8.6.2.2直线与平面垂直的性质定理 讲义2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 第八章立体几何初步

第2课时　直线与平面垂直的性质定理
(教师独具内容)
课程标准：1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面的关系.2.归纳出直线与平面垂直的性质定理．
教学重点：直线与平面垂直的性质定理的应用．
教学难点：直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用．
核心素养：1.通过借助长方体发现，并归纳出直线与平面垂直的性质定理的过程培养数学抽象素养.2.通过利用直线与平面垂直的性质定理解决问题的过程发展逻辑推理素养.
1．平行关系与垂直关系之间的相互转化
2．求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；
(3)等体积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面β，且α∥β，则a∥b.(　　)
(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)
(3)到已知平面距离相等的两条直线平行．(　　)
2．做一做
(1)若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(　　)
①a⊥α，a⊥b?b∥α；②a∥α，a⊥b?b⊥α；③a⊥α，b⊥α?a∥b.
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为____.
(3)在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是____.
(4)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，A1C1与B1D1相交于点O1，则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是____.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用
例1　如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．
求证：EF∥BD1.
[跟踪训练1]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1D1的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
题型二 空间中的距离问题
例2　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
[跟踪训练2]　如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC的中点，M是PD的中点．
(1)求证：AE⊥平面PAD；
(2)若AB＝AP＝2，求点P到平面AMC的距离．
题型三 直线与平面垂直关系的综合应用
例3　如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：＝.
[跟踪训练3]　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB.
1．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
2．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为(　　)
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．0
3. (多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论中正确的是(　　)
A．BC⊥PC
B．OM∥平面PAC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M－PAC的体积等于三棱锥P－ABC体积的
4．如图，?ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝____.
5．如图所示，已知平面α∩平面β＝EF，A为α，β外一点，AB⊥α于点B，AC⊥β于点C，CD⊥α于点D.求证：BD⊥EF.
一、选择题
1．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
3．地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是b米和c米(b＞c)，则它们上端的距离为(　　)
A. B．
C. D．
4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
5. (多选)如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则(　　)
A．在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C
B．三棱锥A－DB′C的体积的最大值为
C．当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为
D．当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为
二、填空题
6．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是____.
7. 如图，设正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，A1C1的中点，则EF的长为____.
8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝____.
三、解答题
9．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
1．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，不能使a∥b成立的条件是(　　)
A．a和b垂直于正方体的同一个面
B．a和b在正方体两个相对的面内，且共面
C．a和b平行于同一条棱
D．a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
2．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．1 B．
C． D．2
3. 如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是____.
4．如图，AA1，BB1为圆柱的母线，BC是底面圆的直径，D，E分别是BB1，A1C的中点．
证明：(1)DE∥平面ABC；
(2)A1B1⊥平面A1AC.
5. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，EB＝EC＝ED，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.
(1)求证：EA⊥平面ABCD；
(2)求四面体F－ECB的体积．
第2课时　直线与平面垂直的性质定理
(教师独具内容)
课程标准：1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面的关系.2.归纳出直线与平面垂直的性质定理．
教学重点：直线与平面垂直的性质定理的应用．
教学难点：直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用．
核心素养：1.通过借助长方体发现，并归纳出直线与平面垂直的性质定理的过程培养数学抽象素养.2.通过利用直线与平面垂直的性质定理解决问题的过程发展逻辑推理素养.
1．平行关系与垂直关系之间的相互转化
2．求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；
(3)等体积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面β，且α∥β，则a∥b.(　　)
(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)
(3)到已知平面距离相等的两条直线平行．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×
2．做一做
(1)若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(　　)
①a⊥α，a⊥b?b∥α；②a∥α，a⊥b?b⊥α；③a⊥α，b⊥α?a∥b.
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为____.
(3)在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是____.
(4)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，A1C1与B1D1相交于点O1，则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是____.
答案　(1)A　(2)2　(3)平行　(4)垂直
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用
例1　如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．
求证：EF∥BD1.
[证明]　如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1?平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
[跟踪训练1]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1D1的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
解　(1)证明：连接A1B，
则AB1⊥A1B，
又因为AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，
所以AB1⊥平面A1BF.
又BF?平面A1BF，所以AB1⊥BF.
(2)证明：取AD的中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
又因为△BAG≌△ADE，
所以∠ABG＝∠DAE.所以AE⊥BG.
又因为BG∩FG＝G，所以AE⊥平面BFG.
又BF?平面BFG，所以AE⊥BF.
(3)存在．取CC1的中点P，即为所求．
连接EP，AP，C1D，
因为EP∥C1D，C1D∥AB1，所以EP∥AB1.
由(1)知AB1⊥BF，所以BF⊥EP.
又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
所以BF⊥平面AEP.
题型二 空间中的距离问题
例2　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
[解]　由长方体ABCD－A1B1C1D1，
可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1＝90°，
由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
所以AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，
所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB＝3，
所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
[跟踪训练2]　如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC的中点，M是PD的中点．
(1)求证：AE⊥平面PAD；
(2)若AB＝AP＝2，求点P到平面AMC的距离．
解　(1)证明：因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，
因为AD∥BC，所以AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE，又因为PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.
(2)因为AB＝AP＝2，则AD＝2，AE＝，所以VP－AMC＝VC－PAM＝S△PAM·AE＝×××2×2×＝.
设点P到平面AMC的距离为h，即S△AMC·h＝.
易知PD＝2，PM＝，PC＝2，CD＝2，
∴＝，∴CM＝2，
在△AMC中，AM＝，AC＝CM＝2，
∴S△AMC＝，∴×h＝，∴h＝，
即点P到平面AMC的距离为.
题型三 直线与平面垂直关系的综合应用
例3　如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：＝.
[证明]　∵PA⊥平面ABD，
PC⊥平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，
∴EF∥BD，∴＝.
(1)线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可通过线面垂直的定义及判定定理，体现了→→，解题时要注意这种相互转化关系的合理应用．
(2)要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法．
[跟踪训练3]　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB.
证明　如图，∵α∩β＝AB，
∴AB?α，AB?β，
∵PO⊥β，∴PO⊥AB.
∵PQ⊥α，∴PQ⊥AB.
∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.
∵OR⊥α，∴PQ∥OR.
∴PQ与OR确定平面PQRO.
又QR?平面PQRO，∴QR⊥AB.
1．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
答案　C
解析　因为l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.
2．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为(　　)
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．0
答案　B
解析　对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m与α斜交，即③错误．
3. (多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论中正确的是(　　)
A．BC⊥PC
B．OM∥平面PAC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M－PAC的体积等于三棱锥P－ABC体积的
答案　ABC
解析　对于A，∵直线PA垂直于圆O所在的平面，∴PA⊥BC.∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC.A正确；对于B，∵点M为线段PB的中点，点O为直径AB的中点，∴OM∥PA.又PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC，B正确；对于C，∵BC⊥平面PAC，∴点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，C正确；对于D，∵点M为线段PB的中点，∴点M到平面PAC的距离是点B到平面PAC距离的，∴VM－PAC＝VB－PAC，又VB－PAC＝VP－ABC，∴VM－PAC＝VP－ABC，D不正确．故选ABC.
4．如图，?ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝____.
答案　
解析　因为AF⊥平面ABCD，AF∥ED，所以ED⊥平面ABCD，因为CD?平面ABCD，所以ED⊥CD，所以△EDC为直角三角形，CE＝＝.
5．如图所示，已知平面α∩平面β＝EF，A为α，β外一点，AB⊥α于点B，AC⊥β于点C，CD⊥α于点D.求证：BD⊥EF.
证明　∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，
∴A，B，C，D四点共面．
∵AB⊥α，AC⊥β，α∩β＝EF，
∴AB⊥EF，AC⊥EF.
又AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABDC，
∵BD?平面ABDC，∴BD⊥EF.
一、选择题
1．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
答案　C
解析　由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．
2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
答案　D
解析　根据题意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD内，也可能垂直平面ABCD，还可能在平面ABCD外但不垂直于平面ABCD，所以直线l与m可能平行、相交或异面，故选D.
3．地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是b米和c米(b＞c)，则它们上端的距离为(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　如图，由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，作AE⊥CD于E，则DE＝b－c，故AD＝.
4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
答案　B
解析　因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四点共面．又PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5. (多选)如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把△ABC折起来，则(　　)
A．在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C
B．三棱锥A－DB′C的体积的最大值为
C．当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为
D．当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为
答案　ABCD
解析　因为AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，所以AD⊥平面DB′C，故A正确；当DB′⊥DC时，△DB′C的面积最大，此时三棱锥A－DB′C的体积也最大，最大值为××××＝，故B正确；当∠B′DC＝60°时，△DB′C是等边三角形，设B′C的中点为E，连接AE，DE，则AE⊥B′C，即AE为点A到B′C的距离，AE＝ ＝，故C正确；当∠B′DC＝90°时，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，则CD就是点C到平面ADB′的距离，CD＝，故D正确．
二、填空题
6．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是____.
答案　l∥m
解析　将b平移至c，且使a与c相交，则a，c确定一个平面，记作平面α.∵l⊥b，m⊥b，∴l⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l⊥平面α，m⊥平面α，∴l∥m.
7. 如图，设正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，A1C1的中点，则EF的长为____.
答案　
解析　过点F作FG⊥AC于点G，则FG⊥平面ABC，连接GE，GE＝BC＝1，则在Rt△FGE中，EF＝＝＝.
8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝____.
答案　1
解析　在三棱锥P－ABC中，
∵PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，∴AB⊥平面APC，
∵EF?平面PAC，∴EF⊥AB，
∵EF⊥BC，∴EF⊥底面ABC，∴PA∥EF，
∵F是AC的中点，E是PC上的点，
∴E是PC的中点，∴＝1.
三、解答题
9．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.
证明　因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a.
又因为a⊥AB，AB∩EB＝B，所以a⊥平面ABE.
因为α∩β＝l，所以l?α，l?β.
因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.
又因为EA∩EB＝E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
证明　(1)∵四边形ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.
∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.
又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
(2)如图所示，设AD1与A1D的交点为O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM.
又MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，
∴AM＝ON＝AB，即M是AB的中点．
1．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，不能使a∥b成立的条件是(　　)
A．a和b垂直于正方体的同一个面
B．a和b在正方体两个相对的面内，且共面
C．a和b平行于同一条棱
D．a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
答案　D
解析　A为直线与平面垂直的性质定理的应用；B为平面平行的性质；C为基本事实4的应用．故选D.
2．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．1 B．
C． D．2
答案　A
解析　如图，连接AC交BD于点O.在△CC1A中，易证OE∥AC1.又OE?平面BDE，AC1?平面BDE，∴AC1∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离为点A到平面BED的距离．连接AE.在三棱锥E－ABD中，VE－ABD＝S△ABD×EC＝××2×2×＝.在三棱锥A－BDE中，BD＝2，BE＝，DE＝，∴S△EBD＝×2×＝2.设点A到平面BED的距离为h，则VA－BDE＝S△EBD×h＝×2×h＝h＝，解得h＝1，故选A.
3. 如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是____.
答案　a＞6
解析　由题意知，PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE＝P，所以DE⊥平面PAE，所以DE⊥AE.易证△ABE∽△ECD.设BE＝x，则＝，即＝.所以x2－ax＋9＝0.由Δ＞0，解得a＞6.
4．如图，AA1，BB1为圆柱的母线，BC是底面圆的直径，D，E分别是BB1，A1C的中点．
证明：(1)DE∥平面ABC；
(2)A1B1⊥平面A1AC.
证明　(1)如图，取AA1的中点F，连接DF，EF.
因为D，E，F分别是BB1，A1C，AA1的中点，
所以DF∥AB，EF∥AC.
所以DF∥平面ABC，EF∥平面ABC.
又DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ABC.
又DE?平面DEF，所以DE∥平面ABC.
(2)因为AA1，BB1为圆柱的母线，
所以AB∥A1B1.
因为AA1垂直于底面圆所在的平面，
所以AA1⊥AB.
又BC是底面圆的直径，所以AB⊥AC.
又AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面A1AC，
又A1B1∥AB，所以A1B1⊥平面A1AC.
5. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，EB＝EC＝ED，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.
(1)求证：EA⊥平面ABCD；
(2)求四面体F－ECB的体积．
解　(1)证明：菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC和△ACD都是正三角形，取BC的中点M，连接EM，AM，如图所示.
因为M为BC的中点，
所以在△ABC中，BC⊥AM.
因为EB＝EC，所以BC⊥ME，
又ME∩AM＝M，所以BC⊥平面MAE，
又AE?平面MAE，所以BC⊥EA.
同理可得CD⊥EA.
因为BC∩CD＝C，所以EA⊥平面ABCD.
(2)由(1)得EA⊥平面ABCD，因为CF∥AE，
所以CF⊥平面ABCD.
因为AM?平面ABCD，所以CF⊥AM.
又BC⊥AM，FC∩BC＝C，所以AM⊥平面FCB.
由题意易求得AM＝，
又CF∥AE，CF?平面FCB，AE?平面FCB，
所以AE∥平面FCB，所以点E到平面FCB的距离等于点A到平面FCB的距离，即AM的长．
故VF－ECB＝VE－FCB＝S△FCB×AM
＝××3×2×＝.