8.6.3.1平面与平面垂直的判定教案2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第八章立体几何初步

8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
(教师独具内容)
课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系.2.归纳出平面与平面垂直的判定定理．
教学重点：二面角的概念及用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直、折叠问题的处理方法．
教学难点：二面角的求法、面面垂直判定定理的综合应用．
核心素养：1.通过从教材的实例中抽象出二面角的相关概念及平面与平面垂直的定义的过程培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直的过程提升逻辑推理素养.
1．证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
3．有助于判断面面垂直的结论：
(1)m∥n，m⊥α，n?β?α⊥β；
(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n?α⊥β；
(3)α∥β，γ⊥α?γ⊥β.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．(　　)
(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．(　　)
(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.(　　)
2．做一做
(1)在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A．AO⊥BO，AO?α，BO?β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO?α，BO?β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
(2)过一点可作____个平面与已知平面垂直．
(3)若∠AOB是锐二面角α－l－β的平面角，则l与平面AOB的位置关系是____.
(4)如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有____.
题型一 求二面角
例1　四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)二面角B－PA－C的平面角的度数．
[跟踪训练1]　 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
题型二 用定义法证明平面与平面垂直
例2　如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
[跟踪训练2]　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
证明：平面AEC⊥平面AFC.
题型三 利用判定定理证明面面垂直
例3　如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.
[跟踪训练3]　如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
求证：平面AEC⊥平面PDB.
题型四 折叠问题
例4　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.
(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；
(2)求二面角P－AD－E的大小．
[跟踪训练4]　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角的最小角．
其中正确的是(　　)
A．①③ B．②
C．③ D．①②
2. 如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
3．(多选) 在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　)
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
4. 如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是____.
5. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为AB上的点，且AD＝AE＝DC＝2，BE＝1，将△ADE沿DE折叠到点P，使PC＝PB.
(1)求证：平面PDE⊥平面ABCD；
(2)求四棱锥P－BCDE的体积．
一、选择题
1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C－BD－C1的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
C．平面ABD⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
5. (多选)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
二、填空题
6．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB＝20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路从A走到B后升高_____m.
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝____.
8. 如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的结论的序号是____(写出所有你认为正确结论的序号)．
三、解答题
9. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∠PDC＝90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.求证：平面PAD⊥平面ABCD.
10. 如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；
(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．
1．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
2. (多选)如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．PD⊥AE
3．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为______.
4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求二面角P－CD－A的余弦值．
5．由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
(1)证明：A1O∥平面B1CD1；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
8.6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
(教师独具内容)
课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系.2.归纳出平面与平面垂直的判定定理．
教学重点：二面角的概念及用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直、折叠问题的处理方法．
教学难点：二面角的求法、面面垂直判定定理的综合应用．
核心素养：1.通过从教材的实例中抽象出二面角的相关概念及平面与平面垂直的定义的过程培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直的过程提升逻辑推理素养.
1．证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
3．有助于判断面面垂直的结论：
(1)m∥n，m⊥α，n?β?α⊥β；
(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n?α⊥β；
(3)α∥β，γ⊥α?γ⊥β.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．(　　)
(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．(　　)
(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．做一做
(1)在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A．AO⊥BO，AO?α，BO?β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO?α，BO?β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
(2)过一点可作____个平面与已知平面垂直．
(3)若∠AOB是锐二面角α－l－β的平面角，则l与平面AOB的位置关系是____.
(4)如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有____.
答案　(1)D　(2)无数　(3)l⊥平面AOB　(4)平面ABD⊥平面BCD，平面ACD⊥平面BCD
题型一 求二面角
例1　四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)二面角B－PA－C的平面角的度数．
[解]　(1)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．
又由题意可得∠BAD＝90°，
∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
[条件探究]　在本例中，若求二面角P－BC－D的平面角的度数又该如何解？
解　∵PA⊥平面ABCD，
BC?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥BC，PA⊥AB.又BC⊥AB，且AB∩AP＝A，
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴BC⊥PB.
又AB⊥BC，∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角．
在Rt△PAB中，AP＝AB.∴∠PBA＝45°.
∴二面角P－BC－D的平面角的度数为45°.
1．确定二面角的平面角的方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
2．求二面角大小的步骤
(1)找出这个平面角；
(2)证明这个角是二面角的平面角；
(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
[跟踪训练1]　 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
解　由已知得PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.
又BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
题型二 用定义法证明平面与平面垂直
例2　如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
[证明]　∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，
∴△ABD与△BCD是等腰三角形．
取BD的中点E，连接AE，CE，
则AE⊥BD，BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．
在Rt△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a，
∴AE＝＝a.同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，
即二面角A－BD－C的平面角为90°.
∴平面ABD⊥平面BCD.
用定义证明两个平面垂直的步骤
利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．
[跟踪训练2]　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
证明：平面AEC⊥平面AFC.
证明　如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，
可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E－AC－F的平面角，
在Rt△EBG中，可得BE＝＝，
故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，
可得EF＝.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
即二面角E－AC－F的平面角为90°，
所以平面AEC⊥平面AFC.
题型三 利用判定定理证明面面垂直
例3　如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.
[证明]　∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
∴PD⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，
∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PDC.
证明面面垂直的方法
(1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”．
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[跟踪训练3]　如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
求证：平面AEC⊥平面PDB.
证明　∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BD，AC⊥PD，
又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
题型四 折叠问题
例4　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.
(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；
(2)求二面角P－AD－E的大小．
[解]　(1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，
同理，DP⊥PE.
又AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.
又PE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.
(2)如图所示，取AD的中点F，连接PF，EF，
则易知PF⊥AD，EF⊥AD，
∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角．
又PE⊥平面PAD，PF?平面PAD，∴PE⊥PF.
∵EF＝AB＝，∴PF＝＝1，
∴cos∠PFE＝＝.
∴二面角P－AD－E的大小为45°.
折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．
[跟踪训练4]　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明　如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，
又A′N?平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角的最小角．
其中正确的是(　　)
A．①③ B．②
C．③ D．①②
答案　B
解析　由二面角的定义知，①错误；a，b分别垂直于两个平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误．故选B.
2. 如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案　A
解析　因为PA⊥平面ABC，BA?平面ABC，CA?平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA.因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B－PA－C的平面角为90°.故选A.
3．(多选) 在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　)
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
答案　ABD
解析　由平面与平面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A，B，D正确．
4. 如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是____.
答案　垂直
解析　易知BE⊥AC，DE⊥AC，
∴AC⊥平面BDE.又AC?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.
5. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为AB上的点，且AD＝AE＝DC＝2，BE＝1，将△ADE沿DE折叠到点P，使PC＝PB.
(1)求证：平面PDE⊥平面ABCD；
(2)求四棱锥P－BCDE的体积．
解　(1)证明：如图，取BC的中点G，DE的中点H，连接PG，GH，HP.
∴HG∥AB，又AB⊥BC，
∴HG⊥BC.
∵PB＝PC，∴PG⊥BC.
又HG∩PG＝G，
∴BC⊥平面PGH.
又PH?平面PGH，∴PH⊥BC.
∵PD＝PE，H为DE的中点，∴PH⊥DE.
∵BE∥DC，且DC＝2BE，∴DE与BC必相交，
∴PH⊥平面BCDE.而PH?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面BCDE，
即平面PDE⊥平面ABCD.
(2)连接EC，AH，由(1)可知，PH为四棱锥P－BCDE的高．
∵DC∥AE，且AD＝AE＝DC＝2，
∴四边形AECD为菱形．
∴CE＝AD＝2.而EB＝1，EB⊥BC，
∴BC＝＝，DE＝2.∴PH＝AH＝.
∴VP－BCDE＝·PH·S梯形BCDE＝×××(1＋2)×＝.
一、选择题
1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
答案　C
解析　若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
答案　C
解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C－BD－C1的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　A
解析　如图，过点C作CE⊥BD于E，连接C1E，则∠CEC1为二面角C－BD－C1的平面角，由等面积公式得CE＝＝，tan∠CEC1＝＝＝，因为0°≤∠CEC1≤180°，所以∠CEC1＝30°.
4. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
C．平面ABD⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
答案　B
解析　由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC?平面ADC，AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.
5. (多选)如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
答案　ABC
解析　A正确，∵点E，F，G分别是所在棱的中点，∴GF∥PC，GE∥CB，∵GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．故选ABC.
二、填空题
6．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB＝20 m，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路从A走到B后升高_____m.
答案　5
解析　如图，过B作BH⊥水平面，过H作HC⊥坡脚线，连接BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，BH∩HC＝H，知AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC，所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH＝30°，在Rt△ABC和Rt△BCH中，因为AB＝20 m，所以BC＝AB·sin30°＝10 m，所以BH＝BC·sin30°＝5 m.
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝____.
答案　1
解析　∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角，∵平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BD＋CD＝＝，∴BD＝CD＝，折叠后，在Rt△BDC中，BC＝＝1.
8. 如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的结论的序号是____(写出所有你认为正确结论的序号)．
答案　①②④
解析　连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC?平面ACD1，AD1?平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确．因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变．又因为VA－D1PC＝VP－ACD1，所以三棱锥A－D1PC的体积不变，故①正确．连接DB，DC1，DP，因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③错误．因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D?平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC?平面ACD1，AD1?平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D?平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确．
三、解答题
9. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∠PDC＝90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.求证：平面PAD⊥平面ABCD.
证明　取AD的中点O，连接OE，OC，CA.
∵∠ABC＝60°，四边形ABCD为菱形，∴△ACD为等边三角形，∴AD⊥OC.又AD⊥CE，OC∩CE＝C，OC，CE?平面COE，∴AD⊥平面COE.
又OE?平面COE，∴AD⊥OE.
易知OE∥PD，∴AD⊥PD.
又∠PDC＝90°，∴PD⊥DC.
又AD∩DC＝D，AD，DC?平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD.
又PD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.
10. 如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；
(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．
解　(1)证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
又∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，又AC∩SC＝C，∴BC⊥平面SAC，
又P，M分别是SC，SB的中点，
∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，又PM?平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC.
(2)同(1)，可证AC⊥平面SBC，
∴AC⊥CM，AC⊥CB，
从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴过点M作MN⊥CB于点N，连接AN，如图所示，∴MN∥PC，
则∠AMN＝60°，
在Rt△CAN中，CN＝PM＝1，AC＝1，由勾股定理得AN＝.
在Rt△AMN中，MN＝＝·＝.
在Rt△CNM中，tan∠MCN＝＝＝，
故二面角M－AC－B的平面角的正切值为.
1．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
答案　C
解析　设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BD⊥CE，BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1－BD－C的平面角．故∠A1EC＝60°.因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．所以A1E＝CE＝A1C＝a.
2. (多选)如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．PD⊥AE
答案　ABC
解析　因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF?平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．由题设条件不能得出PD⊥AE，所以D不一定成立．故选ABC.
3．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为______.
答案　90°
解析　如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝，又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，即∠DEA＝90°，即所求二面角的大小为90°.
4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求二面角P－CD－A的余弦值．
解　(1)证明：连接AE.
因为PA⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，
所以∠PDA＝45°.所以PA＝DA.
又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
所以PA⊥AB.因为∠BAD＝90°，所以BA⊥DA.
又因为PA∩AD＝A，
所以BA⊥平面PDA.又因为PD?平面PDA，所以BA⊥PD.
又因为BA∩AE＝A，
所以PD⊥平面ABE.
因为BE?平面ABE，
所以BE⊥PD.
(2)连接AC，在直角梯形ABCD中，
因为AB＝BC＝1，AD＝2，
所以AC＝CD＝.因为AC2＋CD2＝AD2，
所以AC⊥CD，
又因为PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
所以PA⊥CD.
因为AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC.
又因为PC?平面PAC，所以PC⊥CD，
所以∠PCA为二面角P－CD－A的平面角．
在Rt△PCA中，PC＝＝＝.
所以cos∠PCA＝＝＝.
所以所求二面角的余弦值为.
5．由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
(1)证明：A1O∥平面B1CD1；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
证明　(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，
由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，
又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1，
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD，又 A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以A1E⊥BD，
因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，
又A1E?平面A1EM，EM?平面A1EM，
A1E∩EM＝E，
所以B1D1⊥平面A1EM，
又B1D1?平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.