(共16张PPT)
天空的幸福是穿一身蓝
森林的幸福是披一身绿
阳光的幸福是如钻石般耀眼
老师的幸福是因为认识了你们
愿你们努力进取，永不言败
致亲爱的同学们
温故而知新
注意：（1）二项式展开式有 n+1 项，比二项式的次数大一；
（2）二项式系数与二项式展开式系数是两个不同的概念；
（3）二项式展开式的通向式
（4）二项式定理通常有如下变形：
（1）每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
（2）对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
（3）增减性与最大值：当n为偶数时，中间的二项式系数 最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数
相等且最大，且最大系数的左边，二项式的系数逐渐增大，右边的逐渐减小。
（4）二项展开式的各二项式系数的和等于 ，即
由杨辉三角得出的二项式系数的性质
（1）
课堂小测试
答案：
(4)3个括号中全都取b得：C33b3
(2)3个括号中有1个取a，剩下的2个取b得:C31aC22b2
同理：(1) 不取b得： C30 a3
(2)取1个b得： C31 a2b
(3)取2个b得： C32ab2
(4)取3个b得： C33b3
(a+b)3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
2.化简： .
3.
展开式中含x3项的系数为___________。
的有理项
1.求：
1820
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
新知探究对(a+b)4展开式的分析
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
归纳推广
(a+b)2 =
C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
猜想(a+b)n 的展开式
(a+b)n ＝
Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn
(n∈N*)
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
Cnk an-kbk ：二项展开式的通项,记作Tk+1
初识二项式定理
Cnk： 二项式系数 (k∈{0,1,2, ‥·n})
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋
Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn (n∈N*)
Tk+1 =Cnk an-kbk (k∈{0,1,2, ‥·n})
(1)共有n+1项
(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0
字母b按升幂排列，次数由0增加到n
初识二项式定理
二项展开式的特点：
(2)各项的次数都等于二项式的次数n
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋
Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn (n∈N*)
(4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … ,
Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数，
与a,b无关
(1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn
若令a=1,b= -x，则展开式又如何？
初识二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋
Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn (n∈N*)
若令a=1,b=x，则得到：
(1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn
新知运用
例1 ：(1)写出(1+2x)5的展开式
(2)求(1+2x)5的展开式中的第4项
(3)写出(2x+1)5的展开式中的第4项
(4)写出(1+2x)5的展开式中的第4项的二项式
系数，以及第4项的系数
新知运用
例2 ：(1)写出(x+ )5的展开式中的x3项
x
1
(2)求（ -2x)6 的常数项
x
1
小结：
通过本节课的学习你的收获是什么？
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋
Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn (n∈N*)
Tk+1 =Cnk an-kbk(k∈{0,1,2, ‥·n})
二项式系数和项的系数是两个不同的概念
作业：
作业：P37 4（1）（2）(共20张PPT)
“杨辉三角”与二项式系数的性质
汤阴一中 数学组
教学目标
知识目标：掌握二项式系数的三条性质，
体会用函数知识研究问题的方法，以及赋
赋值法运用。
情感目标：杨辉三角卓越成就,激励学生的民族自豪感。
教学重点：通过观察发现“杨辉三角”蕴含的规律，探寻
二项式系数的性质
教学难点：二项式系数性质的证明及其运用。
授课类型：新授课
二项式定理及展开式:
n
n
n
r
r
n
r
n
n
n
n
n
n
n
n
b
C
b
a
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a
2
2
2
1
1
1
0
+
+
+
+
+
+
=
+
-
-
-
L
L
）
（
二项式系数
通 项
复习回顾
……
……
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
课题引入
二项式系数表
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
你知道这是什么图表吗？
《详解九章算法》记载的表
杨辉 三角
杨辉
以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
问题：从图中你能得出哪些性质？
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
问题：会证明这些性质吗？
a).表中每行两端都是1。
b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
4+6=10
2+1=3
例如：
c
r
n
c
r-1
n
+
c
r
n+1
=
当n不大时，可用该表来求二项式系数。
C
2
3
C
2
2
C
1
2
+
=
= 3
C
2
5
C
2
4
C
1
4
+
=
= 10
因为：
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
2
1
3
4
6
10
1.探究杨辉三角的规律
第1行———
第2行——
第6行-
第5行--
第4行—
第3行—-
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
对称
2.探究二项式系数的对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
(a+b)1
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)2
(a+b)6
(a+b)n
Cn0
Cn1
Cn2
Cnr
Cnn
…
…
1
6
15
20
15
6
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
3.探究二项式系数的增减性与最大值
①当n=6和n=7时
二项式系数 （0≤r≤6）和
用图象表示：
函数角度解释二项式系数的增减性与最值：
可以看成以 为自变量的一个函数
f（r）
n为奇数；
如n=7
f（r）
r
n
O
6
15
20
1
n为偶数；
如n=6
20
10
30
35
O
n
7
4
3
①关于r=n/2对称
②r=3和r=4时取得最大值
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
n是偶数时，中间的一项
取得最大值 ；
当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值。
danw
结论：
增减性与最大值的另一角度分析
由于：
所以 相对于 的增减情况由 决定．
由于
二项式系数是逐渐增大的，由对对称性可知它的
后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
当
时
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
和为
2
4
8
16
32
64
4.探究二项式系数和
思考:如果令a=1,b= - 1会得到什么结论呢？
（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ …+ Cnran-rbr+ …+Cnnbn
证明:在展开式
令a=1,b=1
结论
这种方法叫做赋值法
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).
C
课堂练习:
A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
C
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( ).
4，化简 + + + +
=
3， 已知 展开式中只有第10
项二项式系数最大，则n=______。
18
5.(1-x2)9展开式中系数最大的项是 ，
系数最小的项是 ， 二项式系 数最大的项是 .
T5=126x8
T6= -126x10
126x8
-126x10
6.设
小结:
（2） 数学思想：函数思想
a 图象、图表；
b 单调性；
c 最值。
（3） 数学方法 ： 赋值法
（1）二项式系数的三个性质
对称性
增减性与最大值
各二项式系数和
