四川省成都新津区高级中学校2021届高三下学期入学考试数学（理）试题 Word版含答案

新津中学高2018级（高三）下期入学考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．若复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的阴影部分是由轴及曲线围成，在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知实数，满足，若的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（ ）
B．
C． D．
8．若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为2，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量与的夹角为，且，，则__________．
14．已知随机变量，，若，，则__________．
15．将正整数对作如下分组，第组为，第组为，第组为，第组为则第组第个数对为__________．
16．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，、、、分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起、、、，使得，，，重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为__________时，三棱锥体积最大．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列满足．
（1）证明：是等比数列； （2）求．
18．（12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（12分）如图，在三棱柱中，为边长为2的等边三角形，平面平面，四边形为菱形，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于，），当直线的斜率不存在时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由．
21．（12分）已知函数，．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，令函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个公共点为顶点的三角形的面积．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式；
（2）记函数的值域为，若，证明：．
新津中学高2018级高三下期入学考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1～5 DCACB 6～10 BADAC 11～12 CA
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2； 14．； 15．； 16．
三、解答题：共70分。
17．【解析】（1）由得：，···········1分
因为，所以，···········3分
从而由得，···········5分
所以是以为首项，为公比的等比数列．···········6分
（2）由（1）得，···········8分
所以
．···········12分
18．【解析】（1）由表中数据得的观测值，····3分
所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关．·········5分
（2）由题可知可能取值为0，1，2，···········6分
，···········7分，···········8分，···········9分
故的分布列为：
0 1 2



·········10分
∴．···········12分
19．【解析】（1）已知侧面是菱形，是的中点，
∵，∴，···········2分
因为平面平面，且平面，
平面平面，
∴平面，∴．···········4分
（2）如图，
以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由已知可得，，，，
∴，，，，·····6分
设平面的一个法向量，，，
由，，得，可得，···········8分
因为平面平面，，∴平面，
所以平面的一个法向量是，···········10分
∴，···········11分
即二面角的余弦值是．···········12分
20．【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为，
由题意得：，···········2分，所以椭圆的方程为：．···········4分
（2）设直线的方程为，，，
联立，
由，是上方程的两根可知：，···········6分
，···········7分
直线的方程为：，直线的方程为：，
得：，···········9分
把代入得：
，即，···········11分
故点恒在定直线上．···········12分
21．【解析】（1）当时，．
当时，，所以点为，···········1分
又，因此．···········2分
因此所求切线方程为．···········4分
（2）当时，，则．···········6分
因为，所以当时，，···········7分
且当时，；当时，；
故在处取得极大值也即最大值．···········8分
又，，，
则，所以在区间上的最小值为，······10分
故在区间上有两个零点的条件是，
所以实数的取值范围是．···········12分
22．【解析】（1）由消去参数，
得，即为曲线的普通方程．···········2分由得，
结合互化公式得，即为曲线的直角坐标方程．···········5分
（2）因为曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点是它们的其中一个公共点，所以中，···········6分
解得三个交点的坐标分别为，，，·····8分
所以所求三角形面积．···········10分
23．【解析】(1)依题意，得，···········2分
于是得或或···········4分
解得，即不等式的解集为．···········5分
（2），
当且仅当时，取等号，∴，···········7分
由，···········8分
∵，∴，，
∴，∴．···········10分