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北师版数学七年级下册1.5.1平方差公式的认识导学案
课题
1.5.1平方差公式的认识
单元
第一单元
学科
数学
年级
七
学习目标
1.经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力;2.通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力;3.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
重点
平方差公式的推导和应用.
难点
灵活运用平方差公式解决实际问题.
教学过程
课前预学
张明在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对张明说：“
你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何？”张明一听觉得没有吃亏，就答应了。
你能帮张明算一算他吃亏了没有？你能画图表示两个户型吗？
新知讲解
计算下列各题：(1)
(x+2)
(x－2)
(2)
(1+3a)
(1－3a
)(3)
(x+5y)
(x－5y)
(4)(2y+z)
(2y－z)
【思考】观察下面算式及其运算结果，你发现了什么规律？(1)
(x+2)
(x－2)=x2-4(2)
(1+3a)
(1－3a
)=1-9a2(3)
(x+5y)
(x－5y)=x2-25y2(4)(2y+z)
(2y－z)
=4y2-z2上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的______与它们的_______的乘积，结果等于这两数的_________.你能再举两例验证你的发现吗？平方差公式：两数______与这两数______的积,等于它们的_________，即(a+b)(a-b)=________.【思考】观察(a+b)(a-b)=a2-b2，平方差公式的结构特征是什么？【例】利用平方差公式计算：(1)
(5+6x)(5－6x)；(2)
(x－2y)(x+2y)；(3)
(－m+n)(－m－n)
.【例】利用平方差公式计算：(1)；(2)
(ab+8)(ab－8)
.现在你能算出下面两个图形的面积了吗？【思考】(a+b)(a-b)=a2-b2
中的a或b能是多项式吗？公式中的a、b具有广泛的含义，可以表示一个数、一个字母、一个单项式，还可以表示一个多项式。【计算】口答下列各题：
(1)
(－a+b)(a+b)=_________.
(2)
(a－b)(b+a)=
__________.
(3)
(－a－b)(－a+b)=
________.
(4)
(a－b)(－a－b)=
_________.【思考】你是怎样做的？运用平方差公式进行计算的“三步法”（1）将算式变形为两数和与两数差的积的形式（2）套用公式，将结果写成两数平方差的形式（3）根据积的乘方计算.套用平方差公式时，结果为(完全相同项)2-(互为相反数的项)2
课堂练习
1.下列各式能用平方差公式计算的是(
).A.
(4a+b)(a-b)
B.
(-4a-b)(-4a+b)C.
(4a+b)(-4a-b)
D.
(-4a+b)(4a-b)2.(-4a-1)与(4a-1)的积等于(
).A.
-1+16a2
B.
-1-8a2
C.
1-4a2
D.
1-16a23.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(
)A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝34.计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1).(2)(x2-3y)(-x2-3y).5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.6.【2020·鄂州】下列运算正确的是( ).A．2x＋3x＝5x2
B．(－2x)3＝－6x3C．2x3·3x2＝6x5
D．(3x＋2)(2－3x)＝9x2－47.【中考·孝感】下列计算正确的是( ).A．b3·b3＝2b3
B．(a＋2)(a－2)＝a2－4C．(ab2)3＝ab6
D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b答案：B
2.D
3.B4.【解】(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1)
=(-0.3m)2-0.12
=0.09m2-0.01.(2)(x2-3y)(-x2-3y)
=(-3y+x2)(-3y-x2)
=(-3y)2-(x2)2=9y2-x4.5.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.6.C
7.B
课堂小结
本节课你学到了什么?1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。2.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b23.注意：紧紧抓住
“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用。
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北师版
初中数学
1.5
平方差公式
第1课时
平方差公式的认识
新知导入
张明在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对张明说：“
你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何？”张明一听觉得没有吃亏，就答应了.
你能帮张明算一算他吃亏了没有？
新知导入
你能画图表示两个户型吗？
x
x
x+5
x-5
怎样计算这两个图形的面积呢？
新知讲解
计算下列各题：
(1)
(x+2)
(x－2)
(2)
(1+3a)
(1－3a
)
(3)
(x+5y)
(x－5y)
(4)(2y+z)
(2y－z)
(1)
(x+2)
(x－2)=x2-2x+2x-4=x2-4
(2)
(1+3a)
(1－3a
)=1-3a+3a-9a2=1-9a2
(3)
(x+5y)
(x－5y)==x2-5xy+5xy-25y2=x2-25y2
(4)
(2y+z)
(2y－z)=4y2-2yz+2yz-z2=4y2-z2
新知讲解
【思考】观察下面算式及其运算结果，你发现了什么规律？
(1)
(x+2)
(x－2)
(2)
(1+3a)
(1－3a
)
(3)
(x+5y)
(x－5y)
(4)
(2y+z)
(2y－z)
=x2-4
=1-9a2
=x2-25y2
=4y2-z2
上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的______与
它们的_______的乘积，结果等于这两数的_________.
和
差
平方差
新知讲解
你能再举两例验证你的发现吗？
（x＋1）（x－1）=x2－x+x-1=x2-12
(
a
+
b)
(
a
?
b)=a2-ab+ab-b2=a2?b2
平方差公式：
两数______与这两数______的积,等于它们的_________，
即(a+b)(a-b)=________.
和
差
平方差
a2-b2
新知讲解
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
(2)右边是乘式中两项的平方差，即用完全相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
【思考】
观察(a+b)(a-b)=a2-b2，平方差公式的结构特征是什么？
新知讲解
【例】利用平方差公式计算：
(1)
(5+6x)(5－6x)；(2)
(x－2y)(x+2y)；
(3)
(－m+n)(－m－n)
.
【解】(1)
(5+6x)(5－6x)=
52－(6x)2=25－36x2；
(2)
(x－2y)(x+2y)=
x2－(2y)2=
x2－4y2
；
(3)
(－m+n)(－m－n)
=
(－m)2－n2
=
m2－n2
.
新知讲解
【例】利用平方差公式计算：
(1)
；(2)
(ab+8)(ab－8)
.
(2)
(ab+8)(ab－8)
=(ab)2－64=a2b2－64.
【解】
新知讲解
现在你能算出下面两个图形的面积了吗？
x
x
x+5
x-5
S=x2
S=（x+5）（x-5）
=x2-25
新知讲解
【思考】
(a+b)(a-b)=a2-b2
中的a或b能是多项式吗？
公式中的a、b具有广泛的含义，可以表示一个数、一个字母、一个单项式，还可以表示一个多项式.
新知讲解
【计算】口答下列各题：
(1)
(－a+b)(a+b)=_________.
(2)
(a－b)(b+a)=
__________.
(3)
(－a－b)(－a+b)=
________.
(4)
(a－b)(－a－b)=
_________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
【思考】你是怎样做的？
新知讲解
运用平方差公式进行计算的“三步法”
变形
套公式
计算
将算式变形为两数和与两数差的积的形式
套用公式，将结果写成两数平方差的形式
根据积的乘方计算.套用平方差公式时，结果为(完全相同项)2-(互为相反数的项)2
课堂练习
1.下列各式能用平方差公式计算的是(
).
A.
(4a+b)(a-b)
B.
(-4a-b)(-4a+b)
C.
(4a+b)(-4a-b)
D.
(-4a+b)(4a-b)
B
2.(-4a-1)与(4a-1)的积等于(
).
A.
-1+16a2
B.
-1-8a2
C.
1-4a2
D.
1-16a2
D
课堂练习
3.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( )
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
B
课堂练习
4.计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1).
(2)(x2-3y)(-x2-3y).
(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1)
=(-0.3m)2-0.12
=0.09m2-0.01.
【解】
(2)(x2-3y)(-x2-3y)
=(-3y+x2)(-3y-x2)
=(-3y)2-(x2)2=9y2-x4.
拓展提高
5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
中考链接
6.【2020·鄂州】下列运算正确的是( ).
A．2x＋3x＝5x2
B．(－2x)3＝－6x3
C．2x3·3x2＝6x5
D．(3x＋2)(2－3x)＝9x2－4
C
中考链接
7.【中考·孝感】下列计算正确的是( ).
A．b3·b3＝2b3
B．(a＋2)(a－2)＝a2－4
C．(ab2)3＝ab6
D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
3.注意：
紧紧抓住
“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
板书设计
课题：1.5.1
平方差公式的认识?
?
教师板演区
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学生展示区
一、平方差公式
二、符号表示
三、计算
作业布置
课本
P21
练习题
P21
习题1.9
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