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人教版
八年级数学下册
17.1
勾股定理（第1课时）
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一
些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体
会数形结合的思想。（重点也是难点）
2.会用勾股定理进行简单的计算
。（重点）
即四个词：了解、认识、证明和计算
。
学习目标
勾股定理的历史
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系（即直角三角形三边关系），古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。
勾股定理也有很多别称，也叫毕达哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驴桥定理和埃及三角形等。
勾股定理被誉为“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。在我们今后的几何计算题和推理题中都有着广泛的应用。
迄今为止，勾股定理大约有500多种证明方法，是证明方法最多的
定理之一。
勾股定理的认识及验证
相传2500多年前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，看到朋友家用砖铺成的地面图案，发现了直角三角形三边的某种关系（如图）：
A
B
C
问题1
试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
探究新知
问题2
图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？
A
B
C
一直角边2
+
另一直角边2
=
斜边2
等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
问题3 网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C
是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
探究新知
方法1：补形法(把正方形C补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
4
9
13
16
9
25
也就是说，由这三个正方形围成的直角三角形的三边也满足两直角边的平方和等于斜边的平方这种关系。
一直角边2
+
另一直角边2
=
斜边2
由上面的几个例子，我们不难得到这样的猜想：
命题1
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）
a
b
c
下面动图形象的说明命题1的正确性
我们的猜想该如何证明呢？
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1
让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
=
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
妙解归纳：两种方法计算一个图形的面积，得到一个等量关系，从而解决问题.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2
+b2
=c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+
S小正方形
=4×
ab+c2
=c2+2ab，
证法2
毕达哥拉斯证法
如图，图中的四个三角形都是直角三角形，求证：a2
+
b2
=
c2.
a
a
b
b
c
c
∴a2
+
b2
=
c2.
证法3
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2
+
b2
=
c2.
公式变形：
a
b
c
勾股定理:
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）.
A
B
C
现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以我们刚刚猜想的命题1在我国叫做勾股定理.
归纳总结
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2
为什么叫勾股定理这个名称呢？
国外又叫毕达哥拉斯定理
小贴士
例1
如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)在Rt△ABC中，
∠C=90°
(2)在Rt△ABC中，
∠C=90°
C
A
B
a
b
c
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
2.规范书写格式
新知应用
（1）若a：b=1：2
，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°.
解：
(1)设a=x,b=2x,由勾股定理得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
归纳
C
A
B
a
b
c
新知应用
【变式2】
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图?，
当BC为斜边时，如图?，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图?
图?
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
归纳
1.下列说法中,正确的是
（
）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
.
8
cm
10
cm
36
cm?
当堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c=
.
（2）若c=13，b=12，则a=
.
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为_________.
17
5
74或24
当堂练习
5.
图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.
解：由勾股定理可得
81+
144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+
144=169，
解得
y=5
当堂练习
结论:
S1+S2+S3+S4
=S5+S6
=S7
变式训练
1
1
美丽的勾股树
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干
个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一
棵美丽的勾股树．
1.内容及方法
本节课学习了著名的勾股定理并会运用勾股定理求直角三角形的边长，还知道从特殊到一般的探索方法.
2.数学思想
借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
通过本节课的学习你有哪些收获呢？
当堂小结
基础题：1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1)
已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2)
已知：a=40，c=41，求b；
(3)
已知：c=13，b=5，求a；
(4)
已知:
a:b=3:4,
c=15,求a、b.
能力题：2.已知：Rt△ＡBC中，AB＝4，AC＝３,则BC的长为多少？
综合题：3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
作业布置
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17.1
勾股定理（第1课时）同步练习
一、选择题
1．（2020秋?长春期末）如图，在中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则的值为
A．7
B．10
C．20
D．25
2．（2020秋?丹东期末）如图，在中，，．分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，则的值为（
）
A．25
B．19
C．13
D．169
4．意大利文艺复兴时期的著名画家达芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞“，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为28，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为
A．16
B．20
C．22
D．24
二、填空题
5．（2020秋?姜堰区期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是
．
6．（2020秋?南京期末）如图，在数轴上，点、表示的数分别为0、2，于点，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是
．
7．（2020秋?法库县期末）如图是“赵爽弦图”，
，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么
．
8．（2020秋?福田区期末）如图是“赵爽弦图”，
，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，且．那么等于
．
三、解答题
9．（2020秋?苏州期末）如图，在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
10．（2020秋?门头沟区期末）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．
11．（2020秋?溧阳市期中）匀股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形中，，于点，且．求证：．
17.1
勾股定理（第1课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?长春期末）如图，在中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则的值为
A．7
B．10
C．20
D．25
【解析】解：在中，，
由正方形面积公式得，，，
，，
．
故选：．
2．（2020秋?丹东期末）如图，在中，，．分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于
A．
B．
C．
D．
【解析】解：，，
．
故选：．
3．（2020秋?重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，则的值为（
）
A．25
B．19
C．13
D．169
【解析】解：由条件可得：，
解之得：．
所以，
故选：．
4．意大利文艺复兴时期的著名画家达芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞“，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为28，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为
A．16
B．20
C．22
D．24
【解析】解：四边形、四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
，
同理可证△△，
，，设，
四边形是菱形，，
，，
，
四边形是正方形，
，
设，，
，，
六边形的面积为28，
，
，
，
，
四边形的面积，
故选：．
二、填空题
5．（2020秋?姜堰区期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是 5 ．
【解析】解：由勾股定理得，斜边长，
故答案为：5．
6．（2020秋?南京期末）如图，在数轴上，点、表示的数分别为0、2，于点，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是 ．
【解析】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
点表示的实数是．
故答案为：．
7．（2020秋?法库县期末）如图是“赵爽弦图”，
，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么 4 ．
【解析】解：，
，
四边形都是正方形，
在直角三角形中，由勾股定理得到：．
，
故答案为：4．
8．（2020秋?福田区期末）如图是“赵爽弦图”，
，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，且．那么等于 6 ．
【解析】解：，，
设为，为，
由勾股定理得：，
，
，
，
故答案为：6．
三、解答题
9．（2020秋?苏州期末）如图，在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【解析】解：（1）延长、交于点，如图所示：
，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（2）四边形的面积的面积的面积．
10．（2020秋?门头沟区期末）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．
【解析】解：过点作于点，如图所示．
，，
，．
，
，
．
在中，，
，即，
，
．
又，
，
．
11．（2020秋?溧阳市期中）匀股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形中，，于点，且．求证：．
【解析】解：连接，
，
，，，，
，
，
，
，
，
，即．
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