则EO∥AD，FO∥BC.
所以∠EOF是异面直线AD与BC所成的角或其补角．
又EO＝AD＝1，FO＝BC＝，
EF＝，在△EOF中，由余弦定理的推论，得cos∠EOF＝＝＝－，
所以∠EOF＝150°.所以异面直线AD与BC所成的角为30°.
题型二 利用异面直线所成的角证明垂直
例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证：OD1⊥A1C1.
[证明]　证法一：
如图，连接AC，BD，则交于点O，连接AD1，CD1.
因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是底面ABCD的中心，
所以A1C1∥AC，AD1＝CD1，AO＝OC.
所以A1C1与OD1所成的角即为AC与OD1所成的角．
在△AD1C中，因为AD1＝CD1，AO＝OC，
所以OD1⊥AC.所以OD1⊥A1C1.
证法二：如图，连接AC，BD，交于点O，连接AD1，
因为A1C1∥AC，所以∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角(或所成角的补角)，
因为OA＝AC＝＝，
AD1＝＝，OD1＝ ＝，
所以cos∠AOD1＝＝＝0，
所以∠AOD1＝90°.所以异面直线OD1与A1C1所成的角为90°.
所以OD1⊥A1C1.
证明空间的两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直．
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形或正方形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．
[跟踪训练2]　如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1，点P，M分别是AA1，CC1的中点，求证：B1M⊥D1P.
证明　取DD1的中点N，连接A1N，PN，则直线A1N，PD1所成的角即为直线B1M，D1P所成的角，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1，
所以四边形A1PND1是正方形，
所以A1N⊥PD1，所以B1M⊥D1P.
题型三 异面直线所成的角的综合问题
例3　(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中(下左图)，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为____.
　
(2)如图所示(上右图)，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度．
[解析]　(1)将正方体ABCD－A1B1C1D1补成一个长方体，连接CE1，ME1，DB1∥CE1，
所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成的角(或其补角)，设正方体的棱长为a.在△MCE1中，
CM＝a，CE1＝a，ME1＝a，
那么cos∠MCE1＝＝.
(2)取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则ME∥AC，MF∥BD，
∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°，
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝BD＝1；
当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EMsin∠EMN＝2×1×＝.
故EF的长度为1或.
[答案]　(1)　(2)见解析
(1)关于补形作异面直线所成的角
当不方便作异面直线所成的角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线，二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体．
(2)关于异面直线的应用
当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论．
[跟踪训练3]　(1)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2AD，则异面直线CB1与BA1所成角的余弦值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2) 在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是____.
答案　(1)D　(2)
解析　(1)如图所示，设AA1＝AD＝a，则AB＝2a，连接D1C，D1B1，则D1C∥A1B，则∠D1CB1就是异面直线CB1与BA1所成的角，在△D1B1C中，D1B1＝a，B1C＝a，D1C＝a，由余弦定理的推论，得cos∠D1CB1＝＝，故选D.
(2)连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1＝BC，A1D1∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°，因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2sin60°×2＝6，因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面都是矩形，所以DD1⊥AD，DD1⊥DC，所以AD＝DD＋AD2，D1C2＝DD＋DC2，因为AB＝BC，所以AD＝DC，所以AD1＝D1C，所以△AD1C为等腰直角三角形．所以AD1＝AC＝3，所以AA1＝ ＝ ＝.
1．设a，b，c是直线，则(　　)
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线
答案　C
解析　由异面直线所成的角的定义可知C正确．
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　B
解析　如图，连接A1C1，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝＝＝1，所以∠A1AC1＝45°，故选B.
3. (多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中，下列结论正确的是(　　)
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
答案　AC
解析　把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为AB∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故A正确，B错误；EF与MN是异面直线，故C正确；易知MN⊥CD，故D错误．故选AC.
4．空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角的大小为____.
答案　90°
解析　由题意可知，异面直线AC和BD所成的角为∠PQR(或其补角)，在△PQR中，因为PQ2＋QR2＝PR2，所以∠PQR＝90°.所以异面直线AC和BD所成的角的大小为90°.
5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求A1C1与B1C所成的角的大小；
(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
解　(1) 如图，连接AC，AB1.
由几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
从而AC与B1C所成的角为A1C1与B1C所成的角．
由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°.
故A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)证明：如图，连接BD.易知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD.
又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
答案　B
解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案　B
解析　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.
3. 如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　连接AC，D1C.由P，Q分别为AD1，BD的中点，得PQ∥CD1.又BC1∥AD1，∴∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角．∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°.即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.
4. 如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正弦值是(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，连接D1C，在△D1BC中，∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2.高为4，∴D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，D1B2＝BC2＋D1C2，∴∠D1CB＝90°，∴sin∠D1BC＝＝＝，∴异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.故选D.
5．(多选)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成的角的大小可能为(　　)
A．15° B．25°
C．65° D．75°
答案　AD
解析　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝AB，GF∥CD且GF＝CD，由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，∴EF与AB所成的角的大小为15°或75°.故选AD.
二、填空题
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的是____.
答案　AD，B1C1
解析　长方体所有的棱中和EF垂直且异面的是AD，B1C1，共2条．
7. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝____.
答案　5
解析　取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，
PM＝BD＝3，∴MN＝5.
8．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝AB，则异面直线AB1与BD所成角的余弦值为____.
答案　
解析　连接B1D1，AD1，因为在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，所以BD∥B1D1，所以∠AB1D1是异面直线AB1与BD所成的角(或所成的角的补角)，设AA1＝AB＝，AB＝1，
所以AD1＝AB1＝＝2，B1D1＝，记异面直线AB1与BD所成的角为θ，
则cosθ＝＝.
三、解答题
9．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.
证明　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°.
∴CD1⊥EF.
10. 如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解　取AC的中点F，连接EF，BF.
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，
∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，
cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)
A．0°＜θ＜60° B．0°≤θ＜60°
C．0°≤θ≤60° D．0°＜θ≤60°
答案　D
解析　连接CD1，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.
2．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′－DEF，则HG与IJ所成的角的大小为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．0°
答案　B
解析　如图所示，在三棱锥A′－DEF中，因为G，H，I，J分别为A′F，A′D，A′E，DE的中点，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG与IJ所成的角与A′D与DF所成的角相等，显然A′D与DF所成的角的大小为60°，所以HG与IJ所成的角的大小为60°.故选B.
3. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成的角为____，直线A1B与AC1所成角的余弦值为____.
答案　90°　
解析　如图所示，连接AB1，因为AB＝AC＝AA1，由三棱柱的性质可得AC1＝AB1，又因为E是B1C1的中点，所以AE⊥B1C1，又BC∥B1C1，所以AE⊥BC，即直线AE与BC所成的角为90°.
如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1cos30°＝a.
又∠BAC＝90°，
∴在正方形ABDC中，AD＝a，∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.
4．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值．
解　连接AC，BD相交于O，连接OE，
则O为AC的中点，因为E是PC的中点，
所以OE是△PAC的中位线，
则OE綊PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角，
设四棱锥的棱长为1，
则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝，
则cos∠OEB＝＝＝.
5. 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点．
(1)求证：BE∥平面ADP；
(2)求异面直线PA与CB所成的角的大小．
解　(1)证明：取PD的中点F，连接EF，AF，
则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD，
由已知AB∥CD且AB＝CD，
所以AB∥EF且AB＝EF，所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BE∥AF，而AF?平面ADP，
BE?平面ADP，所以BE∥平面ADP.
(2)取CD的中点G，连接AG，PG，
所以AB∥GC且AB＝GC，
所以四边形ABCG为平行四边形，
所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，
由题意得PA＝AG＝PG＝3，
所以∠PAG＝60°，
所以异面直线PA与CB所成的角为60°.