课题：1.4.1
用空间向量研究直线、平面的位置关系（一）
1、直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线_______或_____的非零向量，一条直线的方向向量有_____个。
2、平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的______________，我们称向量为平面α的__________，一个平面的法向量有______个。
3、求解平面法向量
一般用待定系数法求解平面的法向量，步骤如下：
（1）建立适当的坐标系。
（2）设平面的法向量
（3）求出平面内两个不共线向量的坐标，
（4）根据法向量定义建立方程组
（5）解方程组，取其中一解，即得法向量。在利用上述步骤求解的过程中，方程组有无数组解，利用赋值法只要给x，y，z中的一个变量赋一特值（常赋－1，0，1），即可确定一法向量，赋值不同，所求法向量不同，但（0，0，0）不能作为法向量。
典型例题：
例1、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点。以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
（1）求平面BCC1B1的法向量；
（2）求平面MCA1的法向量。
针对练习：
1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。
（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；
（
）
（2）若是直线的方向向量，则λ
(λ∈R）也是直线l的方向向量；
（
）
（3）在空间直角坐标系中，=（0，0，1）是坐标平面Oxy的一个法向量
（
）
2、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，=，=，=，O是BD1与B1D的交点。
以{，，}为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量
3、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.以D为原点，以{,,}为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量
001
002课题：1.4.1
用空间向量研究直线、平面的位置关系（二）
1、空间中平行关系的向量表示
（1）线线平行
设，分别为直线l1，l2的方向向量，
则l1//l2_____________________________________________
（2）线面平行
设为直线l的方向向量，是平面α的法向量，
则l//α_____________________________________________
（3）面面平行
设，分别是平面α，β的法向量
则α//β_____________________________________________
2、用向量方法证明空间中的平行关系常用方法：
（1）线线平行
设直线l1，l2的方向向量分别是，，则要证明l1//l2，只需证明________，即__________
（2）线面平行
①设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则要证明l//α，只需证明______，即______
②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是_______向量即可。
（3）面面平行
①转化为相应的_______平行或________平行。
②求出平面α，β的法向量，，证明__________即可说明α//β。
针对练习：
1、如图，长方体OAEB—O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ//RS
2、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C//平面ODC1
3、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面AB1，面A1C1的中心，求证：EF∥平面ACD1
长方体ABCD—A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点。求证：平面AMN//平面EFBD
5、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝2，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D上，
A1E=A1F=A1G=1，点P，Q，R分别在棱CC1，CD，CB上，CP=CQ=CR=1.
求证：平面EFG∥平面PQR
6、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，
使得A1P∥平面ACD1?
7、如图，在底面是棱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥面ABCD，PA＝AC＝6，
PB＝PD＝6，点E在PD上，且PE：ED＝2：1。在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？
证明你的结论。
003
004课题：1.4.2
用空间向量研究距离、夹角问题（二）
1、异面直线所成角
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得。也就是说，若异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别是，，则
cos=________________________________________________
2、直线与平面所成角
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量
的夹角。如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成
的角为，直线AB的方向向量，平面α的法向量为，则
sin=________________________________________________
3、平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角
中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角。
类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β的法向量分别是和，
则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角。设平面α与
平面β的夹角为，则
cos=________________________________________________
针对练习：
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是_________。
2、如图，M，N分别是正方体ABCD—A'B′C′D'的棱BB'和B′C'的中点，求：
（1）MN和CD所成角的大小；（2）MN和AD所成角的大小
3、如图，在三棱锥O—ABC中，OA，OB，OC两垂直，OA=OC=3，OB=2.
求直线OB与平面ABC所成角的正弦值
4、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点。
（1）求证：A1C⊥平面
EFGHKL；
（2）求DB1与平面
EFGHKL所成角的余弦值
5、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值。
6、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F
（1）求证：PA∥平面EDB
（2）求证：PB⊥平面EFD
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小
001
002课题：1.4.1
用空间向量研究直线、平面的位置关系（三）
1、空间中垂直关系的向量表示
（1）线线垂直
设，分别为直线l1，l2的方向向量，
则l1⊥l2_____________________________________________
（2）线面垂直
设为直线l的方向向量，是平面α的法向量，
则l⊥α_____________________________________________
（3）面面垂直
设，分别是平面α，β的法向量
则α⊥β_____________________________________________
2、用向量方法证明空间中的垂直关系常用方法：
（1）线线垂直
设直线l1，l2的方向向量分别是，，则要证明l1⊥l2，只需证明________，即__________
（2）线面垂直
①设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则要证明l⊥α，只需证明___________
②转化为直线与平面内两相交直线垂直，进而转化为证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直。设,是平面α内不共线向量，直线l的方向向量为，
则l⊥α________且________________________________________________
（3）面面垂直
①转化为相应的_______垂直或________垂直。
②求出平面α，β的法向量，，证明__________即可说明α⊥β。
针对练习：
1、已知=（3，a+b，a—b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，=（1，2，3）是平面α的法向量
（1）若l//α，求a，b的关系式；（2）若l⊥α，求a，b的值
2、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系。求证：A1C⊥BC1
3、如图，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE=BD；点F在CB1上，且CF=CB1
求证：（1）EF⊥BD；（2）EF⊥CB1
4、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点。
求证：
B1E⊥平面AED1
5、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点。求证：EF⊥平面PAB
6、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点。
求证：平面EAD1⊥平面EFD1
7、如图所示，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，
∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE。
003
004课题：1.4.2
用空间向量研究距离、夹角问题（一）
1、空间中点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点
如图，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形。因为A，P都是定点，所以||，与的夹角∠PAQ都是确定的。于是可求||。再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ。
设=，则向量在直线l上的投影向量=。
在Rt△APQ中，由勾股定理，得：
PQ=________________________________________________
2、空间中点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点。过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度。因此
PQ=________________________________________________
典型例题：
例、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点。（1）求点B到直线AC1的距离；
（2）求直线FC到平面AEC1的距离.
针对练习：
1、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点A到平面B1C的距离等于__________；直线DC到平面AB1的距离等于__________；平面DA1到平面CB1的距离等于__________
2、如图，在棱长为1的正方ABCD—A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.
（1）求点A1到直线B1E的距离；
（2）求直线FC1到直线AE的距离；
（3）求点A1到平面AB1E的距离；
（4）求直线FC1到平面AB1E的距离
3、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离
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002
