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人教版
八年级数学下册
17.2
勾股定理的逆定理（第1课时
）
重点:
掌握勾股定理的逆定理，了解勾股数概念，理解互逆命题、定理的概念与关系。
难点:
能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形。
学习目标
勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2
。
B
C
A
a
b
c
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长。
①
a＝3，b＝4；
②
a＝2.5，b＝6；
c=5
c=6.5
温故知新
古埃及人：
把一根绳子上打13个等距的结,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角
。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
探究新知
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,
b,
c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题
分别以每组数为三边长作出三角形，再用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
探究新知
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
①
5,12,13满足52+122=132,
②
7,24,25满足72+242=252,
③
8,15,17满足82+152=172.
a2+b2=c2
问题2
能构成直角三角形的边长，在数量关系上有什么相同点？
探究新知
据此你有什么猜想呢?
猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探究新知
验证猜想:
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，
满足a2+b2=c2
求证：△ABC是直角三角形。
A
B
C
a
b
c
探究新知
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
则
A′B′
2=B′C′
2+A′C′
2=a2
+
b
2
∴△ABC≌
△A′B′C′(SSS)，
∴∠C=
∠C′=90°
，
即△ABC是直角三角形.
A
C
a
B
b
c
∵
a2
+
b
2
=
c
2
，
∴A′B′
2
=
c
2
，∴A′B′=
c
在△ABC和△A′B′C′中
A′C′=AC，
B′C′=BC，
A′B′=AB，
{
探究新知
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a
、b
、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
A
C
B
a
b
c
作用：判断三角形是否为直角三角形
注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式
核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形
，
最长边所对应的角为直角。
探究新知
例1
判断下列以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1)
a=15
，
b=8
，c=17;
(2)
a=13
，b=15
，c=14.
(1)
在△ABC中
∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，
这个三角形是直角三角形，且
∠C是直角
(2)在△ABC中
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形
解：
新知应用
1.若△ABC的三边a,b,c满足
a:b:
c=3:4:5，试判断△ABC的形状。
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形。
新知应用
2.在△ABC中，∠A,
∠B,
∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C-
∠B=
∠A,则△ABC是直角三角形；
②若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
③
c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
④(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
新知应用
判定一个三角形是直角三角形的方法
角：
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形
归纳总结
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
概念学习
探究新知
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，
这组数同样是勾股数。
；
10，24，26
；
8，15，17
；
7，24，25
9，40，41
；
……
3
，
4，5
6，
8，10
15，20，25
探究新知
下列各组数是勾股数的是
(
)
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
A
探究新知
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
两个命题的题设和结论有何联系？
探究新知
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理。勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理。
归纳总结
说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行
成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等
不成立
对应角相等的两个三角形全等
不成立
在角平分线上的点到角的两边距离相等
成立
新知应用
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
注意
最长边不一定是c，
∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
当堂小结
若△ABC的三边
a,b,c
满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC是否是直角三角形？
a2－6a
+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0
即
(a－3)?+
(b－4)?+
(c－5)?=0
∴
a=3,
b=4,
c=5，
即
a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
∴
a2
－6a
+b2
－8b
+c2
－10c
+50
=0
解
∵
a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
能力提升
1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
（1）a=7,b=24,c=25;（2）a=
,b=4,c=5;
（3）a=
,b=1,c=
;（4）a=40,b=50,c=60.
A层作业
2.下列各组数是勾股数的是
(
)
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
3.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
(
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
A层作业
4.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
A层作业
6.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
，则△ABC的形状是
________________．
5.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;
B层作业
如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝
CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
C层作业
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17.2
勾股定理的逆定理（第1课时
）同步练习
一、选择题
1．（2020秋?扶风县期末）在中，、、的对边分别是、、，下列说法错误的是
A．如果，则是直角三角形
B．如果，则是直角三角形
C．如果，则是直角三角形
D．如果，则不是直角三角形
2．（2020秋?丹徒区期末）下列条件中，不能判断、、为三边，、、为三内角）为直角三角形的是
A．，，
B．
C．
D．
3．（2020秋?盐都区期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是
A．1，2，3
B．3，4，5
C．5，6，7
D．7，8，9
4．（2020秋?上海期末）在中，，，，平分交于点，那么点到的距离是
A．4.8
B．4
C．3
D．
5．下列各组数为勾股数的是
A．7，12，13
B．3，4，7
C．3，4，6
D．8，15，17
二、填空题
6．（2020秋?苏州期末）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是
．
7．（2020秋?苏州期末）一个三角形的三边的比是，它的周长是36，则它的面积是
．
8．（2020秋?叶县期中）如图，每个小正方形的边长都相等，、、是小正方形的顶点，则的度数
．
9．（2020春?兖州区期末）若8，，17是一组勾股数，则
．
10．探索勾股数的规律：
观察下列各组数：，4，，，12，，，24，，，40，可发现，，，请写出第5个数组：
．
三、解答题
11．（2020秋?高邮市期末）如图，已知等腰的底边，是腰延长线上一点，连接，且，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的周长．
12．（2020秋?淮安期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
13．（2020秋?肃州区期末）在中，是上一点，，，，，求的面积．
17.2
勾股定理的逆定理（第1课时
）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?扶风县期末）在中，、、的对边分别是、、，下列说法错误的是
A．如果，则是直角三角形
B．如果，则是直角三角形
C．如果，则是直角三角形
D．如果，则不是直角三角形
【解析】解：、，即，又，则，那么是直角三角形，说法正确；
、，即，那么是直角三角形且，说法正确；
、，又，则，则是直角三角形，说法正确；
、，，，，但是，则可能是直角三角形，故原来说法错误．
故选：．
2．（2020秋?丹徒区期末）下列条件中，不能判断、、为三边，、、为三内角）为直角三角形的是
A．，，
B．
C．
D．
【解析】解：当，，时，
则，
即是直角三角形，故选项不符合题意；
当时，设，，，
则，
即是直角三角形，故选项不符合题意；
当时，则，
即是直角三角形，故选项不符合题意；
当时，则最大的，
即不是直角三角形，故选项符合题意；
故选：．
3．（2020秋?盐都区期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是
A．1，2，3
B．3，4，5
C．5，6，7
D．7，8，9
【解析】解：．，不符合三角形三边关系定理，
以1，2，3为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
．，
以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
是直角三角形，故本选项不符合题意；
．，
以5，6，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
．，
以7，8，9为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
4．（2020秋?上海期末）在中，，，，平分交于点，那么点到的距离是
A．4.8
B．4
C．3
D．
【解析】解：如图，过点作于，
在中，，，，
，
是直角三角形，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得．
故的长为3．
故选：．
5．下列各组数为勾股数的是
A．7，12，13
B．3，4，7
C．3，4，6
D．8，15，17
【解析】解：、不是勾股数，因为；
、不是勾股数，因为；
、不是勾股数，因为不是正整数；
、是勾股数，因为；，且8，15，17是正整数．
故选：．
二、填空题
6．（2020秋?苏州期末）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是 ．
【解析】解：延长到，使，连接，
，
同理，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
7．（2020秋?苏州期末）一个三角形的三边的比是，它的周长是36，则它的面积是 54 ．
【解析】解：设三角形的三边是，
，
此三角形是直角三角形，
它的周长是36，
，
，，
三角形的面积，
故答案为：54．
8．（2020秋?叶县期中）如图，每个小正方形的边长都相等，、、是小正方形的顶点，则的度数 ．
【解析】解：如图，连接．
由题意，，，，
，
，
，
，
故答案为．
9．（2020春?兖州区期末）若8，，17是一组勾股数，则 15 ．
【解析】解：①为最长边，，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
10．探索勾股数的规律：
观察下列各组数：，4，，，12，，，24，，，40，可发现，，，请写出第5个数组： 11，60，61 ．
【解析】解：①，，；
②，，；
③，，；
④，，；
⑤，，，
故答案为：11，60，61．
三、解答题
11．（2020秋?高邮市期末）如图，已知等腰的底边，是腰延长线上一点，连接，且，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的周长．
【解析】解：（1）是直角三角形，
理由是：，，，
，
，
即是直角三角形；
（2）设，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
的周长．
12．（2020秋?淮安期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：连接，
的垂直平分线分别交、于点、，
，
，
，
即，
；
（2）解：，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：．
13．（2020秋?肃州区期末）在中，是上一点，，，，，求的面积．
【解析】解：，
是直角三角形，
，
在中，，
，
．
因此的面积为84．
故答案为84．
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精品试卷·第
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