17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
17.4
一元二次方程的根与系数的关系
沪科版·八年级数学下册
上课课件
第17章
一元二次方程
学习目标
【知识与技能】
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用;
2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题.
【过程与方法】
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.
【情感态度】
1.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.
【教学重点】
根与系数的关系及其推导.
【教学难点】
正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系.
新课导入
探究
你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和（x1
+
x2）、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：
新课探究
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2
+
2x
–
15
=
0
3x2
–
4x
+
1
=
0
2x2
–
5x
+
1
=
0
–5
3
–2
–15
1
3
1
4
3
1
3
5
2
1
2
猜想：方程
ax2
+
bx
+
c
=
0（a
≠
0）的根如果是
x1、x2，那么
x1+x2
=_____，x1x2
=_____.
你能证你的猜想吗？
我们知道，一元二次方
ax2+
bx
+
c
=
0
（a
≠
0）的两根为
所以
x1
+
x2
=
+
=
=
x1x2
=
·
=
=
如果
ax2+
bx
+
c
=
0（a
≠
0）的两根为
x1，x2，
那么
x1
+
x2
=
，
x1x2
=
.
韦
达
定
理
当一元二次方程的二次项系数为
1
时，它的标准形式为
x2
+
px
+
q
=
0.
设它的两个根为
x1，x2，这时韦达定理应是：x1
+
x2
=
–p，x1x2
=
q.
练习
不解方程，求下列方程两根的和与积.
x2
–
3x
=
15；
5x2
–
1
=
4x2
+
x
解：x1
+
x2
=
3
x1x2
=
–15
解：化简得
x2
–
x
–
1
=
0
x1
+
x2
=
1
x1x2
=
–1
例
1
已知关于
x
的方程
2x2
+
kx
–
4
=
0
的一个根是
–4，求它的另一个根及
k
的值.
解
设方程的另一个根是
x2，则
解方程组，得
答：方程的另一个根为
，k
的值为
7.
想一想
本题还有别的解法吗？
解
将
x
=
–4
代入方程，得
2×（
–4
）2
+（
–4
）k
–
4
=
0.
解得
k
=
7.
将
k
=
7代入方程，得
2x2
+
7x
–
4
=
0，
解得
例
2
方程
2x2
–
3x
+
1
=
0
的两个根记作x1，x2，不解方程，求
x1
–
x2
的值.
解
由韦达定理，得
x1
+
x2
=
，
x1x2
=
.
（x1
–
x2）2
=（x1
+
x2）2
–
4x1x2
∴
x1
–
x2
=
引申：若
ax2
?
bx
?
c
?
0（a
?
0
?
?
0）
（1）若两根互为相反数，则
b
?
0；
（2）若两根互为倒数，则
a
?
c；
（3）若一根为
0，则
c
?
0；
（4）若一根为
1，则
a
?
b
?
c
?
0；
（5）若一根为
?1，则
a
?
b
?
c
?
0；
（6）若
a、c
异号，方程一定有两个实数根.
随堂演练
1.
关于
x
的方程
x2
+
px
+
q
=
0
的根为
x1
=
1+
，x2
=
1
–
，则
p
=
，q=
.
2.
已知方程
5x2
+
kx
–
6
=
0
的一根是
2，则另一根是
，
k＝
.
–2
–1
–7
3.
求下列方程的两根
x1，x2
的和与积：
（1）x2
–
3x
+
2
=
0；
（2）x2
+
x
=
5x
+
6
解：x1
+
x2
=
3
x1x2
=
2
解：化简得
x2
–
4x
–
6
=
0
x1
+
x2
=
4
x1x2
=
–
6
4.
x1，x2
是方程
x2
–
5x
–
7
=
0
的两根，不解方程求下列各式的值：
（1）
；（2）
.
解：∵
x1，x2
是方程
x2
–
5x
–
7
=
0
的两根.
则
x1
+
x2
=
5，x1x2
=
–
7
.
5.
已知关于
x
的方程
x2
–（2m
+
3）x
+
m2
=
0
的两根之和等于两根之积，求
m
的值.
解：设方程
x2
–
（2m
+
3）x
+
m2
=
0
的两根为
x1，x2.
∴
x1
+
x2
=
2m
+
3，x1x2
=
m2.
根据题意得
m2
=
2m
+3，解得
m1=
3，m2
=
–
1.
当
m
=
3
时，原方程为
x2
–
9x
+
9
=
0，
b2
–
4ac
=
45
>
0.
方程有实数根.
当
m
=
–1
时，原方程为
x2
–
x
+
1
=
0，
b2
–
4ac
=
–
3
<
0.
方程无实数根，此
m
值舍去.
∴
m
的值为
3.
课堂小结
如果
ax2+
bx
+
c
=
0（a
≠
0）的两根为
x1，x2，
那么
x1+x2
=
，
x1x2
=
.
韦
达
定
理
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
谢谢欣赏
谢谢大家!
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