8.6.3.2平面与平面垂直的性质 讲义2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册 第八章立体几何初步Word含答案解析

第2课时　平面与平面垂直的性质
(教师独具内容)
课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系.2.归纳出平面与平面垂直的性质定理．
教学重点：探究、发现平面与平面垂直的性质定理．
教学难点：平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用．
核心素养：1.通过从教材的实例中归纳出平面与平面垂直的性质定理的过程培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的性质定理解决与垂直相关的问题提升逻辑推理素养.
平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.
(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．即α⊥β，γ∥β?γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b⊥β?b∥α 或b?α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n?l⊥m，m⊥n，l⊥n.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．(　　)
(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．(　　)
(3)平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ.(　　)
2．做一做
(1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
(2)如图所示，平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，C∈平面β，若AB＝3，BC＝4，则AC＝____.
题型一 平面与平面垂直性质定理的应用
例1　如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[跟踪训练1]　 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．
题型二 线面垂直与面面垂直的综合应用
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，则能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
[跟踪训练2]　如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
1．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P?l，则下列命题中正确的为(　　)
①过点P垂直于l的平面垂直于β；
②过点P垂直于l的直线垂直于β；
③过点P垂直于α的直线平行于β；
④过点P垂直于β的直线在α内．
A．①③ B．②④
C．①②④ D．①③④
2．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　)
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥α D．n⊥α
3．(多选)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是(　　)
A．CD⊥平面ABD
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADC
4. 如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____.
5. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC边的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.
一、选择题
1．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是(　　)
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，m∥β，则m⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝n，直线l?α，直线m?β，则下列说法正确的个数是(　　)
①若l⊥n，则l⊥β；②若l∥n，则l∥β；③若m⊥n，则m⊥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
3．设α－l－β是直二面角，直线a?平面α，直线b?平面β，a，b与直线l都不垂直，那么(　　)
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
4. 如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．PE⊥AC
B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
5. (多选)如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是(　　)
A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B．三棱锥A′－FED的体积有最大值
C．恒有平面A′GF⊥平面BCED
D．异面直线A′E与BD不可能互相垂直
二、填空题
6．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为____.
7．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是____.
8．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体A－BCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为______.
三、解答题
9. 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
10．如图，四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；
(2)若AD＝2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P－ABCD的体积．
1. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于(　　)
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
2．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于____.
3．在四面体S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为____.
4．平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形．BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，根据此空间图形解答下列问题．
(1)证明：AA1⊥BC；
(2)求AA1的长．
5. 在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝AB＝a(如图所示)，将△ADC沿AC折起，将D翻到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′为γ.
(1)若二面角α－AC－β为直二面角，求二面角β－BC－γ的大小；
(2)若二面角α－AC－β为60°，求三棱锥D′－ABC的体积．
第2课时　平面与平面垂直的性质
(教师独具内容)
课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系.2.归纳出平面与平面垂直的性质定理．
教学重点：探究、发现平面与平面垂直的性质定理．
教学难点：平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用．
核心素养：1.通过从教材的实例中归纳出平面与平面垂直的性质定理的过程培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的性质定理解决与垂直相关的问题提升逻辑推理素养.
平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.
(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．即α⊥β，γ∥β?γ⊥α.
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b⊥β?b∥α 或b?α.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n?l⊥m，m⊥n，l⊥n.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．(　　)
(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．(　　)
(3)平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．做一做
(1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
(2)如图所示，平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，C∈平面β，若AB＝3，BC＝4，则AC＝____.
答案　(1)C　(2)5
题型一 平面与平面垂直性质定理的应用
例1　如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[证明]　(1)如图，连接PG，BD，
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，
∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
又PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.
应用平面与平面垂直的性质定理证明线面垂直应注意的问题
(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
(2)在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．
[跟踪训练1]　 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．
解　(1)证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB.
∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC.
(2)证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.
又平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB.
∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝，
∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝AB2＝.
∵OC⊥平面VAB，
∴V三棱锥C－VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝，
∴V三棱锥V－ABC＝V三棱锥C－VAB＝.
题型二 线面垂直与面面垂直的综合应用
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，则能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
[解]　(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．
∵△PAD为正三角形，
∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE.
又FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，
PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
[跟踪训练2]　如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解　(1) 如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，又CE?平面ABC，
所以DE⊥CE.
由已知可得DE＝，EC＝1.
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.
又因为DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE.
由CD?平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
1．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P?l，则下列命题中正确的为(　　)
①过点P垂直于l的平面垂直于β；
②过点P垂直于l的直线垂直于β；
③过点P垂直于α的直线平行于β；
④过点P垂直于β的直线在α内．
A．①③ B．②④
C．①②④ D．①③④
答案　D
解析　当过点P垂直于l的直线不在α内时，该直线与β不垂直，故②不正确；①③④正确．
2．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　)
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥α D．n⊥α
答案　B
解析　根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β.
3．(多选)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是(　　)
A．CD⊥平面ABD
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADC
答案　AD
解析　由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选AD.
4. 如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____.
答案　
解析　因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝.
5. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC边的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.
证明　(1)∵E，F分别为AC，BC边的中点，∴EF∥AB.
又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC，PE?平面PAC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
∵BC?平面PBC，∴平面PEF⊥平面PBC.
一、选择题
1．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是(　　)
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，m∥β，则m⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案　D
解析　对于A，两个平面垂直于同一个平面，这两个平面还可能相交，故A错误；对于B，直线m还可能在平面α内或平行于平面α或与平面α斜交，故B错误；对于C，直线m，n还可能相交或异面，故C错误；D是线面垂直的性质定理，故D正确．
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝n，直线l?α，直线m?β，则下列说法正确的个数是(　　)
①若l⊥n，则l⊥β；②若l∥n，则l∥β；③若m⊥n，则m⊥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　由线面平行的判定定理知②正确；由面面垂直的性质定理知①③正确．
3．设α－l－β是直二面角，直线a?平面α，直线b?平面β，a，b与直线l都不垂直，那么(　　)
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
答案　C
解析　当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾．所以a与b不可能垂直．
4. 如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．PE⊥AC
B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
答案　D
解析　因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论一定成立．又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.
5. (多选)如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是(　　)
A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B．三棱锥A′－FED的体积有最大值
C．恒有平面A′GF⊥平面BCED
D．异面直线A′E与BD不可能互相垂直
答案　ABC
解析　在正三角形ABC中，AF为中线，DE为中位线，所以AF⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥A′G，DE⊥GF，又A′G∩GF＝G，所以DE⊥平面A′GF.又DE?平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED，故C正确．过A′作A′H⊥AF，垂足为点H，则A′H?平面A′GF，又平面A′GF⊥平面BCED，平面A′GF∩平面BCED＝AF，所以A′H⊥平面ABC，故A正确．三棱锥A′－FED的底面△FED的面积是定值，高是点A′到平面FED的距离．易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大，三棱锥A′－FED的体积最大，故B正确．易知BD∥EF，所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角．因为正三角形ABC的边长为2a，所以A′E＝a，EF＝a.而0二、填空题
6．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为____.
答案　
解析　如图，连接BC.∵二面角α－l－β为直二面角，AC?α，且AC⊥l，α∩β＝l，∴AC⊥β.又BC?β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，∴CD＝＝.
7．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是____.
答案　45°
解析　如图，过点A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.∴AD与平面BCD所成的角为45°.
8．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体A－BCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为______.
答案　3
解析　因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD，因为在折叠前AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.折叠后仍有CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．
三、解答题
9. 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，
AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC，所以AD⊥AC.
10．如图，四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；
(2)若AD＝2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P－ABCD的体积．
解　(1)证明：∵△PAD为正三角形，F为棱PA的中点，∴PA⊥DF.
又PA⊥CD，CD∩DF＝D，∴PA⊥平面EFDC，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面EFDC.
(2)∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∴∠CPD为直线PC与平面PAD所成的角，
即∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝AD＝2.
又AB＝2CD，∴AB＝4，
∴S直角梯形ABCD＝×AD×(CD＋AB)＝×2×(2＋4)＝6.
又AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD.
过P作PO⊥AD，垂足为O，则PO⊥平面ABCD.
∵△PAD为正三角形，∴PO＝AD＝×2＝，
∴V四棱锥P－ABCD＝×PO×S直角梯形ABCD＝××6＝2.
1. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于(　　)
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
答案　A
解析　如图，连接AB′，A′B，由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′＝，BB′⊥平面α，∠BAB′＝.设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.
2．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于____.
答案　
解析　取CD的中点G，连接MG，NG.因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝＝.
3．在四面体S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为____.
答案　
解析　因为AB⊥BC，AB＝BC＝，所以AC＝2，因为SA＝SC＝2，所以△SAC为等边三角形，又平面SAC⊥平面BAC，取AC的中点D，则点D是△ABC的外心，连接SD，则SD⊥平面ABC，则球心O在SD上，设四面体S－ABC的外接球的半径为r，则有r＋＝，解得r＝.故该四面体外接球的表面积为.
4．平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形．BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，根据此空间图形解答下列问题．
(1)证明：AA1⊥BC；
(2)求AA1的长．
解　(1)证明：如图，取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD，A1D，AD1.
由已知条件可知，
BC⊥AD，B1C1⊥A1D1.
又平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，
平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C＝B1C1，
所以AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，
因此AD∥A1D1，即AD，A1D1确定平面AD1A1D.
因为DD1∥BB1，BB1⊥BC，所以DD1⊥BC.
又AD⊥BC，AD∩DD1＝D，
所以BC⊥平面AD1A1D，故AA1⊥BC.
(2)延长A1D1到点G，使GD1＝AD，连接AG.
因为AD綊GD1，所以四边形AGD1D是平行四边形，
从而AG綊DD1綊BB1.
由于BB1⊥平面A1B1C1，所以AG⊥A1G.
由条件可知，A1G＝A1D1＋D1G＝3，AG＝4.
所以AA1＝＝＝5.
5. 在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝AB＝a(如图所示)，将△ADC沿AC折起，将D翻到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′为γ.
(1)若二面角α－AC－β为直二面角，求二面角β－BC－γ的大小；
(2)若二面角α－AC－β为60°，求三棱锥D′－ABC的体积．
解　(1)在直角梯形ABCD中，由已知得△DAC为等腰直角三角形，∴AC＝a，∠CAB＝45°.
如图所示，过C作CH⊥AB，垂足为H，
则AH＝CH＝a.
又AB＝2a，∴BH＝a，BC＝a，
∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.
取AC的中点E，连接D′E，则D′E⊥AC.
∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.
又BC?平面β，∴BC⊥D′E.
∵AC∩D′E＝E，∴BC⊥α.
而D′C?α，∴BC⊥D′C，
∴∠D′CA为二面角β－BC－γ的平面角．
由于∠D′CA＝45°，∴二面角β－BC－γ为45°.
(2)如图所示，过D′作D′O⊥β，垂足为O，连接OE，
∵AC?β，∴D′O⊥AC.
又由(1)可知AC⊥D′E，D′O与D′E相交于点D′，
∴AC⊥平面D′EO.∴AC⊥OE.
∴∠D′EO为二面角α－AC－β的平面角，
∴∠D′EO＝60°.
在Rt△D′OE中，
D′E＝AC＝a，D′O＝D′E＝a.
∴V三棱锥D′－ABC＝S△ABC·D′O＝×AC·BC·D′O＝×a×a×a＝a3.