1.3二元一次方程组的应用 同步训练（提高篇含解析）

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初中数学湘教版七年级下册1.3二元一次方程组的应用 同步训练（提高篇）
一、单选题
1.某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建1个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ）
A. B. C. D.
2.“某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的 A、B 两种长方体形状的无盖纸盒.现 有正方形纸板 120 张，长方形纸板 360 张，刚好全部用完，问能做成多少个 A 型盒子？”则下列结论 正确的个数是（ ）
①甲同学：设 A 型盒子个数为 x 个，根据题意可得： 4x + 3 × = 360②乙同学：设 B 型盒中正方形纸板的个数为 m 个，根据题意可得： 3 × + 4(120 - m) = 360③A 型盒 72 个④B 型盒中正方形纸板 48 个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化。现在为了增加绿地的面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值为( )
A. B. C. D.
4.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A. B. C. D.
5.一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，若设小瓶单价为x角，大瓶为y角，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6.如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内放入四个如图③的小长方形后得到如图①、②，已知大长方形的长为 ，则

（1）若记小长方形的长为 ，宽为 ，则 和 之间的数量关系是________；
（2）图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的和是________（结果用含 的代数式表示）.
7.三位先生A，B，C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数(单位：元)正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品，则先生A的妻子是________。
8.三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品.则先生C购买的商品数量是________.
9.三个同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解．”提出各自的想法。甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．
10.如图，长方形ABCD中放入一个边长为10的的正方形AEFG，和两个边长都为5的正方形CHIJ及正方形DKMN. ， ， 表示对应阴影部分的面积，若 ，且AD，AB的长为整数，则 的值是 ________．
三、解答题
11.武汉新冠肺炎疫情发生后，全国人民众志成诚抗疫救灾.某公司筹集了抗疫物资120吨打算运往武汉疫区，现有甲、乙、两三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示： (假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
运载量（吨/辆） 5 8 10
运费（元/辆） 450 600 700
（1）全部物资一次性运送可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车________辆.
（2）若全部物资仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费9600元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为14辆，且一次性运完所有物资，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的总运费为多少元？
12.目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈.某校欲购置规格分别为 和 的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶.已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元.
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价.
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装.现需将96L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为 和 的两种空瓶中(每瓶均装满)，若分装时平均每瓶需损耗 ，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量.
13.某治污公司决定购买10台污水处理设备.现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
甲型 乙型
价格(万元/台) x y
处理污水量(吨/月) 300 260
经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元.
（1）求x，y的值；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案.
14.某集团购买了150吨物资打算运往某地支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 1000 1200 1500
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费24000元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆？
（2）若该集团决定用甲、乙、丙三种汽车共18辆同时参与运送，请你写出可能的运送方案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）.
15.第19届亚运会将于2022年在杭州举行，“丝绸细节”助力杭州打动世界.杭州丝绸公司为亚运会设计手工礼品，投入 元钱，若以2条领带和1条丝巾为一份礼品，则刚好可制作600份礼品；若以1条领带和3条丝巾为一份礼品，则刚好可制作400份礼品.
（1）若 万元，求领带及丝巾的制作成本是多少？
（2）若用 元钱全部用于制作领带，总共可以制作几条？
（3）若用 元钱恰好能制作300份其他的礼品，可以选择 条领带和 条丝巾作为一份礼品（两种都要有），请求出所有可能的 、 的值.
16.甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机.
（1）在这个问题中，1小时20分＝________小时；
（2）相向而行时，汽车行驶________小时的路程+拖拉机行驶________小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶________小时的路程＝拖拉机行驶________小时的路程；
（3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
17.已知关于x，y的二元一次方程组 （a为实数）．
（1）若方程组的解始终满足y=a+1，求a的值．
（2）己知方程组的解也是方程bx+3y=1(b为实数，b≠0且b≠-6)的解．
①探究实数a，b满足的关系式．
②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值．
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：二元一次方程组的其他应用
解：由题意得：新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，
∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元，
∴ ，
又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元，
∴ ，
∴可列方程组为： ，
故答案为：C.
分析：根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式，由此进一步即可得出相应的方程组.
2. D
考点：二元一次方程组的应用-几何问题
解：设A型盒子个数为x个，则A型纸盒需要长方形纸板4x张，正方形纸板x张，由于制作一个B型纸盒需要两张正方形纸板，因此可得B型纸盒的数量为 个，需要长方形纸板3× 张，因此可得 ，故①符合题意；
设B型盒中正方形纸板的个数为m个，则B型纸盒有 个，需要长方形纸板3× 个，A型纸盒有（120-m）个，则需长方形纸板4（120-m）个，所以可得方程3× +4（120-m）=120，故②符合题意；
设做A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，则有，

解得，
即，A型纸盒有72个，B型纸盒有24个，所以B 型盒中正方形纸板 48 个
故③④符合题意.
故答案为：D.
分析：根据题意可知，A型纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，B型纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，设A型盒子个数为x个，可得A型纸盒需要长方形纸板的数量和B型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对①进行判断；设B型盒中正方形纸板的个数为m个，可得B型纸盒需要长方形纸板的数量和A型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对②进行判断；设做A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，则可得A型盒子x个，B型盒子y个，根据长方形纸板360张，正方形纸板120张，可得出方程组，求出A型纸盒和B型纸盒的数量可对③④进行判断．
3. D
考点：二元一次方程组的应用-几何问题
解：∵两条小路面积相等，
∴20x=30y,
∵ 改造后绿地面积是小路面积的4倍，
∴20×30-30y=4×30y，
∴150y=600,
∴y=4，
∴x=
即 .
故答案为：D.
分析：先根据两条小路面积相等列等式，再根据改造后绿地面积是小路面积的4倍列等式求出y，然后把y代入20x=30y求出x, 则可知结果.
4. C
考点：二元一次方程组的其他应用
解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11;第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为 .
故答案为：C .
分析：在本题中，首先得读懂图意：由图1可得一个单独的竖表示1，两个单独的竖表示2......一个单独的横表示10，两个单独的横表示20......当横竖组合时候，一个横表示5，一个竖表示1.每一横行是一个方程。第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果.由此可得图2的表达式．
5. A
考点：二元一次方程组的应用-和差倍分问题
解：根据1个中瓶比2小瓶便宜2角可知中瓶价格为(2x 2)角，大、中、小各买1瓶，需9元6角可列方程x+(2x 2)+y=96即得3x+y=98，根据1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角可列方程y (2x 2+x)=4即y 3x=2，联立可得方程组.故A符合题意．
故答案为：A.
分析：等量关系为：①大、中、小各买1瓶，需9元6角；②1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角.根据此列方程组.
二、填空题
6. （1）a-2b
（2）
考点：整式的加减运算，二元一次方程组的应用-几何问题
解：（1）由图①得： ；（2）由图①得： ，
解得 ，
图①中阴影部分的周长为 ，
图②中阴影部分的周长为 ，
则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的和是 ，
故答案为：a=2b， .
分析：（1）观察图形可得一个小长方形的长等于两个小长方形的宽，据此即得；
（2）由图①a+2b=m，从而可得a=， b=， 再分别求出图①与图②中阴影部分的周长，然后根据整式的加减，解答即可.
7. c
考点：二元一次方程组的应用-和差倍分问题
解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品．
则有x2 y2＝48，即（x十y）（x y）＝48．（4分）
∵x、y都是正整数，且x＋y与x y有相同的奇偶性，
又∵x＋y＞x y，48＝24×2＝12×4＝8×6，
∴或或
解之：或或
符合x y＝9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件．
同时符合x y＝7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件．
∴C买了7件，c买了11件．
由此可知三对夫妻的组合是：A、c；B、b；C、a．
故答案为：c.
分析：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，根据每人花在买商品的钱数(单位：元)正好等于商品数量的平方，建立关于x，y的方程，可得到（x十y）（x y）＝48，x，y为正整数，可得到关于x，y的方程组，解方程组分别求出x，y的值，再根据先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品，可求出结果。
8. 7件
考点：二元一次方程的应用
解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品.
则有x2-y2=48，即（x十y）（x-y）=48.
∵x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，
又∵x+y＞x-y，48=24×2=12×4=8×6，
∴ 或 或 .
解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1.
符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件.
同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件.
∴C买了7件，c买了11件.
故答案为：7件.
分析：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答.
9. x=5,y=10
考点：二元一次方程组的其他应用
解： , 两边同时除以5得， 和方程组 的形式一样，得:x=5,y＝10．
故答案为：x=5,y=10.
分析：本题的关键在于利用换元法将看作x，y代入，进而求得新方程组的解.
10. 2或3
考点：二元一次方程的应用
解： ：设
则

当 时，
当 时，
综上述，
分析：设 E B = N H = a , B J = b 根据线段的和差则K G = 10 b , D G = b 5 ，根据矩形的面积公式得出S 1 = a b , S 2 = ( 5 a ) ( 10 b ) , S 3 = a ( b 5 ) ，再根据S3 S1=2S2，采用整体代入，得出一个关于a,b的二元一次方程，然后根据AD，AB的长为整数，及5-a＞0,10-b＞0,a＞0,b＞0;从而得出a的值，进一步得出b的值，从而得出S2的值。
三、解答题
11. （1）4
（2）解：设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据题意得：
，
解得： .
答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆.
（3）解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，由题意得
5a+8b+10（14-a-b）=120，
即a=4 ，
∵a、b、14-a-b均为正整数，
∴b只能等于5，
∴a=2，
14-a-b=7，
∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
则需运费450×2+600×5+700×7=8800（元），
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元.
考点：二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用-和差倍分问题
解：（1）（120-5×8-5×8）÷10=4（辆）.
答：丙型车4辆.
故答案为：4；
分析：（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数；
（2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式，再根据a、b、14-a-b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案.
12. （1）解：设甲、乙两种免洗手消毒液单价分别为 元/瓶和 元/瓶
由题意得： ，解得： ，
答:甲、乙两种免洗手消毒液单价分别为15元/瓶和25元/瓶.
（2）解：设甲、乙两种免洗手消毒液各购买了 瓶和 瓶
由题意得: ，
∴ (天)
答:这批消毒液可以用10天
（3）解：设分装 和 的免洗手消毒液各m瓶和n瓶
由题意得: ，
∴ .
∵ 均为正整数
∴解得 和
∵要使分装时总耗损 最小
∴
即分装时需 的4瓶， 的16瓶才能使总损耗最小.
考点：二元一次方程的应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题
分析：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价=单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间=免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将9.6L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论.
13. （1）解：依题意，得： ，
解得： .
（2）解：设该治污公司购进m台甲型设备，则购进(10﹣m)台乙型设备，
依题意，得：10m+8(10﹣m)≤91，
解得：m≤5 .
又∵m为非零整数，
∴m=0，1，2，3，4，5，
∴该公司有6种购买方案，
方案1：购买10台乙型设备；
方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备；
方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备；
方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备；
方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备；
方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备.
（3）解：依题意，得：300m+260(10﹣m)≥2750，
解得：m≥3 ，∴m=4，5.
当m=4时，总费用为10×4+8×6=88(万元)；
当m=5时，总费用为10×5+8×5=90(万元).
∵88＜90，
∴最省钱的购买方案为：购买4台甲型设备，6台乙型设备.
考点：二元一次方程组的其他应用，一元一次不等式的应用
分析：（1）由一台A型设备的价格是x万元，一台乙型设备的价格是y万元，根据题意得等量关系：购买一台甲型设备-购买一台乙型设备=2万元，购买4台乙型设备-购买3台甲型设备=2万元，根据等量关系，列出方程组，再解即可；
（2）设购买甲型设备m台，则购买乙型设备（10-m）台，由题意得不等关系：购买甲型设备的花费+购买乙型设备的花费≤91万元，根据不等关系列出不等式，再解即可；
（3）由题意可得：甲型设备处理污水量+乙型设备处理污水量≥2750吨，根据不等关系，列出不等式，再解即可.
14. （1）解：设需甲种车型x辆，乙种车型y辆
由题意得：
解得：
答：需甲种车型6辆，乙种车型15辆
（2）解：设需甲种车型a辆，乙种车型b辆，其中a、b为正整数，则需丙种车型 辆
由题意得：
整理得： ，即
均为正整数
或
①当 时， ，
则总运费为 （元）
②当 时， ，
则总运费为 （元）
综上，可能的运送方案有两种：方案一，需甲种车型4辆，乙种车型5辆，丙种车型9辆；方案二，需甲种车型2辆，乙种车型10辆，丙种车型6辆.方案二的运费最省，运费为23000元.
考点：二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用-和差倍分问题
分析：（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，然后根据物资总重量和总运费建立方程组，求解即可得；（2）设需甲种车型a辆，乙种车型b辆，则需丙种车型 辆，再根据总重量得出关于a、b的等式，然后根据正整数性求出a、b的值，最后根据汽车费用表求解即可.
15. （1）解：设领带及丝巾的制作成本是x元和y元，
则
解得：
答：领带的制作成本是120元，丝巾的制作成本是160元
（2）解：由题意可得： ，且 ，
∴ ，
整理得： ，代入
可得： ，
∴可以制作2000条领带.
（3）解：由（2）可得： ，
∴
整理可得：
∵ 、 都为正整数，
∴
考点：二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】分析：（1）设领带及丝巾的制作成本是x元和y元，根据题意列出方程组求解即可；（2）由 与 可得到 ，代入可得 ，即可求得答案；（3）根据 即可表达出 、 的关系式即可解答.
16. （1）
（2）；；；
（3）解：设汽车、拖拉机的速度分别是 千米/小时，依题意有：
，解之得：
全程汽车行驶的路程为 （千米）
全程拖拉机行驶的路程为 （千米）
答：全程汽车行驶的路程为165千米，拖拉机行驶的路程为85千米.
考点：常用角的单位及换算，二元一次方程组的实际应用-行程问题
解：（1）20分= 小时，
∴1小时20分= 小时
故答案为： .
（ 2 ）相向而行，相遇时，两者行驶时间均为 小时，同向而行，汽车追上拖拉机时，汽车行驶时间为 小时，拖拉机行驶 小时
故答案为： ， ， ， .
分析：（1）根据1小时=60分进行单位换算即可；
（2）相向而行，相遇时两者行驶时间相同，行驶距离之和为160千米，同向而行，汽车追上拖拉机时，汽车行驶时间为 小时，拖拉机行驶 小时，据此填写即可；
（3）设汽车、拖拉机的速度分别是 千米/小时，根据（2）中的等量关系建立方程求出汽车和拖拉机的速度，再用速度乘以行驶的总时间求出行驶路程.
17. （1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3
∴y=2a-1
∵y=a+1
∴2a-1=a+1
∴a=2
（2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2
∴方程组的解为
∵方程组的解也是方程bx+3y=1的解
∴b(a+2)+3(2a-1)=1
∴ab+6a+2b=4
②由ab+6a+2b=4可得b=
∴b=
∵a，b都是整数
∴a+2=±1，±2，±4，±8，±16
∴当a+2=1时，b有最大值10；
当a+2=-1时，b有最小值-22
考点：二元一次方程组的解，二元一次方程组的其他应用
分析：（1）把a看成已知数，解关于x、y的方程组，解得y用a来表示，再将已知式 y=a+1 代入解得a的值即可。
（2） ① 将y=2a-1代入方程①，使x也用a来表示， 将x、y的值代入bx+3y=1中，则a、b的关系式可求。
② 要求b的最大值和最小值，将a、b的关系式变形，使b用a来表示，因为a、b都是整数，根据整数的特点，把b的关系式变形，使分子不含有字母，以便取整数。列出所有符合条件的a+2值，找出b的最大值和最小值即可。
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