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人教版
八年级数学下册
17.1
勾股定理（第2课时）
1.
会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
（重点）
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长之间的联
系，并进一步求出未知边的长度.（难点）
学习目标
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
A
B
C
几何语言：在Rt△
ABC中，∠C=90°,
∴
结论变形：
温故知新
1.求出下列直角三角形中未知的边．
6
10
A
C
B
8
A
15
C
B
30°
2
2
45°
A
C
B
A
C
B
8
17
1
2.直角三角形的两边长为3、4，则第三边长为多少？
温故知新
例1
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
2m
1m
A
B
D
C
解：连接AC
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能
从门框内通过.
在Rt△ABC中,∠B=90°
讲授新课
A
B
D
C
O
解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
∴OB=1.
在Rt△COD中,∠COD=90°
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
例2
如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
讲授新课
8
米
6米
A
C
B
解：根据题意得.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.
例3
在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
A
B
讲授新课
利用勾股定理解决实际问题的基本思路：
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
总结归纳
1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为
(
)
A
B
C
A.50米
B.120米
C.100米
D.130米
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
当堂检测
C
A
B
3.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
解：(1)在Rt△
ABC中，
根据勾股定理得
∴这条“径路”的长为5米.
（2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步).
别踩我,我怕疼!
当堂检测
1.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
C
A
E
B
D
x
25-x
解：设AE=
x
km，
在Rt△
ADE和Rt△
EBC中，
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
又
∵
DE=CE
∴
AD2+AE2=
BC2+BE2
即：152+x2=102+（25-x)2
答：E站应建在离A站10km处。
∴
x=10
则
BE=（25-x）km
15
10
能力提升
本节课主要学习了如何运用勾股定理解决实际问题.
通过本节课的学习你有哪些收获呢？
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
基本思路：
当堂小结
基础题：1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
综合题：2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A
到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
A
B
作业
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17.1
勾股定理（第2课时）同步练习
一、选择题
1．（2020秋?卫辉市期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分的取值范围为
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?历城区期末）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是
A．12
B．13
C．15
D．24
3．（2020秋?滦南县期末）如图，要使宽为2米的矩形平板车通过宽为米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为
A．
B．
C．4
D．
4．（2020春?襄城区期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺．
A．10
B．12
C．13
D．14
5．（2020秋?寿阳县期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于
A．1.2米
B．1.5米
C．2.0米
D．2.5米
二、填空题
6．（2020秋?盐池县期末）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯
米．
7．（2020秋?石景山区期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”
译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”
示意图如图所示，设绳索的长为尺，木柱的长用含的代数式表示为
尺，根据题意，可列方程为
．
8．（2020秋?仪征市期末）如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点，主梁上两根拉索、长分别为13米、20米，主梁的高度为12米，则固定点、之间的距离为
米．
9．（2020秋?砚山县期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了
步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
三、解答题
10．（2020秋?金川区校级期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果将梯子的低端外移，顶端沿着墙壁也下滑吗？
11．（2020秋?南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．
12．（2020秋?重庆期末）如图，公路和公路在点处交汇，且，在处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
17.1
勾股定理（第2课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?卫辉市期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为，高为，
由勾股定理可得杯里面管长为，则露在杯口外的长度最长为；
则可得露在杯口外的长度在和范围变化．
故选：．
2．（2020秋?历城区期末）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是
A．12
B．13
C．15
D．24
【解析】解：如图：
设旗杆的高度为，则，，，
在中，，解得，
答：旗杆的高度是．
故选：．
3．（2020秋?滦南县期末）如图，要使宽为2米的矩形平板车通过宽为米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为
A．
B．
C．4
D．
【解析】解：设平板手推车的长度为米，
当为最大值，且此时平板手推车所形成的为等腰直角三角形．
连接，与交于点．
直角通道的宽为，
，
．
又为等腰直角三角形，
．
故选：．
4．（2020春?襄城区期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺．
A．10
B．12
C．13
D．14
【解析】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度（尺，
答：芦苇长13尺．
故选：．
5．（2020秋?寿阳县期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于
A．1.2米
B．1.5米
C．2.0米
D．2.5米
【解析】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米．
在中，由勾股定理得到：（米
故选：．
二、填空题
6．（2020秋?盐池县期末）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 17 米．
【解析】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米，
则红地毯至少要米长，
故答案为：17．
7．（2020秋?石景山区期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”
译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”
示意图如图所示，设绳索的长为尺，木柱的长用含的代数式表示为 尺，根据题意，可列方程为
．
【解析】解：设绳索长为尺，根据题意得：
，
故答案为：；．
8．（2020秋?仪征市期末）如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点，主梁上两根拉索、长分别为13米、20米，主梁的高度为12米，则固定点、之间的距离为 21 米．
【解析】解：，
，
、长分别为13米、20米，的高度为12米，
（米，（米
（米，
故答案为：21．
9．（2020秋?砚山县期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 4 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
【解析】解：由勾股定理，得
路长，
少走步，
故答案为：4．
三、解答题
10．（2020秋?金川区校级期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果将梯子的低端外移，顶端沿着墙壁也下滑吗？
【解析】解：依题意，得，，
在中，根据勾股定理，可得：，
在中，根据勾股定理，可得：，
顶端沿着墙壁下滑了，
答：顶端沿着墙壁没有下滑．
11．（2020秋?南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．
【解析】解：设，则，
由图可得，，，
中，，
即，
解得，
答：风筝距离地面的高度为12米．
12．（2020秋?重庆期末）如图，公路和公路在点处交汇，且，在处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
【解析】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作于，如图1，
，，
，
而，
消防车在公路上沿方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点为圆心，为半径作交于、，如图，
，
，
在中，，，
，
，
消防车的速度，
消防车在线段上行驶所需要的时间（秒，
学校受影响的时间为32秒．
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精品试卷·第
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