北师大版2020-2021学年七年级数学下册《第2章相交线与平行线》单元培优训练（Word版 含解析）

第2章相交线与平行线单元培优训练
1．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．70°
2．如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1＝20°，∠2＝116°，则∠3的大小为（　　）
A．136° B．138° C．146° D．148°
3．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．30°
4．如图，已知直线AB∥CD．DA⊥CE于点A．若∠D＝36°20′，则∠EAB的度数是（　　）
A．63°40′ B．53°40′ C．44°40′ D．36°20′
5．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（　　）
A．114° B．142° C．147° D．156°
6．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（　　）
A．α，β的角度数之和为定值
B．α，β的角度数之积为定值
C．β随α增大而增大
D．β随α增大而减小
7．如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（　　）
A．136° B．102° C．122° D．112°
8．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2＝（　　）
A．116° B．122° C．128° D．142°
9．如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（　　）
A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2
C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1
10．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
11．∠AOB＝40°，BC∥OA，过点C作直线OA的垂线，点D为垂足，若∠OCD＝2∠OCB，则∠COB为　 　度．
12．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝　 　．
13．已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是　 　．
14．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于点G，若∠1＝130°，则∠2的度数为　 　．
15．如图，BD平分∠ABC，EF∥BC，AE与BD交于点G，连接ED．若∠A＝22°，∠D＝20°，∠DEF＝2∠AED，则∠AGB的大小＝　 　（度）．
16．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝　 　．
17．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　 　．
18．如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE＝50°，则∠C的度数是　 　．
19．如图，已知AE∥CD，BC⊥CD于C，若∠A＝28°，则∠ABC＝　 　°．
20．如图，已知直线a∥b∥c，△ABC的顶点B、C分别在直线b、c上，如果∠ABC＝60°，边BC与直线b的夹角∠1＝25°，那么边AB与直线a的夹角∠2＝　 　度．
21．如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝30°．
（1）求∠EOF的度数；
（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．
22．在∠AOB和∠COD中，
（1）如图1，已知∠AOB＝∠COD＝90°，当∠BOD＝40°时，求∠AOC的度数；
（2）如图2，已知∠AOB＝82°，∠COD＝110°，且∠AOC＝2∠BOD时，请直接写出∠BOD的度数；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠COD＝β，且∠AOC＝n∠BOD（n＞1）时，请直接用含有α，β，n的代数式表示∠BOD的值．
23．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．
24．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线．
（1）求∠AOE的度数；
（2）写出图中与∠EOC互余的角；
（3）∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由．
25．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）在图2中，画∠BEP的平分线与∠DFP的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG＝∠BEP，∠DFG＝∠DFP，（其中n为常数且n＞1），直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系．
26．如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF＝∠EFH．
（1）直接写出∠EFH的度数为　 　；
（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为　 　．
参考答案
1．解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．故选：B．
2．解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB＝180°，
∵∠2＝116°，
∴∠MAB＝180°﹣116°＝64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB＝∠BAC＝64°，
△BDQ中，∠BDQ＝∠2﹣∠1＝116°﹣20°＝96°，
∴∠ADC＝180°﹣96°＝84°，
△ADC中，∠3＝∠BAC+∠ADC＝64°+84°＝148°．故选：D．
3．解：如图：
∵矩形的对边平行，
∴∠2＝∠3＝44°，
根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1+30°，
∴∠1＝44°﹣30°＝14°，故选：A．
4．解：∵AB∥CD，∠D＝36°20′，
∴∠BAD＝∠D＝36°20′，
∵DA⊥CE，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAB＝∠DAE﹣∠BAD＝90°﹣36°20′＝53°40′．
故选：B．
5．解：∵∠1＝24°，CE⊥直线c于点E，
∴∠EAC＝90°﹣∠1＝90°﹣24°＝66°，
∵a∥b，
∴∠EAC＝∠ABD＝66°，
∵∠ABD的平分线交直线a于点C，
∴∠CBD＝，
∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣33°＝147°，
故选：C．
6．解：过C点作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCF+∠DCF＝90°，
∴∠α+180°﹣∠β＝90°，
∴∠β﹣∠α＝90°，
∴β随α增大而增大，
故选：C．
7．解：由折叠的性质可得，
∠2＝∠3，
∵∠1＝44°，
∴∠2＝∠3＝68°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠3＝180°，
∴∠AEF＝112°，
故选：D．
8．解：∵∠1＝64°，
∴∠3+∠4＝180°﹣64°＝116°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠3＝∠4＝116°÷2＝58°，
∵AC∥BD，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠2＝180°﹣58°＝122°．
故选：B．
9．解：过点C作CF∥AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②，
∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2．
故选：A．
10．解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
11．解：如图所示，当点D在AO上时，
∵BC∥OA，CD⊥AO，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OCD＝2∠OCB，
∴∠BCO＝30°＝∠AOC，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝40°﹣30°＝10°；
如图所示，当点D在AO的延长线上时，
∵BC∥OA，CD⊥AO，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OCD＝2∠OCB，
∴∠BCO＝30°＝∠DOC，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝180°﹣40°﹣30°＝110°；
故答案为：10或110．
12．解：由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG，
∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°，
∴∠B′OG＝（180°﹣∠AOB′）＝（180°﹣70°）＝55°．
故答案为55°．
13．解：设这个角为x，则补角为（180°﹣x），余角为（90°﹣x），
由题意得，4（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝60，即这个角为60°．
故答案为：60°．
14．解：∵AB∥CD，∠1＝130°，
∴∠CFB＝∠1＝130°，
∴∠BFD＝180°﹣∠CFB＝180°﹣130°＝50°，
∵DG⊥BF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BFD＝90°﹣50°＝40°，
故答案为40°．
15．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
设∠ABD＝x°，DE与BC交于点M，
∵∠AGB＝∠DGE，
∵∠AGB＝180°﹣∠A﹣∠ABD，∠DGE＝180°﹣∠D﹣∠AED，
∴∠AED＝x+2°，
∵∠DGE＝2∠AED，
∴∠DEF＝2x+4°，
∵BC∥EF，
∴∠DMC＝∠DEF＝2x+4°，
∵∠DMC＝∠D+∠DBC，
∴2x+4°＝20°+x，
解得：x＝16°，
∴∠AGB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣22°﹣16°＝142°，
故答案为：142．
16．解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，
即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
17．解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，
∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．
即β＝70°．
故答案为：70°．
18．解：延长BE交DC的延长线于G，
∵∠BFE＝50°，
∴∠EBF+∠FEB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC＝260°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BGC，
∴∠BGC+∠BEF+∠FEC＝260°，
∵∠BEF+∠FEG＝180°，
∴∠EGC+∠CEG＝80°，
∴∠ECG＝100°，
∴∠ECD＝180°﹣100°＝80°．
故答案为80°．
19．解：如图，过B作BM∥AE，
∴∠A＝∠ABM，∠MBC＝∠C，
∵∠A＝28°，
∴∠ABM＝28°，
∵BC⊥CD于C，
∴∠C＝90°，
∴∠MBC＝90°，
∴∠ABC＝∠ABM+∠MBC＝28°+90°＝118°，
故答案为118°．
20．解：如图，
∵a∥b∥c，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，
∴∠ABC＝∠2+∠1．
∵ABC＝60°，∠1＝25°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
故答案为35．
21．解：（1）∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD＝∠DOF，
∵∠BOD＝∠AOC＝30°，
∴∠DOF＝30°，
∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝60°．
（2）OE平分∠AOF．
理由：∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵∠EOF＝60°，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
22．解：（1）如图1，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣40°＝140°，
答：∠AOC的度数为140°；
（2）如图2，∵∠AOB＝82°，∠COD＝110°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD
＝82°+110°﹣∠BOD，
又∵∠AOC＝2∠BOD，
∴2∠BOD＝82°+110°﹣∠BOD，
∴∠BOD＝＝64°，
答：∠BOD的度数为64°；
（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD
＝α+β﹣∠BOD，
又∵∠AOC＝n∠BOD，
∴n∠BOD＝α+β﹣∠BOD，
∴∠BOD＝，
答：∠BOD＝．
23．解：（1）∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∠AOD＝∠BOC，
∠AOB+∠DOC＝180°；
（3）∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°．
24．解：（1）∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝140°，
∵OE是∠AOC的角平分线，
∴∠AOE的度数为：140°÷2＝70°；
（2）∵OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线，
∴∠AOE＝∠EOC，∠COD＝∠BOD，
∴∠EOC+∠COD＝90°，
∴∠BOD+∠EOC＝90°，
∴图中与∠EOC互余的角有∠COD，∠BOD；
（3）∠COE有补角，
理由：∵∠AOE＝∠EOC，∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠COE+∠BOE＝180°，
∴∠COE有补角是∠BOE．
25．证明：（1）如图1，过点P作PG∥AB，
，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）如图2，
，
由（1）可得：∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]＝（360﹣∠EPF），
∴∠EPF+2∠EQF＝360°；
（3）由（1）可得：
∠EGF＝∠AEG+∠CFG，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵∠BEP＝∠BEG，∠DFP＝∠DFG，
∴∠EPF＝∠BEP+∠DFP＝（∠BEG+∠DFG）＝[360°﹣（∠AEG+∠CFG）]＝×（360°﹣∠EGF），
∴∠EGF+n∠EPF＝360°．
26．解：（1）过点F作MN∥AB，如图1所示：
则∠BEF＝∠EFM，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠DHF＝∠HFM，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，
∵∠AEF+∠CHF＝∠EFH，
故∠EFH＝108°，
故答案为108°；
（2）过点F作FF′∥AB，过点M作MM′∥AB．
∵AB∥CD，
∴FF′∥MM′∥AB∥CD，
∴∠F′FH＝∠FHD，
∴∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，
∴∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝，
∵MM′∥CD，
∴∠M′MH＝∠1，
∴∠FMH+108°﹣∠FHD＝，
∴∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）延长NK交CD于点R，
∵∠AEF+∠CHF＝∠EFH，即∠1+∠2＝∠3，
而∠1+∠2+∠3＝360°，
故∠1+∠2＝252°，
设∠NEB＝α，则∠PEN＝2∠NEB＝2α，
则∠1＝∠PEB＝3α，
而∠2＝180°﹣∠4，
故3α﹣∠4＝72°，
则2∠FHD﹣3∠ENK＝2∠4﹣3（∠NKB﹣∠NEB）＝2∠4﹣3（∠4﹣α）＝3α﹣∠4＝72°，
故答案为72°