必修5 第二章 数列
数列的应用
双基精练
一、基础夯扎实
1．1提示： ,．
2．62 提示：依题意，林场每年造林的公顷数成等差数列，其中，，.?
∴.
3．596? 提示：依题意，林场每年造林的公顷数成等比数列，其中，，.
∴.
?4．30%? ?解：设平均每次降价的百分率是，则每次降价后的单价是降价前的倍.这样，将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，记为，其中
? ? ? ? ??，，，
? ? 则，?.
? ? 因此.
5．512 提示： 由题意知,每次分裂细菌数构成等比数列,,公比,共分裂次,第次应为,(个)
6．提示：由知函数当从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，形成一个首项为，公差为的等差数列，．
7．提示：由条件知，．
8．6 提示：设边数为，由凸多边形的内角和为 ，解得．
9．提示：由题意知恒成立，即恒成立，得．
10．333提示： 在[1000，2000]内能被3整除的整数构成以1002为首项，3为公差的等差数列，其末项为1998，，∴n＝333 ∴共有333个数．
11．提示：设第n行的第2个数为an，不难得出规律，an+1=an+n，累加得an=a1+1+2+3+…+（n－1）=．
12．解：由，得，即,
,所以数列是以首项，公差为的等差数列．
则, ．
13．是 提示：依题意，，则，所以共线．
14．40 提示：设每个水龙头放水时间依次为，
由已知，
∴ 数列为等差数列，又每个水龙头每分钟放水量是，∴ ，
即，
即，, 又，
∴ ，即最后一个水龙头放水时间是40分钟．
二、更上一层楼
15． 提示：设为条直线将平面最多分成的部分，则新增加的第条直线被条直线分成段，每一段又将原来的部分分成两部分，因此增加了个部分，于是得到，，．
16．750 提示：设第个月余款元，由题设得，，…可得：，
所以第十二个月余款约750元．
17．22012－2提示：由a1·a2·…·ak=···…·
==log2（k+2）=2012，解之得k=22012－2．
18．2n+1-2提示：直线方程为,令x=0得 an=(n+1)2n， ，数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2．
19．─1 提示：①依题意，由是等差数列，有,即─1是方程的一个根，因此方程恒有实数根x=─1．
20．x─2y+a─2=0 提示：根据得，，消去，点Pn落在直线：x─2y+a─2=0．
21．４２ 提示：由图可得：，所以．
22．２０４６ 提示：设共需大理石块，则第一层：；
第二层：；
第三层：；… ；
第十层：；
从而有，
解得．
23．解：设从2012年起，每年平均需新增住房面积为x万m2，则由题设可得下列不等式
解得．
答 设从2012年起，每年平均需新增住房面积为605万m2．
24．解： (1)设中低价房面积形成数列,由题意可知是等差数列, 其中，，
则，
令，即，而是正整数, ∴．
∴到2023年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列,其中，，
则．
由题意可知，
有，
解得满足不等式的最小正整数．
∴到2019年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
25．解：设未赠礼品时的销售量为a0个，而赠送礼品价值n元时销售量为an个，，
，
又设销售利润为数列，
当，
考察的单调性，
∵
，
∴
当n=9或10时，最大．
答：礼品价值为9元或10元时商品获得最大利润．
三、兴趣靠培养
26．解：设小时后的细胞总数为，则，且，即，数列是首项为，公比为2的等比数列，．因此，第个小时后的细胞总数为（）个．
必修5 第二章 数列
数列的应用
精彩点拨
一 、精彩问答
数列的应用问题中最重要的问题有哪些？
1．数列应用问题的核心是建立适当的数列模型
【例1】黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖_________________块．
简单吧！数一数，寻找规律，第n个图案中有白色地面砖的块数是关于n的等差．答案：．
2．常见的数列模型有等差数列、等比数列或递推数列，经常涉及到的实际问题是平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题．
【例2】一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生（记为零岁）就在每年生日（出生那天也存），到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子岁上大学时（到期时取），将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
【解析】不妨从每年存入的元到18年时产生的本息入手考虑，出生时的元到18年时变为，
1岁生日时的元到18岁时变为，……
17岁时的元到18岁时变为
如此存款到18岁时取回的钱的总数应为：
．
做对了吧！这里要注意的是年年存的，而且是相当于复利，最后取出的钱数相当于一等比数列的和．
【感悟】逐步归纳找出规律，本题是等比数列的求和问题．这类题不难哦！同学们，为人父母不容易呀！
二、精彩例题
1．假设A型汽车关税在2006年是100%，在2011年是25%，2006年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．
（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2006年的价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证在2011年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车的价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？
（2）某人在2006年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息记入第2年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆（1）中所述降价后的B型汽车？，，
【审题】（1）根据条件计算出2011年A型车价格，相应地求出2011年B型车的最高价格，从而可得出平均每年至少下降多少万元；（2）五年到期时这笔钱连本带息是多少，与（1）中所述降价后的B型汽车价格比较，如果多于车价就能买，如果少于就不能买．
【解析】（1）因为A型车2011年关税税款为2006年关税税款的，故所减少了的关税税款为（万元）．所以，2011年A型车的价格为（万元）．
因为在2011年B型车的价格不高于A型车价格的，所以有：B型车价格（万元）．因为年B型车的价格为万元，故五年中至少要降价万元．所以平均每年至少降价万元．
（2）根据题意，2006年存入的万元年后到期时连本带息可得（万元）．
因为（万元），所以够买一辆（1）中所述降价后的B型汽车．
【感悟】本题对计算精确度要求较高，所以计算时要小心．另外理清题目条件及其相互关系，建立的是哪种数列模型，复利问题与等比数列相联系．
2．某企业经过调整后，第一年的资金增长率为300%，以后每年的资金增长率都是前一年增长率的．（1）经过4年后，企业资金是原来资金的多少倍？（2）如果由于某种原因，每年损失资金的5%，那么经过多少年后企业的资金开始下降？
【审题】（1）我们可以将前4年的资金都求出来，很快就知道是原来资金的多少倍了；（2）我们可以建立数列模型，看相邻两项之间的关系，再建立不等式求解．
【解析】（1）设企业原有资金为a,调整后第n年的资金为 an(n=1,2…)．
则a1=a(1+300%)=4a,a2=a1(1+100%)=8a,
a3=a2,a4=a3，
∴经过4年后，企业资金是原来资金的倍．
（2）若每年损失资金的5%，则第n年的资金与第(n-1) 年的资金之间的关系为：
，
,
经过4年后，从第五年起企业的资金开始下降．
【感悟】增长率问题往往与等比数列相联系，要搞清所求的是数列的第几项．
3．某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出件，（n∈N*）．
（1）试写出销售量s与n的函数关系式；
（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
【审题】对于(1)中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为sn,则sn-1表示广告费为(n-1) 千元时的销量，由题意， ，可知数列{sn}不成等差也不成等比数列，但是两者的差构成等比数列，对于这类问题一般可用叠加法．
【解析】（1）设s0表示广告费为0千元时的销售量，
由题意得：，，…，，相加得Sn-S0=+++…+,
即s=b++++…+=b(2-)．
（2）b=4000时，s=4000(2-),设获利为Tn，则有Tn=s·10-1000n=40000(2-)-1000n
欲使Tn最大，则：，得，故n=5,此时s=7875．
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．
【感悟】数列应用问题中，常常是寻求相邻两项的递推关系，如果不是等差或等比数列问题，往往转化为等差或等比数列问题，或利用递推关系迭代寻找规律．
双基精练
一、基础夯扎实
1．在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.在一个 “绝对差数列”中，已知，则_____________．
2．?某林场计划今年（第一年）造林5公顷，以后每年比上一年多造林3公顷，则第20年林场造林___________公顷．
3．某林场计划第1年造林80公顷，以后每一年比前一年多造林20%，则前5年造林约__________公顷．（）
4．某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的1000元降低到343元，这种产品平均每次降价的百分率为_____________．
5．某种细菌在培养过程中,每分钟分裂一次(一个分裂成二个)经过h这种细菌由一个可繁殖成____________个．
6．已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，则______________．
7．一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么的值是_____________．
8．若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为A
9．已知数列是递增的数列，且对于任意n∈N*，都有成立，则实数的取值范围是__________．
10．在[1000，2000]内能被3整除的整数共有_____个．
11．如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系是从第三行起，每行除首尾两数外，其余各数都是上一行与它对应的左右两数和，则第n行（n≥2）第2个数是______________．
12．已知函数，当时，，则数列________．
13．已知等差数列的前n项和为， 且，则三点A、B、C是否共线__________．
14． 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，则最后关闭的这个水龙头放水__________分．
二、更上一层楼
15．一个平面上有条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，则此条直线将平面最多分成__________部分．
16．某人每月工资2000元，月底又可得奖金200元，每月领取工资后按现有钱的80%安排本月支出，则第十二个月的余款有__________元．
17．已知an=logn+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算a1·a2=log23·log34=·=2，
a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log67·log78=··…··=3，……
定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k（k∈N*）叫做企盼数.试确定当a1·a2·a3·…·ak=2012时，企盼数k=__________．
18．对正整数n，设过点且斜率为的直线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和是__________．
19． 等差数列中，已知公差d≠0,,设方程是关于x的一组方程，现已知这些方程有公共根，这个公共根为__________．
20．数列的前n项和Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b是常数，且b≠0,以为坐标的点Pn都落在同一直线上，这条直线方程为__________．
21．第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，
则 .
22．为了保护某珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙．设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…依次类推，到第十层恰好将石块用完，则共需大理石__________块．
23．某城市2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2012年起，每年平均需新增住房面积为多少万m2，才能使2030年底该城市人均住房面积至少为24m2？(可参考的数据1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).
24．假设某市2011年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2011年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
25．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销，采用每买一个这样的商品赠送一个小礼品．实验表明：礼品价值1元时销售量增加10%，且在一定范围内礼品价值为n+1元时，比礼品价值为n元时（n∈N*）的销售增加10%，请你设计礼品价值以使商品获得最大利润．
三、兴趣靠培养
26．有一个细胞集团，每小时死亡2个，余下的各个分裂成2个，设最初有细胞7个，问小时后有多少个细胞？
必修5 第二章 数列
数列的通项与求和
精彩点拨
一 、精彩问答
数列的通项与求和最重要的是哪些问题？
1．等差、等比数列或可化为等差或等比数列的通项与求和
【例1】 已知数列的前项和为，⑴求的通项公式；（2）求数列的前项和 ．
（1）由 得：，
（2）由知：数列的前5项是正的，从第六项开始是负的，所以当时，；
，
．
所以数列前项和为．
【感悟】你做对了吗？要注意分类讨论思想在本题中的应用哦！
2．其它特殊数列的通项与前项和的求法
【例2】根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式．
(1)
(2)
解：（1）∵，∴，
∴
．
（2）∵，∴，∴是首项为
公比为的等比数列，∵，∴．
【感悟】求通项的常见方法有：叠加法、累积法、构造法等．
求和的常用方法方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．
二、精彩例题
1 （1）数列的前项和，求数列的通项公式．
（2）已知数列中，，记前项的和为，，求数列的通项公式．
【审题】（1）知道数列的前项和，可求该数列的通项，进而可求数列的通项．
（2）可利用和与项之间的关系，将和转化为项，从而可求通项公式．
【解析】（1）当时，，∴，由于不适合此式，所以 ．
（2）当时， ，
∵ ，∴ ，
，适合．
∴．
【感悟】由求的途径是 ，注意分类思想在本题中的应用．
2 设数列的前项和为，求．
【审题】该数列的通项本身是和式，，利用分组求和．
【解析】数列的第项为，所以前项和为
．
【感悟】抓住数列的通项，利用通项特征选择合适的方法求，这是一般数列求和的通法．
3 已知数列中，是其前项和，并且，，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和．
【审题】由于数列、中的项都与数列中的项有关，而数列中已知和与项之间的关系式，可由和与项的关系作切入点寻求解题的途径．
【解析】 (1)由，，两式相减，得，即，∴，即．
又，，，∴．
∴数列是首项为3，公比为2的等比数列，．
（2）∵，∴．
又，∴数列是以为首项，公差为的等差数列，．
（3）∵及，∴，
．
当时，；适合．
∴．
【感悟】1．等差、等比数列是两类特殊而重要的数列，要证明一个数列为等差或等比数列，只有按定义．解决本题的关键在于将条件转化为项的递推关系式．
2．本题综合性较强．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
3．注意加强恒等变形能力的训练．
双基精练
一、基础夯扎实
1．数列的通项为________．
2．数列满足，________．
3．已知数列前项和，则________．
4．在等差数列中，，其前项的和为．若，则________．
5．数列中，，则________．
6． 数列满足，则________．
7． 已知数列的通项公式，若它的前n项和为10，则项数n为 ．
8．已知数列中，，若前项和为，则________．
9．数列，，，…，，…的前项的和为________．
10．数列的前项和为， ，，则_________．
11．等比数列首项为1，公比为2，为其前项和，则_________．
12．数列是等差数列，是它的前项和，已知，则_________．
13．在数列中，，，是前项和，则_________．
14．数列9,99,999,9999,…的前n项和为_________．
二、更上一层楼
15．数列1，_________．
16．数列{}的前n项和，则_________．
17．若数列满足,则通项公式_________．
18．已知数列前n项和为，，则_________．
19．数列满足，,则数列的通项_________．
20．数列满足，则数列的通项_________．
21．记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为 ，第项及以后各项的和为，若 ， ，，，则等于_________．
22．已知数列中,，则数列通项为________．
23．数列的前n项和为，且满足，．
（1）求与的关系式，并求的通项公式；
（2）求和．
24．数列的通项，求此数列的前项的和．
25．数列满足，求．
三、兴趣靠培养
26．已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，数列中，，点在直线上．
⑴求和的值；
⑵求数列的通项和；
⑶ 设，求数列的前n项和．
必修5 第二章 数列
数列的通项与求和
双基精练
一、基础夯扎实
1．提示：通过观察可知（为正整数，以下同）．
2．提示：∵，∴为常数数列，∴
∴．
3．提示：由题意，易知，
当时，
∴
4．0提示：设，由，，
得：，即，所以．
5．提示：由得，即，∴，
∴．也可写出几项，猜想．
6．6提示：将，，代入计算：，，，，，…是一个循环数列，周期为6，所以．
7．120
提示：，
则
，由得：．
8．提示：．
9．提示：
．
10．10提示： ，由，所以．
11．提示： ，
∴
．
12．提示：，
，
，．
13．提示：由得：
，
∴，∴．
14．提示： ∵ a n = 10 n－1
∴ S n =（10－1）+（10 2－1）+（10 3－1）+…+（10 n－1）
=（101+102+103+…+ 10 n）－n
=．
二、更上一层楼
15．提示： 即求…．
由等差数列的前项和公式得
，
∴，
∴
．
16．提示：由，时，．
∴，，∴．
17．提示：由,得,这表明数列是首项为，公比的等比数列，于是有，即．
18．提示：令，∴
当时，整理可得，可知为首项为，公比为2的等比数列，∴．
19．提示：法一）多次运用迭代，可得
．
法二）将的两边取常用对数，可得，则为首项为，公比为2的等比数列，则，∴．
20．提示：将的两边取倒数， ，则为首项为，公差为2的等差数列，
∴，．
21．提示： ．
22．提示：由两边同加，则，
设 ∵即，又，
∴是以为首项，2为公比的等比数列，
∴,
∴为所求的通项公式．
23．解：（1）时，由得，两式相减得：，
∴，即．
（2）
．
24．解：
令 …①
……②
①﹣②得
所以
．
25．解：令，得，
当时， ①
②
①-②得，，令，
．
三、兴趣靠培养
26．解：（1）∵是与2的等差中项，∴．
∴，∴．
∵，∴．
（2）
∴，∵∴ ，即数列 是等比数列．
∵a1＝2 ，∴ ．
∵点在直线上，∴．
∴，数列是等差数列，，∴ ．
（3）
∴ ……①
∴ ……②
①－②得：
即：．
必修5 第二章 数列
等差数列与等比数列的综合运用
精彩点拨
一 、精彩问答
等差、等比数列综合运用最重要的是哪些问题？
1．等差、等比数列的基础知识
【例1】若，，，则数列是 数列（等差、等比）．
不要由就填等比数列哦！这里问的是构成什么样的数列，也就是问数列、、构成什么数列．对了，等差数列．
【感悟】这个问题不难吧！关键要搞清楚是哪几个数构成的数列及等差、等比数列的定义．
2．等差、等比数列的有关知识的综合运用
【例2】（1）已知数列是等差数列，则数列是 数列；
（2）正项数列为等比数列，则数列是 数列．
【解析】（1）因为数列是等差数列，所以，
即，所以，又因为，所以数列是等比数列．
（2）反过来可以得到应是等差数列．
【感悟】作为客观题，有同学喜欢取特殊数列来判断，但本题不宜取太特殊的数列（常数数列）来判断．判断一个数列是等差或等比数列的方法很多，可以用定义、通项、等差或等比中项、前项和特点等．方法较多，要学会灵活选取．数列是等差数列，则数列为等比数列．反之，正项数列为等比数列，则数列是等差数列．注意 “正项”数列哦．
二、精彩例题
1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12．求这四个数．
【审题】可以抓住前三个数成等差数列来设元；也可以考虑后三个数成等比数列来设元．不同的设未知数的方法，导致本题的解法较多．我们不妨按第二种设法来求解．
【解析】设四个数为，则，
解方程组得：，或．所以所求的四个数为15，9，3，1；或0，4，8，16．
【感悟】本题若将四个数设为，根据题中四个条件列出四个方程，再解方程组，计算量较大，容易出错．通常情况下：三个数成等差，可设为；三个数成等比，可设为或（如果知成等比的三个数的积，常用这种设法）．正确而巧妙地设未知数，可以快捷正确求解．
2．已知递减的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求数列的前项和．
【审题】知等比数列的前三项积，可得首项、公比的一个关系系，也可利用性质得到等比中项，再据另一条件列式求解．
【解析】由及等比数列的性质得：,设公比为,
则、、 成等差，所以 ，
（舍去），或．数列是以首项为，公比为2的等比数列，
所以数列的前项和为，即和为．
3． 数列的前项的和为，，且．
（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的各项均为正数，其前项的和为，且，又，，成等比数列，求．
【审题】条件给出的是和与项之间的关系，要求通项往往将和转化为项，进而得到相邻两项之间的关系，如果是特殊关系，立即可以得到通项公式．
【解析】（1）当时，，所以，又，，即，所以是公比为3的等比数列，故．
（2）设的公差为，则由，得．
依题意有，得．
故．
【感悟】本题主要涉及等差、等比数列的通项公式、前项的和公式、和与项的关系等基础知识，灵活利用这些知识是解决本题的关键．要注意里面的一些小细节哦！
双基精练
一、基础夯扎实
1．在两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则公差为___________．
2．等差数列中，，则________．
3．若，，成等差数列，则x的值为 .
4．数列中，， 为________时，前项和取最小值．
5．等差数列中，，则________．
6．等比数列中，前项和，则________．
7．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于 ．
8．设等比数列的公比为，前n项和为，，则等于___________．
9．各项为正的等比数列中，，则___________．
10．等比数列中，，则___________．
11．等比数列中，，则 ．
12．已知等差数列的公差，若、、成等比数列,那么公比为 _____________．
13．等比数列中，，则 ．
14．等比数列中，是方程两根，则_____________．
二、更上一层楼
15．等差数列中，， ，则________；________．
16．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为420，则这个数列有_____项．
17．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于________．
18．有3个数成等比，和为21，第三个数减去9，又成等差，则这三个数为 ．
19．下列说法正确的序号是 ．
（1）数列中，若，（q为常数，，则是等比数列；
（2）等比数列中，若m，n，p成等差数列，且m，n，p∈N则；
（3）lg2，lgm，lg8成等差数列，则2，m，8成等比数列且m＝±4；
（4）若，则a，b，c成等比数列．
20．设是正项等差数列，是正项等比数列，且a1＝b1，，则与的大小关系为 ．
21．正数成等比，为的等差中项，为的等差中项，则 ．
22．有四个数，前三个成等比数列，后三个成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为
18，则此四个数为________________．
23．已知成等差数列，成等比数列，且=15，=14，=15，=20．求等差数列的公差d及等比数列的公比q．
24．已知等比数列与数列满足．
判断是何种数列，并给出证明；
若
25等差数列中，公差,其中构成等比数列，若,求．
三、兴趣靠培养
26. 已知等差数列和的前n项和分别为、，且．
（1）若，求；
（2）求．
必修5 第二章 数列
等差数列与等比数列的综合运用
双基精练
一、基础夯扎实
1． 提示：, ．
2．12提示： ， ．
3．提示：，则，所以，或（舍），所以．
4．11或12 提示： 时，； 时， ；时，； ，所以为11或12 时，前项和取最小值．
5．提示：，．
6．3提示：公比不为1的等比数列的前项和公式可化为，与 相比较得： ，所以．
7．2提示：依题意得，所以．
8．提示：由条件得：，解得：．
9．9提示：由及各项为正，所以
．
10． 提示：等比数列中 ，又 ，所以， ；或 ， ．所以，或．
11．等比数列中， ，，所以．
说明：利用成等比数列，即，，或．要注意取舍．
12． 提示：依题意，即，由得：，所以公比为．
13．192提示：，而，所以．
14．3提示：依题意得，又，
二、更上一层楼
15．1，2提示：，，；
，．
16． 14 提示：由，得，又由得：．
17．－1或2 提示：由，即，所以，或．
18．16，4，1；或1，4，16提示：设三个数为，则，解得：，或，所求的三个数为16，4，1；或1，4，16．
19．（2）提示：（1）中若或，就不是等比数列；（3）中；（4）只有a，b，c全不为零时才正确．
20．提示：，，可以用特值法．
21．2提示：设，，，则．
22．；或3，6，12，18提示：设四个数为，则，解得：，或
所以所求的四个数
；或3，6，12，18．
23．依题意得：
，消去得：
即
，得：，得：，解得d=-3， q=2．
24．（1）数列是等差数列．设的公比为q， ∵,∴，∴．
所以是以为公差的等差数列．
（2） ，∴由等差数列性质得，
∴，∴．
25．解：由题意知成等比数列，，即，由得：，公比，
∴ ，
又，
∴，而，∴，
∴ ．
三、兴趣靠培养
26．解：（1）∵等差数列和，
∴
，
∴；
（2），
∴．
