1.4二次函数与一元二次方程的联系 同步练习（含解析）

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初中数学湘教版九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系 同步练习
一、单选题
1. 抛物线 与y轴交点的坐标是(??? )
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
2.二次函数 的顶点坐标为 ，其部分图象如图所示.以下结论错误的是（?? ）

A.?????????
B.?????????
C.?????????
D.?关于x的方程 无实数根
3.根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（??? ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
ax2＋bx＋c ?0.03 ?0.01 0.02 0.04
A.?6.194.若二次函数 的图象与 轴有两个交点，则关于 的一元二次方程 的根的情况是（? ）
A.?有两个不相等的实数根?????????????
B.?有两个相等的实数根?????????????
C.?没有实数根?????????????
D.?不能确定
5.已知抛物线y=- x2+ x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C．若D为AB的中点,则CD的长为（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.已知抛物线 与x轴的两个交点坐标是（-2，0），（5，0），则一元二次方程 的两个解是（??? ）
A.???????????B.??????????????C.??????????????D.?
7.已知二次函数y＝x2－2ax+a2－2a－4（a为常数）的图象与x轴有交点，则a的取值范围是（?????? ）
A.?a＞－2????????????????????????????????B.?a≥－2????????????????????????????????C.?a＜－2????????????????????????????????D.?a≤－2
8.若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　）
A.?﹣2或3?????????????????????????B.?﹣2或﹣3?????????????????????????C.?1或﹣2或3?????????????????????????D.?1或﹣2或﹣3
9.如图，以直线 为对称轴的二次函数 的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程 的正数解的范围是（?? ）.
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
10.如图，二次函数 的图象与 轴交于两点 ， ，其中 .下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的个数是（? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题
11.抛物线y＝2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点之间的距离是________.
12.如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分且图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②图象可能过（2，0）；③a+b+c＝0；④a＞b.其中正确的是________.（填序号）

13.若函数 的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是________．
14.在关于的 二次函数中，自变量 可以取任意实数，下表是自变量 与函数 的几组对应值：
… 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… -1.78 -3.70 -4.42 -3.91 -2.20
4.88 10.27 …
根据以上信息，关于 的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于________（结果保留小数点后一位）．
15.二次函数 与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n ， 且 ，则a ， b ， m ， n四个数的大小关系是________（用<号连接）
三、解答题
16.已知抛物线的解析式为 ，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
17.已知关于x的二次函数 ．
（1）试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）当 时，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离．
18.如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为M(1，-4)，抛物线与x轴的交点为A、B(点A在点B的左边)
（1）写出抛物线的解析式、开口方向、对称轴；
（2）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P ， 使S△PAB=S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19.某果农在其承包的果园中种植了60棵桔子树，每棵桔子树的产量是100kg，果农想增加桔子树的棵数来增产，但增加果树会导致每棵树的光照减少，使得单棵果树产量减少，试验发现每增加1棵桔子树，单棵桔子树的产量减少0.5kg．
（1）在投入成本最低的情况下，增加多少棵桔子树时，可以使果园总产量达到6650kg？
（2）设增加x棵桔子树，考虑实际增加桔子树的情况，10≤x≤40，请你计算一下，果园总产量最多为多少kg，最少为多少kg？
20.我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围．
第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0
第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：
取x= ，因为当x= 对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以
（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3
（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b ， 使得 ．
答案解析部分
一、单选题
1. B
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题
解：令 ，得 ，故抛物线与y轴交点坐标为 .
故答案为：B.
分析：此题令 ，可确定抛物线与y轴的交点坐标.
2. C
考点：二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征
解： 抛物线开口向下，
，
对称轴为直线 ，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，
故A正确；
B. 抛物线与x轴有两个交点，
，即 ，
故B正确；
C. 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点在 和 之间，
抛物线与x轴的另一个交点在 和 之间，
时， ，
即 ，
，
，
故C错误；
D. 抛物线开口向下，顶点为 ，
函数有最大值n，
抛物线 与直线 无交点，
一元二次方程 无实数根，
故D正确.
故答案为：C
分析：根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断； 时， ，可对C进行判断；根据抛物线 与直线 无交点，可对D进行判断.
3. B
考点：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
解：∵当x＝6.18时，y＝?0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，
∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19．
故答案为：B．
分析：观察表中数据得到当x＝6.18时，y＝?0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，所以可确定方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19．
4. A
考点：一元二次方程根的判别式及应用，二次函数图象与坐标轴的交点问题
解：∵二次函数y=3x2+2x-2m的图象与x轴有两个交点，
∴当y=0时，3x2+2x-2m=0，
此时使得3x2+2x-2m=0成立的x的值有两个，
∴关于x的一元二次方程3x2+2x=2m的根的情况是有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
分析：根据二次函数y=3x2+2x-2m的图象与x轴有两个交点，进行判断作答即可。
5. D
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理
解：把y=0代入
得 ，
解得 ，
∴A（-3，0），B（9，0），即可得AB=15，
∵又因D为AB的中点，
可得AD=BD=7.5，
求得OD=4.5，
在Rt△COD中，由勾股定理可得CD=7.5，故答案选D．

分析：令y=0，即可得到A和B的坐标，根据D为AB的中点，即可得到OD的长度，根据勾股定理求出CD即可。
6. A
考点：利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
解：∵抛物线 与 轴的交点的横坐标就是方程 的根，
∴ （ ）的解是 ．
故答案为：A．
分析：根据抛物线 与x轴的交点得横坐标就是方程 的根来解决此题．
7. B
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题
解：根据题意可得： ，
解得： ．
故答案为：B．
分析：将二次函数图像与x轴的交点个数问题转化为一元二次方程根的判别式求解即可。
8. C
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题
解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+ 是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）× m＝0，
解得，m＝﹣2或3，
故答案为：C ．
分析：本题需分类讨论，当m＝1时，有且只有一个交点；当m≠1时，利用一元二次方程根的判别式求解即可。
9. C
考点：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
解：∵二次函数 的对称轴为 ，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是 ，
∴右侧交点横坐标的取值范围是 .
故答案为：C.
分析：先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴 ，可以算出右侧交点横坐标的取值范围.
10. C
考点：二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征
解：①∵抛物线开口向上，∴ ，
∵抛物线对称轴在 轴的右侧，∴a,b异号，∴ ，
∵抛物线与 轴的交点在 轴上方，∴ ，
∴ ，所以①正确；
②∵图象与 轴交于两点 ， ，其中 ，
∴ ，∴ ，
当 时， ，
∵当 时， ，
∴ ，∴ ，∴ ，故②正确；
③当 时， 值为 ，给 乘以4，即可化为 ，
∵当 时，由图象可知在 和x1之间 为正值，
当 时，在 和x1之间 为负值，
∴ 与0的关系不能确定，故③错误；
④∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 .
所以④正确.
综上，正确的是①②④，共3个，
故答案为：C.
分析：由于抛物线开口向上，可得，由抛物线对称轴在 轴的右侧，可得?，由抛物线与 轴的交点在 轴上方，可得， 据此判断①；由于图象与 轴交于两点 ， ，其中 ?，从而可得， 当 时，， 求出， 从而可得,据此求出， 据此判断②；当 时， 值为 ，给 乘以4，即可化为 ， 由于， 无法确定当时，所对抛物线上的点在x轴上方还是下方，据此判断③；由， 可得， 即得?，从而得出?，由于， 可得， 据此即可判断④.
二、填空题
11.
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题
解：当y＝0时，2x2﹣3x﹣5＝0，
解得，x1＝ ，x2＝﹣1，
∵ ﹣（﹣1）＝ ，
∴抛物线y＝2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点之间的距离是 ，
故答案为： .
分析：由题意令y=0可得关于x的一元二次方程，解这个方程可求得抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据数轴上两个点之间的距离等于两点坐标之差的绝对值可求解.
12. ①③④
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的图象
解：①∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故①正确；②∵抛物线的一个交点为（﹣3，0））对称轴为x＝﹣1，
∴另一个交点为（1，0），
∴图象过点（1，0），不会经过（2，0），故②错误错误；③∵抛物线经过点（1，0），
∴y＝a+b+c＝0，故③正确；④∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＞0，故④正确；
故正确的为①③④，
故答案为①③④.
分析：①观察图像可知，二次函数的图象与x轴有两个交点，于是根据二次函数与一元二次方程的关系可得，b2﹣4ac＞0，移项可得b2＞4ac；
②由抛物线是轴对称图形可知，抛物线的对称轴与x轴的交点是抛物线与x轴的两个交点的中点，由线段中点得意义可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合选项可判断求解；
③由②的计算可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），把x=1代入解析式计算可求解；
④由图知，抛物线的对称轴是x=-1=-， 整理可求解.
13. m＞1
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题
解：∵二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴没有交点，
∴方程x2-2x+m=0没有实数根，
∴判别式△=（-2）2-4×1×m＜0，
解得：m＞1；
故答案为：m＞1．
分析：将二次函数图像与x轴交点个数的问题转化为求一元二次方程根的个数的问题，即求根的判别式即可。
14. 5.8
考点：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
解：由表格可知，
当x=5时，y=-2.20＜0，当x=6时，y=0.75＞0，
则关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8（5.6至5.9均可），
故答案为：5.8．
分析：根据二次函数与一元二次方程近似根的关系，先找y的值，再判断即可。
15. m考点：二次函数与不等式（组）的综合应用
解：二次函数 与 轴交点的横坐标为 、 ，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数 的图象，如图所示：
观察图象，可知：m故答案为：m
分析：画出函数的草图，结合草图求解即可。
三、解答题
16. 解：令y=0，
∴ >0
∴无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题
分析：将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式求解即可。
17. （1）解： ，
， ，
二次函数 的图象与x轴有两个交点；
（2）解：当 时，二次函数为 ，令 ，
则 ，
解得 或 ， 与x轴交点为 ， ，
两交点间的距离为：
考点：二次函数图象与坐标轴的交点问题
分析：（1）利用根的判别式判断二次函数与x轴的交点坐标即可求解；
（2）先求出二次函数与x轴的交点坐标，再求两点之间的距离即可。
18. （1）∵抛物线解析式为y=（x+m）2+k的顶点为M（1，-4）
∴y=（x-1）2-4，抛物线对称轴是直线x=1．
∵a=1＞0，
∴抛物线开口方向向上
（2）∵抛物线解析式为y=（x-1）2-4，
令y=0，得（x-1）2-4=0，
解得x1=3，x2=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）
（3）∵△PAB与△MAB同底，且S△PAB=S△MAB ，
∴ =4，即yP=±4，
又∵点P在y=（x-1）2-4的图象上，yP≥-4，
∴yP=4，则（x-1）2-4=4，
解得x1= ，x2= ，
∴存在合适的点P，坐标为（ ，4）或（ ，4）．
考点：二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征
分析：（1）根据抛物线的顶点坐标可以得到抛物线解析式，结合解析式写出抛物线的开口方向和对称轴；（2）由条件可先求得二次函数的解析式，再令y=0可求得A、B两点的坐标；（3）由条件可先求得P点的纵坐标，再代入解析式可求得P点坐标．
19. （1）解：设增加x棵桔子树.
由题意得
解之得x1＝10，x2＝130
∵成本最少，∴x＝10
答：增加10棵桔子树时收益可以达到6650kg.
（2）设总的收益为W
则W＝ ＝ ＝
∵10≤x≤40
∴当x＝10时，Wmin＝6650
当x＝40时，Wmax＝8000
答：果园最少产6650kg，最多产8000kg。
考点：二次函数图象与一元二次方程的综合应用，二次函数的其他应用
分析：（1）利用增加桔子树后：树的棵树×每一棵树的产量=6650，列方程即可求解。
（2）根据题意列出W与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质求解。
20. （1）解：因为当x=2时，y=﹣2＜0，当x=3时，y=1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3；
（2）解：取x= =2.5，因为当x=2.5时，y＜0．
又因为当x=3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3，
取x= =2.75，因为当x=2.75时，y＞0．
又因为当x=2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75，
因为2.75﹣2.5= ．
取x= =2.625，因为当x=2.625时，y＜0．
又因为当x=2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75，
因为2，75﹣2，625= ＜ ，
所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2 的范围
考点：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
分析：（1）确定当x=2或 x=3时y的正负由此即可验证；（2）取第三步2和3的平均数x=2.5，计算y的值可得2.5＜x2＜3，再进一步取2.5和3的平均数x=2.75，计算y的值可得2.5＜x2＜2.75，再一次取平均数直到 即可
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