8.6.2.1直线与平面垂直的判定教案2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步

8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
(教师独具内容)
课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系.2.归纳出直线与平面垂直的判定定理．
教学重点：1.直线与平面垂直的定义.2.直线与平面垂直的判定.3.直线与平面所成的角的求解．
教学难点：直线与平面垂直的判定定理的应用．
核心素养：在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
1．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．线线垂直的判定方法
(1)异面直线所成的角是90°.
(2)线面垂直，则线线垂直．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．(　　)
(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．(　　)
2．做一做
(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
(2)过平面外一点作该平面的垂线有____条．
(3)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
其中不能保证该直线与平面垂直的是____(填序号)．
(4)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线段A′A的长为____.
(5)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为____.
题型一 直线与平面垂直的定义　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　下列命题中正确的个数是(　　)
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l 不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
[跟踪训练1]　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
题型二 直线与平面垂直的证明
例2　如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：
(1)BC⊥平面SAB；
(2)EF⊥SD.
[跟踪训练2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.
题型三 直线与平面所成的角
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值．
[跟踪训练3]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
1．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)
A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
3. (多选)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的是(　　)
A．MA∥BD
B．MA与BD异面
C．MA与BD相交
D．MA⊥BD
4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m⊥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.
其中正确说法的序号是____.
5. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
一、选择题
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　)
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
3．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)
A．相交且垂直 B．相交但不垂直
C．异面且垂直 D．异面但不垂直
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(　　)
A. B．2
C．3 D．4
5．(多选) 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　)
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成的角是∠SAC
D．AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角
二、填空题
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝____.
7．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是____.
8. 如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是____.
三、解答题
9. 如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD.
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．
1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
A．有且只有一个 B．至多有一个
C．有一个或无数多个 D．不存在
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　)
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
3. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F＝____.
4．如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．
5. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成的角的大小．
8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
(教师独具内容)
课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系.2.归纳出直线与平面垂直的判定定理．
教学重点：1.直线与平面垂直的定义.2.直线与平面垂直的判定.3.直线与平面所成的角的求解．
教学难点：直线与平面垂直的判定定理的应用．
核心素养：在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
1．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．线线垂直的判定方法
(1)异面直线所成的角是90°.
(2)线面垂直，则线线垂直．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．(　　)
(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．做一做
(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
(2)过平面外一点作该平面的垂线有____条．
(3)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
其中不能保证该直线与平面垂直的是____(填序号)．
(4)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线段A′A的长为____.
(5)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为____.
答案　(1)C　(2)1　(3)②④　(4)　(5)45°
题型一 直线与平面垂直的定义　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　下列命题中正确的个数是(　　)
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l 不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故①错误；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故②错误；③正确．故选B.
[答案]　B
直线与平面垂直的定义的理解
直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a?α?l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．
[跟踪训练1]　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
答案　B
解析　对于A，由l⊥m及m?α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A错误；B正确；对于C，l与m可能平行或异面，故C错误；对于D，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D错误．故选B.
题型二 直线与平面垂直的证明
例2　如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：
(1)BC⊥平面SAB；
(2)EF⊥SD.
[证明]　(1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，
∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴SA⊥BC.
又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.
(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.
∵E，F分别是SD，SC的中点，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.
又SD?平面SAD，∴EF⊥SD.
应用线面垂直判定定理的注意事项
(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．
(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝A?l⊥α.”
[跟踪训练2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.
证明　如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，
易证AE＝CE.因为AO＝OC，所以OE⊥AC.
在正方体中易求出：
D1O＝＝ ＝a，
OE＝＝ ＝a，
D1E＝＝ ＝a.
因为D1O2＋OE2＝D1E2，所以D1O⊥OE.
因为D1O∩AC＝O，D1O?平面ACD1，AC?平面ACD1，
所以OE⊥平面ACD1.
题型三 直线与平面所成的角
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值．
[解]　如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝＝3.
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
[条件探究]　在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？
解　∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
∴BE与平面ABCD所成角与所求角相等．
连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角．
设正方体的棱长为2，
则在Rt△BDE中，sin∠EBD＝＝，
即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
[跟踪训练3]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
解　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝.
(2)连接A1C1交B1D1于O，
在正方形A1B1C1D1中，
A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，
A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°.
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
1．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案　C
解析　如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角．在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)
A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
答案　B
解析　由题意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1?平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1B1∩A1D＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故选B.
3. (多选)如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的是(　　)
A．MA∥BD
B．MA与BD异面
C．MA与BD相交
D．MA⊥BD
答案　BD
解析　由异面直线的判定方法可知MA与BD异面，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥MC.又MC∩AC＝C，∴BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，∴MA⊥BD.故选BD.
4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m⊥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.
其中正确说法的序号是____.
答案　①④
解析　 ①④可由直线与平面垂直的定义和判定推证．根据②中条件可知，m与n平行或异面，所以②错误．③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n?α，或n与α相交，故③错误，所以①④正确．
5. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解　(1)证明：因为四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA＝1，PD＝，
所以PD2＝PA2＋AD2，所以PA⊥AD，
又PA⊥CD，AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.
(2)因为四棱锥P－ABCD的底面积为1，PA⊥平面ABCD，
所以四棱锥P－ABCD的高为PA＝1，
所以四棱锥P－ABCD的体积为.
一、选择题
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
答案　A
解析　∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又m?α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　)
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
答案　D
解析　直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直，或直线l在平面α内，或直线l与平面α相交，都有可能．
3．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)
A．相交且垂直 B．相交但不垂直
C．异面且垂直 D．异面但不垂直
答案　C
解析　在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(　　)
A. B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CB.又PA∩PD＝P，PA?平面PAD，PD?平面PAD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴D为BC的中点．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.
5．(多选) 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　)
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成的角是∠SAC
D．AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角
答案　ABD
解析　对于A，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，A正确；对于B，∵AB∥CD，AB?平面SCD，∴AB∥平面SCD，B正确；对于C，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD内的射影，∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角，C不正确；对于D，∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，D正确．故选ABD.
二、填空题
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝____.
答案　90°
解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.
7．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是____.
答案　30°
解析　连接AC，由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．在Rt△ABC中，∵AB＝1，BC＝，∴AC＝＝＝.在Rt△PAC中，
∵tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°.
8. 如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是____.
答案　①②③
解析　∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，∵AF⊥平面PBC，∴AF⊥FE.∴AE与EF不垂直，又EF?平面PBC，∴AE不垂直于平面PBC.故①②③正确，④不正确．
三、解答题
9. 如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD.
证明　取CD的中点G，连接EG，FG.
∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.
又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1.
∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，
∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.
∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.
又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．
解　如图，过点C作CH⊥C1D于点H，连接AC1.
∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC.
∵BD?平面ABC，∴CC1⊥BD.
∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.
又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1，
∵CH?平面ACC1，∴BD⊥CH.
又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D，
∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角．
设AB＝2a，则CD＝a，C1D＝a，
∴sin∠CC1D＝＝＝.
1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
A．有且只有一个 B．至多有一个
C．有一个或无数多个 D．不存在
答案　B
解析　当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线不互相垂直时满足条件的平面有0个．
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　)
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
答案　A
解析　如图所示，易知BD1⊥平面AB1C，故当点P在平面AB1C内时，总保持AP⊥BD1，又点P在侧面BCC1B1内，且B1C为平面AB1C和平面BCC1B1的交线，故点P一定位于线段B1C上．
3. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F＝____.
答案　
解析　设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1的斜边AB1上的高为h，则DE＝h.由2×＝h，得h＝，DE＝.在Rt△DEB1中，B1E＝ ＝ .由× ＝x，得x＝，即线段B1F的长为.
4．如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．
解　(1)证明：∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥BC.
又AC⊥BC，AC∩AE＝A，AC，AE?平面ACDE，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
∵AE⊥平面ABC，CF?平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝2，
∴AB＝＝2.
∴CF＝AB＝.
在Rt△AEF中，∵AE＝2，AF＝AB＝，
∴EF＝＝.
在Rt△CFE中，∵CF＝，EF＝，
∴tan∠CEF＝＝.
5. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成的角的大小．
解　(1)证明：如图，连接A1B.
在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又因为EF?平面A1B1BA，BA1?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，
又AE?平面ABC，从而BB1⊥AE.
又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BCB1，
所以AE⊥平面BCB1.
(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.
又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，
所以四边形MBAA1为平行四边形，
所以A1M∥AB，A1M＝AB，
又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，
因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.