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基于本质的向量“减负增效”教学思考
南安一中 洪丽敏
向量本质
教学目标定位
减负增效建议
总体规划
一般的说，一个特定数学对象，
在一定的范围内保持不变的性质，
是该数学对象的“本质属性”，
可变的性质则是“非本质属性”．
（涂荣豹《数学教学认识论》）
1向量本质
1.向量的本质就是既有大小又有方向的量 。
2.在数学中，同一对象常常有不同的表达式，这些形式从不同的侧面突出了数学对象的本质特征。例如有向线段、符号表示、坐标表示分别从形、数、数不同的侧面表示了向量。
3.从“形”“数”不同侧面理解向量的概念，就是对向量本质的很好把握．
1向量本质
具体而言，“减负”，是指减轻学生过重的学业负担及由此带来的精神负担和心理压力；“增效”，指的是在相同办学资源（时间、精力、设施、资金等教学投入）条件下教学质量（教学产出）的提高，即提高教学效率、办学效益．
落实“减负增效”是使得数学教育最大化的重要保证．
2“减负增效”－－减负是手段，增效是目的.
（一）三减
※从数学学科本身减：减掉“过分形式化”，增强数学的亲和力（如平面向量基本定理只要求学生能借助形直观理解，而不要求严格的证明 ）
※从内容上减：减掉繁、难、偏、旧的内容，增强数学与实际的联系（如向量的非正交分解、向量投影只要求了解，不必拓展 ）
※从难度上减：降低难度，防止深挖（如线段的定比分点，要求学生掌握利用向量推导其坐标公式的方法，但公式不要求记忆 ）
2“减负增效”－－减负是手段，增效是目的.
（二）三增
○注重问题引入，情景创设（如以物理中的位移、力为背景介绍向量的概念；以位移、力的合成为背景理解向量的加法）
○教师主导， 学生主体建构（如从“形”“数”两侧面理解向量）
○巩固反思，精讲多练，变式练习
2“减负增效”－－减负是手段，增效是目的.
1.平面向量，课时：12节，约占总课时数的4％
3向量知识框图
2.空间向量，课时：12节，约占总课时数的4％
3向量知识框图
课程价值取向
《课程标准》要求
典型考题点评
二、教学目标定位
教学目标定位
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着及其丰富的实际背景．
在平面向量中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题．
空间向量则为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具．在空间向量中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量以及运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量法在研究几何图形中的作用．
二、教学目标定位－－课程价值取向
1．向量的线性表示应控制难度，不宜做太多的拓展．对于向量运算的交换律、数乘的结合律和分配律，只要求会用即可．
2．平面向量基本定理是平面向量的核心内容，它为向量的坐标表示奠定基础，该定理不要求严格的证明．
3．要求学生掌握利用向量推导线段的定比分点坐标公式的方法，但公式不要求记忆．
4．向量的非正交分解、向量投影的概念只要求了解，不必拓展．
5．平面向量数量积的应用应以解决涉及长度、角度和垂直等数学问题为主，不应随意拓展．
二、教学目标定位－－《课程标准》要求
6．空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．
7．空间向量的教学中要引导学生正确理解“向量方法”与“坐标方法”．对这两个方法的教学，关键是让学生感悟到：它们的共同点是用基底来表达问题中的有关向量，再用向量的运算来解决问题；不同之处在于前者是化归为图形中已有的向量，后者则选择一组正交的单位基底，将向量运算更彻底地转化为坐标运算．教学中要引导学生根据问题的具体情况，选择适当的方式．
8．立体几何问题的主要题型：其一，空间位置关系（如平行和垂直位置关系）的论证；其二，空间量的计算，如求线线、线面、面面的夹角的计算问题等．
二、教学目标定位－－《课程标准》要求
知识要求
能力要求
数学思想方法
二、教学目标定位－－典型考题点评
知识要求
线性运算
二、教学目标定位－－典型考题点评
知识要求
线性运算
二、教学目标定位－－典型考题点评
平面向量的线性运算都具有明显的几何意义，因此，对线性运算的考查常立足于平面几何图形（如三角形、平行四边形）或是纯粹的坐标运算，难度一般较小，属基础题．
知识要求
数量积
二、教学目标定位－－考题典例
知识要求
数量积
二、教学目标定位－－典型考题点评
数量积的考查常见的有数量积公式的直接运算，或坐标运算，或利用数量积解决垂直、角度、长度等问题，难度中等．
二、教学目标定位－－典型考题点评
能力要求
空间想象能力
立体几何是考查空间想象能力的主要载体，立体几何问题的解法一般有几何法与代数法两种，它们从不同的角度解决立体几何问题．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是联系几何与代数的桥梁．
用空间向量处理空间问题，空间元素间的位置关系转化为数量关系，形式逻辑证明转化为数值计算．由于思路清晰，降低了思维的难度，因此空间向量就成为处理空间问题的重要方法．
二、教学目标定位－－典型考题点评
能力要求
空间想象能力
用向量方法解空间几何问题，绝不能脱离图形，依然需要对图形进行观察、思考、推理、判断，做到“眼里有图，脑中有图”，能把图形和概念联系起来，用图形思考问题．在思考过程中，空间想象是前提，代数运算是关键．
二、教学目标定位－－典型考题点评
能力要求
空间想象能力
能力要求
运算求解能力
二、教学目标定位－－典型考题点评
运算求解能力是一项基本能力，在代数、立体几何、平面解析几何、概率与统计等方面都有所体现．运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力，一般包括运算的合理性、运算的准确性、运算的熟练性、运算的简捷性四个方面．
二、教学目标定位－－典型考题点评
能力要求
运算求解能力
能力要求
其它能力考查
二、教学目标定位－－典型考题点评
能力要求
其它能力考查
二、教学目标定位－－典型考题点评
二、教学目标定位－－典型考题点评
数学思想方法
数形结合思想
以形助数
向量的各种运算都有其明显的几何意义，可以“以形助数”
二、教学目标定位－－典型考题点评
数学思想方法
数形结合思想
以形助数
二、教学目标定位－－典型考题点评
数学思想方法
数形结合思想
以数辅形
由于直角坐标系的引入，平面向量的运算可以通过坐标运算得以实现，“以数辅形”又是向量解决的重要手段．
二、教学目标定位－－典型考题点评
数学思想方法
数形结合思想
以数辅形
二、教学目标定位－－典型考题点评
数学思想方法
其它思想方法
※函数与方程的思想
※有限与无限的思想
※特殊与一般的思想
了解层次：向量的实际背景；向量的线性运算性质及其几何意义；平面向量的基本定理及意义；数量积与向量投影的关系．
理解层次：向量的概念及几何表示；向量相等的含义；向量的加法、减法、数乘运算的几何意义；用坐标表示向量的加法、减法、数乘运算；共线向量的含义，共线的坐标表示；平面向量的数量积的含义及其物理意义；用数量积表示两个向量的夹角，用数量积判断两个向量的垂直关系．
掌握层次：向量的加法、减法的运算；数乘运算；平面向量的正交分解及坐标表示；数量积的坐标表达式；用数量积表示两个向量的夹角．
二、教学目标定位－－教学目标定位
平面向量
选修2－1的第三章的《空间向量与立体几何》分为两大内容，其中“空间向量及其运算”要注意在平面向量的学习上进行类比学习，而“立体几何中的向量方法”的核心内容在于让学生体会、理解利用空间向量解决立体几何问题的一般方法（“三步曲”）
①先利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素，建立立体图形与空间向量的联系；
②进行空间向量运算；
③由向量运算结果回归几何结论．
二、教学目标定位－－教学目标定位
空间向量
三、“减负增效”建议
渗透“数形结合”的思想
关注向量的“交汇性”
重视教材，落实基本概念
建议：
（1）充分重视向量的物理背景，如以位移的合成理解向量加法的三角形法则，以力的合成理解向量加法的平行四边形法则，以力的分解理解平面向量的基本定理（或空间向量基本定理），以做功为背景理解数量积．
三、“减负增效”建议－－ 渗透“数形结合”的思想
三、“减负增效”建议－－ 渗透“数形结合”的思想
O
P
A
B
A1
B1
A
建议：
（2）注意与数量的类比学习．特别是加法、数乘的运算律，
注意数量积运算律与数量乘法运算律的联系和区别．
三、“减负增效”建议－－ 渗透“数形结合”的思想
三、“减负增效”建议－－ 关注向量的“交汇性”
向量融数、形于一体，具有代数形式与几何形式的“双重身份”，成为中学数学知识的一个重要交汇点．常见的交汇有平面向量与三角函数、平面几何、数列、函数、不等式、解析几何等.
向量常立足“搭桥”功能、或工具功能．
三、“减负增效”建议－－ 关注向量的“交汇性”
三、“减负增效”建议－－ 关注向量的“交汇性”
以上三个问题都体现了向量的搭桥功能，解决的关键在于向量语言的翻译、转化．
向量的工具性功能更多的体现在利用向量解决平行、垂直、夹角等问题。
建议：
（1）重视课本概念的教学，不要过分强调“一个定义，三项注意”（即重视语义分析，反复指正定义，轻视过程）不要为教概念而教概念，不要把概念同化过程理解为“教师讲解，学生理解”，不要“掐头去尾烧中段”，而应重视知识发生的过程．
三、“减负增效”建议－－重视教材，落实基本概念
三、“减负增效”建议－－重视教材，落实基本概念
三、“减负增效”建议－－重视教材，落实基本概念
建议：
（2）要重视挖掘教材例题、习题的“榜样”作用，让学生明白试题命制“来源课本，又高于课本”，教材是学习之本．
三、“减负增效”建议－－重视教材，落实基本概念
三、“减负增效”建议－－重视教材，落实基本概念
三、“减负增效”建议－－重视教材，落实基本概念
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基于本质的概率与统计
“减负增效”教学思考
泉州五中 黄种生
一、对数学本质的认识:
张奠宙说：“只有抓住数学的本质，才能提高数学课堂效率。”
数学本质属于数学哲学的范畴。从不同的角度看数学，便对数学的本质有不同的认识。
1.从数学的发展和研究成果看，19世纪以前，人们认为数学是一门自然科学、经验科学；19世纪中叶，人们认为数学是一门研究结构的科学，是关于模式的学问。随着计算机的发明与广泛应用，现在人们认为数学既是基础学科，又属技术学科，特别是近几年，人们认为数学属于工程技术层次。
2. 从学科的特点看，数学具有
三大本质特征：
(1)高度的抽象性
(2)逻辑的严密性与结论的准确性
(3)应用的广泛性
3.从数学的文化角度看，数学是一种基本的现代文化素养。数学活动是社会性的，普通大众在生产和生活中需要数学。
4.从数学的教育角度看，作为课程的数学，和作为研究的数学有本质的不同。作为课程的数学，学习的主体是学生，学习的内容是人类已知的数学知识，学习的方式是被引导的获取。学习的目的是使学生获得数学知识和能力，以及情感、态度、价值观。
5. 落实到每一章、每一节、每一单元，数学的本质是指相应内容中最基础的，最核心的，最有辐射作用的知识、思想或方法。
二、概率与统计的本质特征与地位分析：
因此，概率与统计的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。
1.课程标准提出：统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法。同时，为统计学提供了理论基础。
2.知识的本质特征
概率是一种度量，用来度量随机事件发生的可能性的大小。从这点看，它与数学的其他度量是相似的。
同时，也要注意概率与统计思维和数学的其他的确定性思维的差异，要注意统计结果的随机性，统计推断是有可能犯错的。
3.知识地位：
可知概率与统计是六大主干知识之一。
高中数学的六大主干知识： 函数与导数、数列、三角函数、立体几 何、解析几何、概率与统计。
2011年全国考试大纲提出的能力要求是：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识。
显然，它是承载数据处理能力和应用意识的知识载体。
4.能力要求：
5.数学思想方法：
考试说明提出的数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、必然与或然思想。
概率与统计承载的最直接的思想是：分类与整合思想、必然与或然思想。
6.前后知识连续情况：
概率与统计，文科要用到的基础知识是加减乘除四则运算、分类计算、长度、面积、体积的计算。理科要用到的是增加计数原理，数列求和及定积分的意义。
概率与统计的延伸就是应用。高中阶段，它不是其他五大知识主干的基础。这体现了它的独立性。
三、概率与统计的知识结构
必修3：
统计（16课时）
(1)随机抽样（5课时）
(2)用样本估计总体（5课时）
(3)变量间的相关关系（4课时）
(4)实习、小结（2课时）
概率（8课时）
(1)随机事件的概率（3课时）
(2)古典概型（2课时）
(3)几何概型（2课时）
(4)小结（1课时）
选修1-2（文科）
统计案例（10课时）
(1)回归分析的基本思想及其应用（4课时）
(2)独立性检验的基本思想及其应用（3课时）
(3)作业与小结（3课时）
选修2-3（理科）
随机变量及其分布（12课时）
(1)离散型随机变量及其分布列（3课时）
(2)二项分布及其应用（4课时）
(3)离散型随机变量的均值与方差（3课时）
(4)正态分布（1课时）
(5)小结（1课时）
统计案件 ：与文科同
概率与统计高考中所占比例：
在2011年福建省的高考中：
文科分数5+5+12=22分，
理科分数5+4+13=22分。
文科共34课时，高中总252课时，占 34/252=13.5%，在150分的试卷中约占20分。
理科共46课时，总288课时，占46/288=16%，
在150分的试卷中约占24分。
四、高考要求：考试大纲要求
概率：
(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其 分布列的概念；了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
(2)理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散随机变量的均值、方差，并能解决一些实际的问题。
(5)利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。（只1课时，没有标准正态分布及相应的转化公式。）
统计案例：
(1)了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。
(2)了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。
统计：
2. (4)会用样本的频率分布估计总体分布；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；理解用样本估计总体的思想。
3. (1)会作两个有关联变量的散点图；会利用散点图认识变量间的相关关系。
五、例题分析
例1：(2011年全国理科第4题）
有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A 1/3 B 1/2 C 2/3 D 3/4
根据上表可得回归方程 中的
例2：（2011年山东理科第7题）
某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用 x(万元) 4 2 3 5
销售额 y (万元) 49 26 39 54
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）万元
A 63.6 B 65.5 C 67.7 D 72.0
例3： （2011浙江理科第9题）
有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A 1/5 B 2/5 C 3/5 D 4/5
例4：（2011年辽宁理科第5题）
从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=( )
A 1/8 B 1/4 C 2/5 D 1/2
例6：（2011年陕西理科第10题）
甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行浏览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ）
A 1/36 B 1/9 C 5/36 D 1/6
例7：（2011年全国理科第19题）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面实验结果。
A配方的频数公布表
指数值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数 4 12 42 32 10
B配方的频数公布表
指数值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数 8 20 42 22 8
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）。求X的分布列及数学期望。（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）。
解答：
由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为（22+8）/100=0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
例8：（2011年安徽理科第20题）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟。如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三人可派，他们各自能完成任务的概率分别为
假设 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立。
（1）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率，若改变三人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三人各自能完成任务的概率依次为 ，其中
是 的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX。
（3）假定 ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望)达到最小。
例9：（2010年辽宁理科第18题）
六、教学建议：
1.重视这块内容的独立性：
这块内容要用到的数学基础知识很少，其他五大块主干知识也很少用它做为基础知识。它的思想方法也相对独立。因此，我们认为，每个学生只要努力，都可以把这块内容学好。因此建议，在教这块内容前，明确告诉学生，不管你的基础有多差，都可以把这块内容学好。明确要求学生，在高考中，对这部分内容的要求是拿到满分。
2.在平时的教学中夯实基础，突出重点，突破难点。
本块内容一定要过关的重难点有：
（1）频率分布直方图、折线图等以面积表示频率；
（2）线性回归直线方程过样本点中心（ ）；
（3）散点图的应用；
（4）频率与概率的关系；
（5）对立事件与互斥事件；
（6）古典概型 P(A)= m/n（m,n要一致）；
（7）超几何分布；
（8）条件概率；
（9）相互独立事件；
（10）独立重复试验；
（11）二项分布的理解与应用；
（12）几个公式：
② E(ax+b)=aE(x)+b D(ax+b)=
①若X~B(n,p), 则EX=np , DX=np(1-p)
（13）正态分布；
（14）列联表；
3.重视思想性和应用性：
重视用样本估计总体，用频率近似概率的思想，注意理解必然与或然思想。注意统计有可能犯错误的特性。注意非确定性思维的特性。注意理解众数、中位数、平均值、期望、方差、回归直线方程、独立性检验等的意义，并能在实际问题中给出合理的解释。要重视应用，重视过程体验。在教学中，要注意对材料涉及到的相关学科、生产、生活中的实际问题背景作适当 的介绍与扩宽，帮助学生形成一些直观的、形象的生活中知识和技能，体会应用题的建模。
4.重视阅读训练与规范书写：
在讲题目时，要注意加强阅读方面的训练，帮助学生学会审题，学会获取信息。学会建立数学模型，养成不怕麻烦、仔细读题的习惯。在解题过程中要强调规范性书写和表达，这很重要，必须在平时的教学中帮助学生养成规范书写的习惯。
谢谢大家！(共40张PPT)
泉州七中 赖呈杰
一、版块知识本质
二、教学目标定位
三、典型考题点评
四、“减负增效”的建议
是《暴子质的到
“减炙效”
杖学思者》
泉州七中赖
谢谢!
兴八(共51张PPT)
基于本质的算法初步“减负增效”教学思考
泉州一中 汤向明
qzyztang@
减负增效的理解
为什么学？对相关的知识背景要有所了解
学什么？ 对课程标准及教学要求熟悉
怎么学（教）？了解学情结合自身特点想方
设法突破重难点
作业如何布置落实
怎么考？ 了解考试说明及历届题型
一、版块知识本质
1、基本内容简述：
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
自然语言、程序框图及程序是算法的不同表示形式。用自然语言描述算法的优点是通俗易懂，但容易造成理解歧义,描述算法太长，不够精练。当算法中存在循环或分支较多时，不易清晰表示出来。与自然语言描述相比，用程序框图描述的算法形象、直观，更容易理解。而且对于一个复杂的算法，如果直接编写程序语言很难保证程序的正确性，此时人们往往先用程序框图来描述算法，然后根据程序框图就可以方便地写出程序语言了。所以程序框图的学习与掌握还是有必要的。
一、版块知识本质
1、基本内容简述：
程序框图是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。它是文科选修教材1-2第四章《框图》中介绍的流程图的一种，它不同于日常生活和工作中常见的诊病流程图、工序流程图等等。程序框图是算法步骤的直观图示，它有一定的规范和标准，要求能编成计算机程序，并能在计算机上进行运行，而日常生活中用到的流程图则相对自由一些，它只要能较直观，明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤即可。
版块知识结构框图
一、版块知识本质
3.版块知识本质
算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
算法的基本思想应以与公理化思想对等的数学思想方法来把握，重点培养学生从算法角度理解数学知识、解决一类数学问题的算法意识
二、教学目标定位
1.课程价值取向
（1）算法具有现代应用价值：
算法是计算机科学的核心
“吴文俊----吴特征序列法”
二、教学目标定位
1.课程价值取向
（2）算法的思想价值：
算法思想是从问题解决出发给出程序性解法的机械化思想； 不同于公理化思想。
二、教学目标定位
2、《课程标准》及教学目标
课程目标:在学生义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；
通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；学生能体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考和表达的能力，提高逻辑思维能力。
二、教学目标定位
2、《课程标准》及教学目标
教学目标
（1）算法的含义、程序框图
①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环。
二、教学目标定位
2、《课程标准》及教学目标
教学目标
（2）基本算法语句
经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
二、教学目标定位
3、《高考考试说明 》要求
（1）算法的含义、程序框图：
① 了解算法的含义，了解算法的思想．
② 理解程序框图的三种基本逻辑结构： 顺序、条件分支、循环．
（2）基本算法语句：
理解几种基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
4、近三年高考典型考题赏析
高考考查的形式与特点
归结新高考试题特点，可以发现算法考查形式主要是将算法初步知识将与函数、数列、三角、概率、实际问题等知识点进行整合，试题遵循了“在知识网络交汇处设计试题”的命制原则，符合高考命题“能力立意”的宗旨，突出了数学的学科特点。试卷中基本以选择题、填空题等形式出现，主要考查算法的含义、流程图、基本算法语句等内容，一般在每份试卷中有1题，（12课时/288课时）多为基础题、中档题.
4、近三年高考典型考题点评
（1）考查算法的基本语句
这类题型主要考查对基本算法语句的理解和应用，一是写出一个算法执行后的结果，难度不会太大，二是对一个算法程序中缺少的关键语句进行补充。解答这类题目应注意熟练掌握赋值语句、条件语句、循环语句的格式，能够根据题目的要求，利用恰当的算法语句设计算法。
4、典型考题点评
(1)考查算法的基本语句
例1.(2011年福建理)
运行如图所示的
程序，输出的
结果是_______。
a=1
b=2
a=a+b
PRINT a
END
4、典型考题点评
(1)考查算法的基本语句
例2.（2011年江苏卷）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是
Read a，b
If a>b Then
M=a
Else
M=b
End If
Print M
4、典型考题点评
（2）考查程序框图的功能
此类题目常见有三种题型：
一是指出程序框图输出的结果；
二是给出程序框图来指出功能，
三根据框图的运行结果反推输入数据等。
主要考查学生阅读算法程序框图的能力，对算法理解的程度，这是算法初步试题的重要题型之一。
4、典型考题点评
(2)考查程序框图的功能
例1．（2009年浙江文理）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )
4、典型考题点评
(2)考查程序框图的功能（2010年福建文理）
4、典型考题点评
(2)考查程序框图的功能
4、典型考题点评
(2)考查程序框图的功能
4、典型考题点评
(2)考查程序框图的功能
4、典型考题点评
(2)考查程序框图的功能
4、典型考题点评
(2)考查程序框图的功能
4、典型考题点评
（3）完善程序框图中的条件或内容
在不完整的程序框图中，填补一些条件或内容，是高考考查算法知识的一种重要题型，应引起足够的重视。此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，对学生要求较高。
4、典型考题点评
（3）完善程序框图中的条件或内容
4、典型考题点评
（3）完善程序框图中的条件或内容
（3）完善程序框图中的条件或内容
（3）完善程序框图中的条件或内容
三、基于本质的算法初步“减负增效”教学建议
１．准确把握算法内容的课程标准与教学要求
教学前要认真阅读新课程标准，领会其基本理念，准备带着新理念实施教学。精读教材和教学用书，深入地掌握教材内容，体会算法思想。根据对算法的课标、教学建议以及考试说明， 算法教学的定位应当把体会算法的基本思想、提高学生逻辑思维能力作为重点，即教学过程中，应当以教科书中提供的案例为载体，引导学生在设计程序框图、将程序框图转化为程序语句的实践中，体会算法的含义，学会如何用程序框图表达解决问题的思路，而不要将本章内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。
2．重视基础知识的理解和掌握
算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：
算法基本思想，
算法基本结构，
算法基本语句。
2．重视基础知识的理解和掌握
算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：
算法基本思想，
算法基本结构，
算法基本语句。
2．重视基础知识的理解和掌握
算法基本结构：算法的基本结构一般有三种：顺序结构，条件结构，循环结构。前两种结构很容易理解，循环结构稍微有点难，初学时不明确如何设置变量和构造循环。
2．重视基础知识的理解和掌握
算法基本结构：条件结构
满足条件？
循环体
是
否
（2010年福建文理）
2．重视基础知识的理解和掌握
算法基本结构：循环结构
教师可举出学生熟悉的实例
——求全班50个学生的总分。借助计算器，从0开始，如果每次加入一个学生的成绩，那么需要做50次加法运算。从完成这件事情的过程中，同学可以找出三个关键的地方，即“从什么地方开始”、“反复做什么”、“在什么条件下结束”。于是相对比较自然想到这里需要设置一个变量，让它充当“累加器”。在这个把“逐项求和”转化为“循环求和”的过程中，他们也逐渐明确了“初始化变量”、“确定循环体”、“设置循环终止条件”这三个构造循环结构的关键步骤，从而掌握了构造循环结构的一般方法。
2．重视基础知识的理解和掌握
算法基本结构：
循环结构是算法结构中最复杂的一种，设计循环结构，关键是要理解循环的形成与控制。从循环的形成与控制不同来划分，循环结构可分为直到型循环结构和当型循环结构。
数学书本给出了直到型循环结构和当型循环结构的定义：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环，这种循环结构称为直到型循环结构，而在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环，像这样的循环结构称为当型循环结构。
2．重视基础知识的理解和掌握
算法基本结构：循环结构
满足条件？
循环体
是
否
满足条件？
循环体
是
否
2．重视基础知识的理解和掌握
算法基本结构：循环结构
教师就从这两个定义中归纳出直到型循环结构与当型循环结构的异同点。见下表：
直到型循环结构 当型循环结构
相同点 循环体被重复执行：包含条件结构，用于确定何时终止执行循环体
不同点 A1:先执行循环体再判断条件； A2:先判断条件再执行循环体；
B1:条件不满足时执行循环体，直到条件满足时为止 B2: 条件满足时执行循环体，直到条件不满足时为止
2．重视基础知识的理解和掌握
算法基本结构：循环结构
满足条件？
循环体
否
是
满足条件？
循环体
是
否
A1 B2
A2 B1
2．重视基础知识的理解和掌握
算法基本语句:输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。
如很多学生在初学算法时难以理解“n＝n+1”的含义，它表示的不是相等关系，而是赋值过程。
结合生活举例说明 号数。
又如学生不会利用赋值语句交换两个变量的值。此时可先引入生活实例，要学生说说如何交换两个相同的杯子中的不同液体，然后再进一步抽象化，解决以上问题。
3．突出重点，突破难点，体会算法思想
同一算法稍加改造可以用来解决不同的问题，对算法的优化或改造，是帮助学生理解算法的通用性、有效性的良好素材。对算法的优化或改造在算法的程序框图中进行，也有利于学生看清算法的结构和更好地把握算理。
例如让学生改造求S＝1+2+3+……+100的值
①若推广为求S=1+2+……+m，则只需在循环结构前给定变量m赋初始值，并将循环的终止条件改为“n>m”即可；②若求S=3+5+……+（2m+1），则起始值变成了3，终端数字变成了2m+1，循环体也变为S=S+（2i+1）；③若求2+22+23+……+2100，则只需将循环体变为“S=S+2n”,这样的训练，容易触类旁通，大大激发学生学习的积极性，对学生创新意识的培养和创新能力的提高也具有很强的现实意义。
4．算法应渗透在整个高中数学课程中
算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。在教学中，要体现数学与算法的有机结合，在学习相应的内容（如制作随机数表、三角、数列、不等式、概率、统计等）的过程中，有意识地设计与算法初步综合的题目引导学生体会算法思想，使他们看到数学在算法设计中的作用，以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性。
4．算法应渗透在整个高中数学课程中
算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。在教学中，要体现数学与算法的有机结合，在学习相应的内容（如制作随机数表、三角、数列、不等式、概率、统计等）的过程中，有意识地设计与算法初步综合的题目引导学生体会算法思想，使他们看到数学在算法设计中的作用，以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性。
5．渗透数学文化，进行品德教育
在数学发展过程中，一种重要算法的形成往往就标志着数学的重要进步。教师在数学算法教学过程中，应该注意与数学史的教学结合起来，从算法的历史背景到计算机科学中的算法，充分展现算法思想的历程，让学生真正体会算法的科学价值、应用价值、人文价值，感受数学文化的无穷魅力。实验表明，学生对教师所举的古代算法案例、中国古代数学的辉煌成就和中外数学家的故事等表现出极大的兴趣，他们不仅更深刻地认识了算法，也在无形之中接受了数学文化的熏陶和爱国主义的教育。
5．渗透数学文化，进行品德教育
算法第三节通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。教学的重点在于对算法的学习，不强调这些知识的记忆与灵活的运用。当然理解案例中的新出现的数学知识，是理解案例的必要前提。
算法教学三层次
1 考试要求
教学要求
3 文化品德
讲座不妥之处！
敬请批评指正！
谢谢大家！(共75张PPT)
基于本质的逻辑推理证明
“减负增效”教学思考
石狮石光华侨联合中学 蔡振树
2011.12.28
一、对本质涵义和“减负增效”的理解
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
四、对减负增效的建议
一、对本质涵义和“减负增效”的理解
本质是指事物本身所固有的根本属性.现象是事物的外部联系和表面特征.现象和本质是揭示客观事物的外部表现和内在联系相互关系的一对哲学范畴.
数学题的题面或问题表征都是现象，而这些现象表达或揭示的都属于问题的本质.
一、对本质涵义和“减负增效”的理解
（一）如何把握数学学科本质？
数学本质既体现在数学研究结果上，又体现在研究过程中；数学本质不仅体现在数学知识上，还体现在数学思想、数学文化、数学精神里，还体现在抽象、严密、简洁等特点上.
数学本质的内涵包括：数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼、数学理性精神的提炼等.
一、对本质涵义和“减负增效”的理解
数学的本质是逻辑，是推理，是抽象.
数学学科本质是对基本数学概念的理解
数学学科本质是对数学思想方法的把握
数学学科本质是对数学特有思维方式的感悟
数学学科本质是对数学美的鉴赏
数学学科本质是对对数学精神的追求
数学就是人类的理性思维方式.它的基础就是前提和逻辑.
它最本质的东西永远都是最简单的逻辑和前提.
一、对本质涵义和“减负增效”的理解
（二）对“减负增效”理解
“减负增效”就是要把学生从繁重的学习负担中解放出来，合理安排学生的课业负担，从学生兴趣入手，充分尊重学生的个性差异，因材施教，努力培养和调动学生的学习积极性，变“要我学”为“我要学”.
其内涵是减少课内外那些机械重复、低效的活动，提高学生学习知识、运用知识的能力和综合素质.
一、对本质涵义和“减负增效”的理解
（二）对“减负增效”理解
“减负”并不是不要学生勤奋学习、刻苦钻研.
它的目标是“增效”，是追求教与学的有效性，增进学习的效果.
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（一）知识结构
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（一）知识结构
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（二）基础知识的本质认识
基本概念、基本过程最基础的就是最本质的.
“常用逻辑用语”在《选修1-1》和《选修2-1》均有这部分内容，而且在要求上基本一致.教材中的简易逻辑，主要从实用角度出发，在原有逻辑知识的基础上，适当充实内容并进行了系统整理．其知识条目是：命题及其关系、充分条件和必要条件、逻辑联结词和全称量词与存在量词.
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（二）基础知识的本质认识
“推理与证明”分别是《选修1-2》和《选修2-2》中的其中一章，二者在内容和要求上基本相似，但不尽相同．相似之处是都将通过生活实例和数学实例，介绍合情推理和演绎推理的涵义，以及如何利用合情推理去猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向，利用演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论等等．本章还介绍证明的两类基本方法——直接证明和间接证明，通过数学实例说明它们的思考过程和特点等．
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（二）基础知识的本质认识
简易逻辑知识与其它内容有着紧密联系，它们是学习掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的起点，简易逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具.它和集合知识一样都是学习、掌握和使用数学语言的基础.逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科.学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述，推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用.更广泛地说，在日常生活，学习，工作中，基本的逻辑知识也是认识问题，研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分.
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（二）基础知识的本质认识
推理是数学的基本思维过程，高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力，因此本部分内容在高中数学中占有重要地位，是高考的重要内容.在学习时，应注意理解常用的推理的方法，了解其含义，掌握其过程以解决具体问题，结合已学过的数学实例和生活中的实例，能利用归纳和类比等进行简单的推理，同时要了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用他们进行一些简单推理.
推理与证明是数学的本质特征.其它学科依赖于观察和实验.数学家用推理与计算.
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（三）思想方法的本质理解
在数学教学中重视对学生进行转化思想的教学，可以极大地沟通数学知识、数学方法之间的联系，激活学生的思维，有利于培养学生思维灵活性.
《简易逻辑》涉及了等价转化、逆反转化、数形结合等数学思想方法，同时简易逻辑与集合有着密切的联系，因而很多问题我们可以转化为集合的观点用集合思想来解决.全称命题和特称命题就经常可转化为恒成立和存在性问题.
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（三）思想方法的本质理解
《推理与证明》中的问题蕴含着许多数学思想方法.
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般指合情推理和演绎推理，证明通常包括数学中的演绎证明和实验、实践的证明．“标准”将“推理与证明”专设一章，这在我国高中数学课程中还是首次．
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（三）思想方法的本质理解
（1）类比思想
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（三）思想方法的本质理解
（2）转化思想
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（三）思想方法的本质理解
（3）正难则反思想
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（三）思想方法的本质理解
（4）归纳递推思想
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（三）思想方法的本质理解
（5）综合法
二、对《简易逻辑和推理证明》版块知识本质的认识
（三）思想方法的本质理解
（6）分析法
（7）数学归纳法(略)
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（一）课程价值取向
逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，任何科学都要使用逻辑，而以“严谨性”著称的数学，因需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断、推理，就更离不开对逻辑知识的掌握和应用.正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质.
因此，“简易逻辑”这部分的内容的学习就显得有意义.但因研究的是简易逻辑，所以在教学中，应注重从简易性出发，让学生掌握它的一些简易知识，而不宜作较深层次的挖掘.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（一）课程价值取向
推理与证明作为数学的基本思维过程，是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本部分内容中的推理主要指合情推理与演绎推理.
推理是数学的基本思维过程，高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力，因此本部分内容在高中数学中占有重要地位，是高考的重要内容.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（二）《课程标准》及《教学建议》的要求
1.关于“常用逻辑用语”的要求
内容与要求
常用逻辑用语（约8课时）
（1）命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系.
（2）简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
（3）全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（二）《课程标准》及《教学建议》的要求
1.关于“常用逻辑用语”的要求
说明与建议
（1）这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件.
（2）对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，使学生正确地表述相关的数学内容.
（3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义.
（4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性.避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（二）《课程标准》及《教学建议》的要求
2.关于“推理与证明”的要求
内容与要求
推理与证明（约10课时）
（1）合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（二）《课程标准》及《教学建议》的要求
2.关于“推理与证明”的要求
内容与要求
推理与证明（约8-10课时）
（2）直接证明与间接证明
①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
（3）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想.
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用.
（4）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(选修2-2才有的内容）
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（二）《课程标准》及《教学建议》的要求
2.关于“推理与证明”的要求
说明与建议
（1）教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述.
（2）本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结.在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性.对证明的技巧性不宜作过高的要求.
（3）教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度.(选修2-2才有的内容）
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（三）《考试大纲》和《考试说明》的要求
常用逻辑用语：
（1）命题及其关系
① 理解命题的概念.
②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
（2）简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
（3）全称量词与存在量词
① 理解全称量词与存在量词的意义.
② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（三）《考试大纲》和《考试说明》的要求
推理与证明：
（1）合情推理与演绎推理
① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
（2）直接证明与间接证明
① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.
（3）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（三）《考试大纲》和《考试说明》的要求
试卷权重表：
理科数学试卷命题权重表
文科数学试卷命题权重表
推理与证明 10/250=4% 6
常用逻辑用语 8/250=3% 4.5
推理与证明 8/324=3% 4.5
常用逻辑用语 8/324=3% 4.5
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点一：命题真假的判断
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点一：命题真假的判断
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点一：命题真假的判断
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点二：四种命题的关系
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点二：四种命题的关系
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点三：全称命题与特称命题
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点三：全称命题与特称命题
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点三：全称命题与特称命题
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点四：充要条件的的判定
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
1.《常用逻辑用语》典型考题点评
考点五：逻辑联结词，尤其关注命题的否定
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评 （1）合情推理
考点一：归纳推理由特殊到一般
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评 （1）合情推理
考点一：归纳推理由特殊到一般
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评 （1）合情推理
考点一：归纳推理由特殊到一般
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评 （1）合情推理
考点二：类比推理得到一般结论
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评 （1）合情推理
考点二：类比推理得到一般结论
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评 （1）合情推理
考点二：类比推理得到一般结论
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评 （1）合情推理
考点三：思想方法类比
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评 （1）合情推理
考点三：思想方法类比
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评（2）解答中显性的推理与证明
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评（2）解答中显性的推理与证明
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（四）近三年典型考题点评
2.《推理与证明》典型考题点评（2）解答中显性的推理与证明
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点一：命题的否定和否命题
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点一：命题的否定和否命题
评述：“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“若p则q”，那么这个命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”.可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点一：命题的否定和否命题
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点二：充分、必要条件的判断
对于充要条件的判定是高考的必考题，而考查的一种基本形式是：把两个命题用不等式的形式进行表示，并判断其充要性.在充要条件的判定时，很多同学感到困难，经常产生混淆，在容易题上反而失分了.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点二：充分、必要条件的判断
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点二：充分、必要条件的判断
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点二：充分、必要条件的判断
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点二：充分、必要条件的判断
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
难点二：充分、必要条件的判断
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
特别关注：全称与特称命题的关系
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
特别关注：全称与特称命题的关系
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
《简易逻辑》教学的定位问题
课程标准中明确提出，“注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性.避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释”.与以往教材相比，本章内容呈现注重了通过对实例的思考、探究、发现、归纳总结，最后得出相关概念的特点，这样的设计意图是力求突出学生学习的主体地位，体现通过学生自己的探究和发现，体会新概念意义的课程设计理念.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
《简易逻辑》教学的定位问题
教学要求的把握要适时，逻辑的初步知识是高中数学的基础知识，学习这些内容，主要是为今后进一步学习其他知识作基本语言，基本方法的准备，相应地，对知识系统性，严谨性的要求一定要适度.本章的教学要求，应该避免一步到位.关于含有"或"，"且"，"非"的复合命题，而不让学生掌握对一般复合命题的真假的判断.关于充分条件，必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
简易逻辑不简易，应把握“简易”原则.
《简易逻辑》教学的定位问题
换句话说，学习逻辑，要着眼于用逻辑的知识解决数学学习中的问题，而不要在概念的严谨性，知识的系统性上花过多的时间与精力.太复杂的逻辑问题，比如前面的有些问题中含有隐性“全称量词”等的问题，以及逻辑中不少在学术界内部都有争论的问题，在高中数学课上，就完全没有必要去涉及了，比如复合命题.
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
《推理和证明》教学的定位问题
总体说来，本章的内容属于数学思维方法的范畴．教科书的编写意图是把过去渗透在具体数学内容中的推理和证明的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们．因此教科书尽量结合学生已学过的数学实例和生活实例，从中挖掘、提炼出推理和证明的含义，给出了一般性的定义，并画出流程图描绘推理和证明的过程，同时纠正可能犯的典型错误，为学生正确运用推理和证明解决问题做出示范．
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
《推理和证明》教学的定位问题
以具体的例子为载体，讲推理的含义、方法，纠正典型错误等
回忆遇到过的证明过程，挖掘出证明方法的一般定义和特点
例题是以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确其中的推理方法或证明方法，详细分析推理的思路，体验证明方法的思考过程和特点
通过剖析生活实例中蕴涵的思维过程揭示数学思想方法
三、对《简易逻辑和推理证明》的教学目标定位
（五）教学目标定位
《推理和证明》教学的定位问题
因此，推理教学的重点在于通过具体实例理解合情推理和演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．证明的教学应引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求．讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题．同时要注意文理的差异．注意把握尺度，不要任意拔高要求.
四、对减负增效的建议
1.转变教学思想
要在教学思想上转变过来.教师的职责不是把课本、教参上的文字重复讲出来，让学生听明白，不出错误；不是让学生死记硬背，教师应千方百计地调动学生的积极性，让学生经历学习“过程”，创设良好的学习环境，使学生的思维活动过程达到完整.
四、对减负增效的建议
2.备好课
一是备教材.
二是备学生.
三是要研究《课程标准》和《考试大纲》.
四是要充分利用好各种教学资源.
如教学网站：泉州市教育局名师工作室高中数学林少安工作室.
泉州市教育局/名师工作室/林少安工作室
http://ms./doone/edu/studio/studio/teacherstudio.shtml id=40
四、对减负增效的建议
3.把握好教辅资料的选择
应精选各学科的资料讲义，并适时督促检查使用情况，充分发挥资料讲义在促进学生学习进步等方面的作用，这不仅减轻学生的学习负担，也减轻家长的经济负担.减负增效的一个重要环节就是：教辅资料的选择.建议根据泉州市教育局推荐目录选用.
四、对减负增效的建议
4.努力提高课堂教学的有效性
提高课堂教学的有效性是实现“减负增效”的根本途径，而提高课堂教学的有效性就要上好课.上好课的主角是师生双方.在课堂上应师生互动，上课做到明白、准确、新颖、生动，启发学生积极思维，使学生处于良好的心理状态.注意学生的学法指导.教师在课堂教学中不仅要设法让学生学会.“给人于鱼，不如授人于渔”，让学生真正地变“学会”为“会学”，变“死学”为“活学”.及时掌握课堂教学的反馈信息.学生是否掌握了所学知识，教师不能不知，在教学中及时反馈教学信息很必要的.(共41张PPT)
基于本质的不等式“减负增效”的教学思考
德化一中 徐建新
一．内容综述
二．教材分析
1．课程功能
2．《课标》与《考纲》要求
3．考题典例
4．教学定位
三．教学启示
一．内容综述
基本内容：根据《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准) 编写的人教A版普通高中数学课程标准实验教科书中，不等式内容主要分布在必修5第3章《不等式》、选修4－5《不等式选讲》，主要内容有：不等关系与不等式、一元二次不等式、简单不等式的解法、二元一次不等式组与平面区域、基本不等式及其简单应用、绝对值不等式、柯西不等式、用向量递归方法讨论排序不等式、贝努利不等式、证明不等式的基本方法．
不等式知识与思想方法参透到高中数学的各个章节中，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、极值，解析几何有关位置关系问题、取值范围问题，平面向量有关取值范围问题，数列有关最值问题，立体几何有关存在性问题，等等．
基本思想方法：分类与整合，数形结合，特殊与一般，转化与化归，必然与或然，等等．
二．教材分析
1．课程功能
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，在数学应用中起着重要作用.建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.
2．《课程标准》与《考试说明》要求
(行为动词为红色，差异用蓝色)
内容 课标要求及省教学建议的教学要求 考纲要求 2011年高考卷
不等
关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
一元
二次
不等
式 ①经历从实际情境中抽象出
一元二次不等式模型的过程．
②通过函数图象了解一元二
次不等式与相应函数、方程
的联系．
③会解一元二次不等式，对
给定的一元二次不等式，尝
试设计求解的程序框图． ①会从实际情境中抽象出一元
二次不等式模型的过程．
②通过函数图象了解一元二次
不等式与相应二次函数、一元
二次方程的联系．
③会解一元二次不等式，对给
定的一元二次不等式，尝试设
计求解的程序框图． 广东文2
辽宁理2（Ⅱ）（选修）
重庆文2
二元一次
不等式组
与
简单线性
规划问题 ①从实际情境中抽象
出二元一次不等式组．
②了解二元一次不等
式的几何意义，能用
平面区域表示二元一
次不等式组．
③从实际情境中抽象
出一些简单的二元线
性规划问题，并能加
以解决． ①会从实际情境中抽象
出二元一次不等式组．
②了解二元一次不等式
的几何意义，能用平面
区域表示二元一次不等
式组．
③会从实际情境中抽象
出一些简单的二元线性
规划问题，并能加以解
决，但求解过程不要求
对最优解进行取整分析． 安徽理4，安徽文6（福建理8,广东理5,湖北理8，浙江理15，四题相似）
湖北文8，湖南文14，湖南理7，全国I理13，全国I文11，全国Ⅱ文4，陕西文12上海文9，四川理9，天津文2，浙江文3
基本
不等式
①探索并了解基本不
等式的证明过程．
②会用基本不等式解
决简单的最大（小）
值问题． ①了解基本不等式的证
明过程．
②会用基本不等式解决
简单的最大（小）值问
题． 陕西文3，
重庆文7，
浙江理17，
绝对值
不等式 1.理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；
（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；
2.会用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；
∣x－c∣＋∣x－b∣≥a.
3.会用绝对值不等式证明一些简单问题. 广东理9，江苏理附加D（选修）
江西理15(2)(选修)
江西文15,辽宁理24(I)（选修）
全国I理24（选修）
全国I文24（选修）
山东理4，山东７
陕西理15（选修）
天津理9，
柯西
不等式 1.认识柯西不等式的几种不同形式.理解它们的几何意义，并会证明.
（1）证明柯西不等式的向量形式：
（2） ;
（3）
2. 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：
3.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.
湖南理10，
排序
不等式 1.了解排序不等式;
2.会用“向量递归方法”讨论排序不
等式.
贝努利
不等式 1.会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n＞1＋nx（x＞-1,n为正整数);
2.了解当且n为实数时贝努利不等式也成立.
证明不等式的基本方法 通过一些简单问题了解证明不等式的
基本方法：比较法、综合法、分析法、
反证法、放缩法． 安徽理19
*不等式的性质 掌握不等式的基本性质 全国Ⅱ理3
*简单不等式的解法
会解简单的分式不等式，指数不等式，对数不等式 天津理8，
上海理4，
上海文6，
2009年福建高考理科卷，涉及不等式知识、方法的有题2、5、6、14、20、21；
2010年福建高考理科卷，涉及不等式知识、方法的有题3、7、8、10、16、18、19；
2011年福建高考理科卷，涉及不等式知识、方法的有题8、10、16、18、20、21.
近三年福建省理科数学卷考查情况
单独成题的基本上选择或填空，考查不等式的性质及应用、比较大小、解简单不等式、利用线性规则求最值等问题；
解答题主要在选修系列4：不等式选讲，其中含绝对值不等式的解法最常见．
复杂的不等式证明及解法已退出舞台，但在解答题的解答过程中到处渗透着对基本的不等式知识、思想、方法的考查，不等式与其他知识的交汇交融，体现了不等式的工具性．
3．考题典例
2011福建理8 已知是O坐标原点，点A(-1,1)，若点M(x,y)为平面区域
上的一个动点，则 的取值范围是（ C ）
A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2]
本题是不等式、线性规划与平面向量的交汇，二元一次不等式组的几何意义，平面向量数量积的几何意义，涉及较多基本知识和基本方法，但难度不大.
2011的高考卷中，福建理8、广东理5、湖北理8、浙江理15，四题高度相似 .
（1）二元一次不等式组与线性规划问题
2009福建文11 在平面直角坐标系中，若不等式组
（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为( )
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
本题以二元一次不等式组表示平面区域为背景考查不等式与函数的关系，考查数形结合思想、运动变化思想.
2011江苏附加D 解不等式：
（2）含绝对值不等式的解法:不等式选讲》部分
本题是基本的绝对值不等式求解问题，符合课标、考纲的要求，学生要掌握去绝对值的方法，会分类讨论，考查分类整合的思想.
2011广东文5 不等式 的解集是( D )
(3)一元二次不等式的解法
本题是简单一元二次不等式的求解问题，符合课标和考纲的“会解”要求，会解“一元二次不等式”是高中数学的一项基本而重要的要求，由于太重要太经常用到，以至于更多的高考题并没直接考查，而是渗透在整份试卷中.
（4）简单的分式不等式、指对数不等式
简单的分式不等式、指对数不等式的解法，在课标、考纲中并没有单独提出，但是教材中有要求，如求函数
的定义域.．
2011上海理4. 不等式 的解为 .
（5）基本不等式
2011上海理15. 若 则下列不等式中，恒成立的是（ ）
这两道试题都是考查基本不等式和不等式的基本性质，作为选择题学生可以用特殊值检验法得到正确答案，只是2011上海理15题要注意到条件的差异，正是这个差异，考查学生对基本不等式条件的准确把握．
2011陕西文3.设 则下列不等式中正确的是 （ ）
2011湖南理10 设 则 的最小值为 9 .
课标、考纲对“柯西不等式”的要求:理解其几何意义、会证明、会用其求一些特定函数的极值．由于问题的特殊性，能用柯西不等式解的，往往也能用均值不等式解．福建省近三年的高考卷都没考到，虽然其要求是比较高“理解”“会证”“会求”，学生容易出现要么得满分要么得零分．
（6）柯西不等式
4．教学定位
对于“不等式”，课标与考纲的主要考查内容是：不等式的基本性质、简单不等式的解法、二元一次不等式组与线性规划、基本不等式的应用、绝对值不等式、柯西不等式，单独考查不等式的证明已经淡化，对不等式的变形技巧要求降低，但对不等式基本思想方法的考查并没降低.重视"不等"与"等"的转化，重视"数"与"形"的转化, 强调不等式的实际应用．
(1) 二元一次不等式组与简单线性规划问题
“二元一次不等式组与简单线性规划”的内容特点、难度情况、教学价值以及构造试题的难易度，使得其深受到命题者的青睐．试题其难度不太大，变形比较多，和其他知识的结合，在高考中出现最多．在教学中应该给予充分重视．
①二元一次不等式组表示的可行域是确定的，线性目标函数也是确定的，求最值问题；
2010福建文5 设 则 的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.9
这类问题教学时要注意对线性目标函数进行变式，不要靠记忆“上移取最大，下移取最小”.
已知实数x，y满足不等式组 目标
函数z＝y－ax (a∈R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________.
②二元一次不等式组表示的可行域是确定的，线性目标函数带参数，知道最值(或最优解)求参数的值或范围；
③二元一次不等式组带参数表示的可行域不确定，线性目标函数最值已知，求参数的值或范围；
2011湖南文14 设 m>1,在约束条件 下，目
标函数z＝x+5y的最大值为4， 则m的值为______．
答案：3
（2）均值不等式的应用
不等式链
2011陕西文3.设 则下列不等式中正确的是 （ ）
（3）不等式的解法
解一元二次方程，再利用二次函数的图象得到一元二次不等式的解集，充分体现“三个二次”的紧密联系，在一元二次不等式的解法教学过程中要让学生深刻领会，它们的关系在图象直观体现，学生要学会看图，是数与形的完美结合，这一思想对于学生掌握一般的函数、方程、不等式的联系具有重要意义，是从特殊到一般的认知规律，有利于学生思维能力的发展.
在教学过程中，对于“含参数的一元二次不等式”，要针对不同的教学对象提出不同层次的要求，设计不同习题，如：
这几个变式的难度是有差异的．重要的是通过变式，让学生不断领会、掌握解法的要领，这是培养学生数形结合思想、分类讨论思想的重要载体.
①一次二次不等式
②绝对值不等式
课标与考纲对绝对值不等式的要求是：会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a.
如画函数 的图象，表面上它不是绝对值不等式的问题，但要利用去绝对值符号的方法把函数转化为分段函数.
简单指、对数不等式
根据实际要求，只需要掌握可化同底的指数不等式、对数不等式.
(4)不等式证明
证明不等式经常与一次函数、二次函数、对数函数、导数等知识相结合．近几年在函数、向量、数列、解析几何各种知识网络的交汇处命题，重点考查不等式知识，试题的立意高、难度大、综合性强，近三年高考命题难度下降较大，我省已经淡化.
三．不等式教学“减负增效”的几点思考
1.对不等式的课程价值、教学内容、教学目标、考纲要求、考试方
向 ，做到“心中有底 ”，这是"减负增效" 的前提。
4.减负是减去“繁、难、杂”，对后继学习影响小，对培养数学能力
意义不大或者可以由其他内容替代的内容。对具有重要学科价值
的数学内容要给予重视，数学能力与思想方法的训练培养是需要
载体的、是需要一个循序渐进的过程的。做到“心中有度”，这是
“减负增效”的着力点。
3.以形助数,以数释形.做到“心中有形”，这是"减负增效" 的途径。
2.对不等式“三基”的教学，理解要深刻、操作要规范，做到“心中
有数”，这是"减负增效" 的基础。
不断深入理解函数、方程、不等式之间的联系与转化。
中学数学的研究对象：数与形；
基本数量关系：等与不等；等式与不等式；函数与方程；
要深刻理解平面直角坐标系及其点的坐标的意义，这是
数形结合的基石；
初中学了三个“一次“，类比学习三个“二次”，再到一
般情况。这个过程对于很多学生来说是有难度的；
分式不等式，指数不等式，对数不等式，甚至无理不等式，这些不等式表面上看是超出课标与考纲的要求，事实上可通过转化变形利用函数的单调性化归为一次、二次不等式问题，学生不难理解掌握，书本也有习题，如：
必修一P74，求函数的 定义域;
必修一P82，求函数 的定义域;
（1）不等式的基本性质和简单不等式的解法与函数的图象（特别是单调性）密切联系。
（2）比较大小与函数的单调性
必修一P45
若 ，则 ；
若 ，则 ；
*若 常数 ，则 ．
（3）要充分发挥书本素材的教学价值；通过图形的直观感知, 降低学习难度，提高教学实效.
这是琴生不等式，其图形背景是凹凸函数的图象。可以指导
学有余力的同学课外查阅数学家琴生和一般形式的琴生不等式，
培养兴趣，拓展数学视野。这不是增负，而是新课程理念。
（4）重视不等式与函数、方程的联系与转化，学生的应用能力都需要一个不断提高的过程.
2010江苏 已知函数 则满足不等式 的 的取值范围是_________.
（5）掌握常见的不等式恒成立问题的基本解法（含参数与不含参数）.教材对不等式中参数范围的确定并没有作专门介绍，而是分散在各个章节中.
恒成立
恒成立
2010湖北理15 设a>0,b>0，称 为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，垂足为C．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段_____的长度是a，b的几何平均数,线段______的长度是a，b的调和平均数．
（6）重视不等式链的教学：课堂教学要控制难度，课外鼓励优秀学生多探究；各类不等式的证明是培养学生数学思维能力的好途径、好素材.
应用时，要认真研究等号成立条件！
课本如何证明 和 的呢？
目的在于说明不等式的几何意义，代数与几何密切联系.
二元一次不等式组与简单线性规划问题涉及量多，关系多。在教学时，要重视实际情境抽象出简单线性规划问题的过程的教学，“抽象过程”就是转化过程、建模过程，是难点。有些学生缺乏生活常识，教学要暴露思维过．先审题，再列表，使条理清晰，老师要引导示范，再让学生实践。教材安排了大量例题和习题，就是要让学生多练，不断提高实际应用能力．
（7）应用问题多数与不等式相关，需要根据题意，建立不等关系，设法求解；或者用均值不等式、函数单调性求出最值等．
（8）交汇走向交融是不等式考查发展的趋向
试题表面上与不等式无关，但在解题过程中必须运用不等式知识，即用不等式的知识解题．在教学中，要不断培养学生运用不等式知识解题的意识和能力．
这只是个人的一点粗浅看法，不足之处，敬请各位专家、老师批评指正！
谢 谢！
