2.4.2
抛物线的简单几何性质
[A组 学业达标]
1．抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4
B．9
C．10
D．18
解析：抛物线y2＝2px的焦点为，
准线方程为x＝－.
由题意可得4＋＝9，解得p＝10，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.
答案：C
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
解析：当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．
当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，
可设直线方程为y＝k(x－1)，
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝＝5，
∴k2＝，即k＝±
.
因而这样的直线有且仅有两条．
答案：B
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4
B．8
C．8
D．16
解析：由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，
∴－＝，
∴n＝4.
∴P点纵坐标为4.
由(4)2＝8x，得x＝6，
∴P点坐标为(6,4)，
∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.
答案：B
4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( )
A．2
B．3
C．5
D．7
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.
答案：D
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
解析：由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝.
由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.
答案：B
6．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．
解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，
∴xA＝＝3，
∴所求距离为3－1＝2.
答案：2
7．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F(1,0)，则根据抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2xM＋2＝2×2＋2＝6.
答案：6
8．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝________.
解析：由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称．
设A，B，
则S△AOB＝·2a·＝16，解得a＝4，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
答案：90°
9．直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
解析：因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，
所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
所以＝6，解得k＝±1.
所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．
(1)求证：l与C必有两交点．
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
解析：(1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋＝1②，由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－，代入②得k＝1.
[B组 能力提升]
11．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，因为AB中点的横坐标为2，则＝4，即k＝2或k＝－1，又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，知k＝2.
答案：C
12．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A.
B.
C.
D．2
解析：由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2)．
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝4.
y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝，
y1·y2＝－＝－16.
∴·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)
＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4－16－＋4＝0，
解得k＝2，故选D.
答案：D
13．动圆经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．
解析：设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以p＝6，所以动圆圆心的轨迹方程为y2＝12x.
答案：y2＝12x
14．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为________．
解析：过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，
联立得x2－6x＋1＝0，
Δ＝36－4＝32>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，
|FA|·|FB|＝·
＝·
＝·
＝(x1＋1)(x2＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1
＝1＋6＋1＝8.
答案：8
15.如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D(不为原点)．
(1)求点D的轨迹方程；
(2)若点D的坐标为(2,1)，求p的值．
解析：(1)设点A的坐标(x1，y1)，点B的坐标(x2，y2)，点D的坐标(x0，y0)(x0≠0)，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0.
由已知，得直线AB的方程为y0y＝－x0x＋x＋y.
又y＝2px1，y＝2px2，yy＝(2px1)·(2px2)，则x1x2＝，
由x1x2＋y1y2＝0得y1y2＋4p2＝0.
把y0y＝－x0x＋x＋y代入y2＝2px，并消去x得
x0y2＋2py0y－2p(x＋y)＝0，
则y1y2＝，
代入y1y2＋4p2＝0，
得x＋y－2px0＝0(x0≠0)，
故所求点D的轨迹方程为x2＋y2－2px＝0(x≠0)．
(2)将x＝2，y＝1代入方程x2＋y2－2px＝0中，得p＝.
16．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
解析：(1)把P(1,1)代入y2＝2px得p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x.
∴焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：设l：y＝kx＋(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OP的方程为y＝x，
直线ON的方程为y＝x.
由题意知A(x1，x1)，B，
由得k2x2＋(k－1)x＋＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝.
∵y1＋＝kx1＋＋
＝2kx1＋
＝2kx1＋
＝2kx1＋(1－k)·2x1
＝2x1，
∴＝x1.
又M(x1，y1)，B，
∴＝x1，
∴线段BM的中点坐标为(x1，x1)，与A(x1，x1)坐标相同，
∴A为线段BM的中点．
PAGE2.4.1
抛物线及其标准方程
[A组 学业达标]
1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是( )
A．直线
B．抛物线
C．圆
D．双曲线
解析：∵定点(1,1)在直线x＋2y＝3上，
∴轨迹为过点(1,1)且垂直直线x＋2y＝3的直线．
答案：A
2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：x2＝－y，
∴2p＝1，p＝，
∴焦点坐标为.
答案：B
3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为( )
A.
B．－
C．8
D．－8
解析：由y＝ax2，得抛物线标准方程为x2＝y，
∴＝－2，
∴a＝－.
答案：B
5．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标是2的点M到抛物线焦点的距离是3，则p＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：∵抛物线的准线方程为x＝－，
点M到焦点的距离为3，∴2＋＝3，
∴p＝2.
答案：B
6．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________．
解析：圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.
答案：(1,0) x＝－1
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.
不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，
由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案：
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
9．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x－5y－36＝0上的抛物线方程．
解析：因为焦点在直线3x－5y－36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A的坐标为(12,0)或.
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，求得p＝24，所以此抛物线方程为y2＝48x；
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，求得p＝，
所以此抛物线方程为x2＝－y.
综上所求抛物线方程为y2＝48x或x2＝－y.
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是12的等边三角形，求此抛物线方程．
解析：如图，根据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|，由抛物线的定义得PM⊥抛物线的准线，设P，则点M，焦点F，由于△FPM是等边三角形，
所以
解得因此抛物线方程为y2＝12x.
[B组 能力提升]
11．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心的轨迹为
( )
A．抛物线
B．双曲线
C．椭圆
D．圆
解析：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0,3)，由题意得|CA|＝r＋1＝y＋1，∴＝y＋1，化简得y＝x2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．
答案：A
12．一抛物线形拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为( )
A．4
B．2
C．4
D．2
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由桥顶离水面2米时，水面宽4米可得图中点A的坐标为(2，－2)，
所以4＝－2p×(－2)，解得p＝1.
所以抛物线的方程为x2＝－2y.
当水面下降2米，即当y＝－4时，
可得x2＝－2×(－4)＝8，解得x＝±2，
因此水面宽为4米．
答案：A
13．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
解析：如图，过M作准线l的垂线，垂足为B，交y轴于点A，
根据抛物线的定义知
|MF|＝|MB|＝10.
又|AB|＝＝1，∴|MA|＝10－1＝9.
答案：9
14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
答案：6
15.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解析：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝，则直线FA的方程为y＝(x－1)．
∵MN⊥FA，∴kMN＝－，
则直线MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组，
得，
∴N的坐标为.
16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解析：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，
知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
PAGE双曲线的几何性质及应用
[A组 学业达标]
1．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是( )
A．4
B．2
C．1
D．－2
解析：因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，
所以若x＝a与双曲线有两个交点，
则a>2或a<－2，故只有A符合题意．
答案：A
2．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．a＝1
B．0
C．a>1
D．a≥1
解析：等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.
答案：D
3．直线l：y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(－，)
C．(－1,1)
D．[－1,1]
解析：由双曲线C：x2－y2＝2与直线l：y＝kx联立，得(1－k2)x2－2＝0.因为直线l：y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，所以
解得－1答案：C
4．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则k的取值范围为( )
A.
B．(－1,1)
C.
D.
解析：联立方程得(1－k2)x2－4kx－10＝0，①
若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根．
所以
解得k∈.故选C.
答案：C
5．设点F1、F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
解析：设F1(－c,0)，A(－c，y0)，
则－＝1，
∴＝－1＝＝＝，
∴y＝，∴|AB|＝2|y0|＝.
又S△ABF2＝2，
∴·2c·
|AB|＝·2c·＝＝2，
∴＝，∴＝＝.
∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：D
6．直线2x－y－10＝0与双曲线－＝1的交点是________．
解析：由
解得或
答案：(6,2)，
7．直线y＝x＋1与双曲线－＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由得x2－4x－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∴|AB|＝
＝＝4.
答案：4
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.
答案：[2，＋∞)
9．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解析：双曲线方程可化为－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.∴F2(2,0)，
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝·＝6.
10．斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，求直线l的方程．
解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(
)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
于是|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5.
因为|AB|＝，
所以m2－6(m2＋2)＝6.
则m2＝15，m＝±.
由(
)式得Δ＝24m2－240，把m＝±代入上式，得Δ>0，
所以m的值为±，
故所求l的方程为y＝2x±.
[B组 能力提升]
11．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的一个焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1.
答案：B
12．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A.
B．2
C.
D.
解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为(2a，a)．
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故选D.
答案：D
13．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B.
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝.
答案：
14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为________．
解析：由题意知F(c,0)，A1(－a,0)，A2(a,0)，其中c＝.
联立
解得B，C，
所以＝，
＝.
因为A1B⊥A2C，
所以·＝(c＋a)(c－a)－＝0，
解得a＝b，
所以渐近线的斜率为±1.
答案：±1
15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
解析：(1)由已知得c＝2，e＝2，
所以a＝1，b＝.
所以所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(
)
设MN的中点为(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，
所以线段MN垂直平分线的方程为
y－＝－，即x＋y－2m＝0，
与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(
)的判别式Δ>0，故直线l的方程为y＝x±.
16．已知P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解析：(1)由点P在双曲线－＝1上，
得－＝1.
由题意得·＝，
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，
则e＝＝.
(2)联立方程得
得4x2－10cx＋35b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
设＝(x3，y3)，由＝λ＋，
得
又C为双曲线E上一点，
即x－5y＝5b2，
有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，
化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线E上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
又x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)
＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
得λ2＋4λ＝0，
解得λ＝0或λ＝－4.
PAGE双曲线的简单几何性质
[A组 学业达标]
1．已知双曲线－＝1的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是( )
A.－＝1
B.－＝－1
C.－＝1
D.－＝－1
解析：由题意知a＝4，又∵|A1B1|＝5，
∴c＝5，b＝＝＝3.
∴双曲线方程为－＝1.
答案：A
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－
B．－4
C．4
D.
解析：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，
则双曲线方程可化为y2－＝1，
则a2＝1，即a＝1，
又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，
∴－＝b2＝4，
∴m＝－，故选A.
答案：A
3．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为
( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
解析：∵＝，∴＝＝，
∴＝，∴＝，∴＝.
又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：D
4．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：－y2＝1的顶点坐标为(±2,0)，渐近线为－y2＝0，即x±2y＝0.代入点到直线距离公式d＝＝.
答案：C
5．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )
A．y2－3x2＝36
B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36
D．3x2－y2＝36
解析：椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.
答案：A
6．双曲线－＝－3的渐近线方程为________．
解析：令－＝0，得y＝±x，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
7．焦点为(0，±6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是________．
解析：与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，
又∵双曲线的焦点在y轴上，
∴方程可写为－＝1.
又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，
∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12，
∴双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
8．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
解析：由渐近线方程为y＝±x＝±x，
得m＝3，所以c＝，又焦点在x轴上，
则焦点为(±，0)．
答案：(±，0)
9．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解析：椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3.
∴＝3?a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
10．根据条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
解析：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
由题意可知－＝λ，
解得λ＝.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k>0,4＋k>0)，
∵双曲线过点(3，2)，
∴－＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[B组 能力提升]
11．点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则，
解得，
所以a＋b＝7，故选D.
答案：D
12．已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，点(1，－)在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的方程为( )
A．y2－＝1
B.－x2＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得c＝2，即a2＋b2＝4，渐近线方程为y＝±x，可得a＝b，解得a＝，b＝1，所以双曲线的方程为－x2＝1.
答案：B
13．双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
解析：＝?＝＝?m＝9.
答案：9
14．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________.
解析：以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上，可设|F1F2|＝2c，M在y轴正半轴，则M(0，c)，又F1(－c,0)，则边MF1的中点为，代入双曲线方程，可得－＝1，由于b2＝c2－a2，e＝，则有e2－＝4，即有e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，由于e>1，即有e＝1＋.
答案：＋1
15．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程．
解析：因为点A与圆心O连线的斜率为－，所以过点A的切线的斜率为4，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±4x.
设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)．
因为点A(4，－1)在双曲线上，
所以16－＝λ，λ＝.
故双曲线的标准方程为－＝1.
16．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(4,6)．
(1)求双曲线方程；
(2)若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.
解析：(1)椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c＝＝4，即焦点为(±4,0)，于是可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝4，b2＝12，故双曲线方程为－＝1.
(2)假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上．由于在双曲线－＝1中，由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.但当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点F1的距离的最小值应为a＋c＝6，故不可能有|PF1|＝5，即在双曲线上不存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.
PAGE双曲线及其标准方程
[A组 学业达标]
1．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为
( )
A．双曲线的一支
B．圆
C．抛物线
D．双曲线
解析：设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，
由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，
由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．
答案：A
2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
解析：由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.
∴点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．
答案：D
3．k>9是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
解析：当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．
∴k>9是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．
答案：B
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A.
B．1或－2
C．1或
D．1
解析：依题意：解得a＝1.
答案：D
5．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )
A．6
B．12
C．12
D．24
解析：由已知易得2a＝2，由双曲线的定义及已知条件得，
|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
由|F1F2|＝2c＝2.
由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.
∴三角形为直角三角形．
∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
答案：C
6．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线的标准方程是________．
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)
又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，
∴∴
答案：－＝1
7．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．
解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
答案：
8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
解析：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题设知，a＝2，
且点A(2，－5)在双曲线上，
所以
解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
9．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1、F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解析：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角．
故△MF1F2为钝角三角形．
[B组 能力提升]
10．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是
( )
A．(1，＋∞)
B．(0,2)
C．(2，＋∞)
D．(1,2)
解析：由题意知，双曲线的标准形式为－＝1.
∴解得k>2.
又c2＝k－1＋|k|－2＝2k－3>1，
∴c>1.
答案：A
11．已知双曲线C的中心在原点O，焦点F(－2，0)，点A为左支上一点，满足|OA|＝|OF|且|AF|＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：如图，由题意可得c＝2，设右焦点为F′，由|OA|＝|OF|＝|OF′|知，∠AFF′＝∠FAO，∠OF′A＝∠OAF′，所以∠AFF′＋∠OF′A＝∠FAO＋∠OAF′.由∠AFF′＋∠OF′A＋∠FAO＋∠OAF′＝180°知，∠FAO＋∠OAF′＝90°，即AF⊥AF′.在Rt△AFF′中，由勾股定理，得|AF′|＝＝8，由双曲线的定义，得|AF′|－|AF|＝2a＝8－4＝4，从而a＝2，得a2＝4，于是b2＝c2－a2＝16，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
答案：C
12．已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF1Q的周长为( )
A.
B．5
C.
D．4
解析：∵c＝＝2，∴F2(2,0)．
又点P的横坐标为2，∴PQ⊥x轴．
由－y2＝1，得y＝±，故|PF2|＝.
∴|PQ|＝.
又P，Q在双曲线的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝2，|QF1|－|QF2|＝2.
∴|PF1|＝|QF1|＝2a＋＝，
∴l△PF1Q＝|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝.
答案：A
13．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1、F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2.
答案：22或2
14．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解析：已知双曲线－＝1，
由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为－＝1.
∵点P在所求双曲线上，
∴－＝1，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
15．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解析：(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
PAGE椭圆标准方程及性质的应用
[A组 学业达标]
1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值是( )
A．－1
B.
C．－1或1
D．－或
解析：由题意得椭圆的焦点为(0，±3)，
若l过一个焦点，则b＝±1.
故选C.
答案：C
2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B.
C.
D.
解析：由题知，M的轨迹为以两焦点的连线为直径的圆，
c又e∈(0,1)，所以e∈.
答案：C
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A.
B.
C.
D.
解析：椭圆的方程可化为＋＝1，
∴F(－，0)．
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＝x＋.
由
得7x2＋12x＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝＝.
答案：B
4．已知点F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则该椭圆的离心率e为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵△ABF2为等边三角形，∴∠AF2B＝60°，∠AF2F1＝30°，
∴|AF1|＝|F1F2|·tan
30°＝c，
|AF2|＝＝c.由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝.
答案：D
5．已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为( )
A．(－2,0)
B．(0,1)
C．(2,0)
D．(0,1)或(0，－1)
解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|·|PF2|≤2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P点坐标为(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．
答案：D
6．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得，
＋＝0.
又M(1,1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
所以＋＝0，所以a2＝2b2，
所以e＝.
答案：
7．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，则此椭圆方程是________．
解析：设此椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
且a2－b2＝(5)2＝50，①
由
得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.
∵＝，
∴＝，
∴a2＝3b2，②
此时Δ>0，
由①②得a2＝75，b2＝25，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得3x2－5x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)
＝×1×
＝.
答案：
9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解析：设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
联立方程得9y2－2ay＋a2－8＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，
所求最小距离为d＝＝.
10．若椭圆＋＝1(a>b>0)与直线y＝x交于A，B两点，且|AB|＝，求＋的值．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x1＝＝y1，x2＝y2＝－，故|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2×2＝＝，即＝，所以＋＝5.
[B组 能力提升]
11．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )
A．[6,10]
B．[6,8]
C．[8,10]
D．[16,20]
解析：由题意知a＝10，b＝8，不妨设椭圆为＋＝1，
椭圆上的点M(x0，y0)，由椭圆的范围知，
|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，
点M到椭圆中心的距离d＝，
又因为＋＝1，
所以y＝64＝64－x，
则d＝＝，
因为0≤x≤100，
所以64≤x＋64≤100，所以8≤d≤10.故选C.
答案：C
12．已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(1，]
D．(1，)
解析：2＝
＝
＝1＋≤1＋＝2，
当且仅当b＝c时取等号，a、b、c都大于0，
所以2＝1＋>1.
∴1<2≤2，∴1<≤.
答案：C
13．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y得，(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
∴x1＋x2＝，
∴线段MN中点的横坐标为，
纵坐标为1－＝.
∴过原点与线段MN中点的直线的斜率为
＝＝.
答案：
14．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于________．
解析：由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1,0)．
不妨设直线l过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.
代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，
即3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1·x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，
所以·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.
答案：－
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，求k的值．
解析：由椭圆C的离心率为，
得c＝a，b2＝，
∴椭圆C：＋＝1.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，F.
∵＝3，
∴＝3，
∴a－xA＝3，－yA＝3yB，
即xA＋3xB＝2a，yA＋3yB＝0.
将A、B代入椭圆C方程相减得
＝8，＝8，
∴3xB－xA＝a，
∴xA＝a，xB＝a，
∴yA＝－a，yB＝a，
∴k＝＝＝.
16．椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．
解析：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，
所以＋＝1.①
又因为离心率为，所以＝，
所以＝.②
解①②得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线的倾斜角为时，
A，B，
S△ABF2＝|AB|×|F1F2|＝×3×2＝3≠，不符合题意．
当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，
代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
x1x2＝，
所以S△ABF2＝|y1－y2|×|F1F2|
＝|k|
＝|k|
＝＝，
所以17k4＋k2－18＝0，
解得k2＝1，
所以k＝±1，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
PAGE椭圆的简单几何性质
[A组 学业达标]
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1,0)，(1,0)
B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
解析：∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
答案：D
2．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：由题意知c＝3，＝，
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：A
3．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：∵2a＝18，∴a＝9，
由题意得2c＝×2a＝×18＝6，
∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，
故椭圆方程为＋＝1.
答案：A
4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac，
∴3a2－2ac－5c2＝0，
∴5c2＋2ac－3a2＝0，
∴5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
答案：B
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，由于BF⊥x轴，
故xB＝－c，yB＝.设P(0，t)，
∵＝2，
∴(－a，t)＝2.
∴a＝2c，∴＝.
答案：D
6．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为________．
解析：由题意得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，
∴e＝＝.
答案：
7．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为e＝＝.
答案：
8．已知椭圆的一个顶点是(0，)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．
解析：∵＝＝＝，∴a＝2b，
若椭圆的焦点在x轴上，则b＝，a＝2；
若椭圆的焦点在y轴上，则a＝，b＝.
∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
9．若椭圆的长轴长是10，离心率是，求该椭圆的标准方程．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，e＝＝，
所以c＝4.
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1，在该椭圆上是否存在点M，使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x＝4的距离相等．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：由已知得c2＝4－3＝1，
所以c＝1，故F(1,0)．
假设在椭圆上存在点M，使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x＝4的距离相等．
设M(x，y)(－2≤x≤2)，
则＝|x－4|，
两边平方得y2＝－6x＋15.
又由＋＝1，得y2＝3，
代入y2＝－6x＋15，得x2－8x＋16＝0，解得x＝4.
因为－2≤x≤2，
所以符合条件的点M不存在．
[B组 能力提升]
11．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：由题意知m－2－(10－m)＝2，
解得m＝8.
答案：D
12．方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设点D(0，b)，A(－a,0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，
由3＝＋2，得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.
答案：D
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过P，则椭圆C的标准方程是________．
解析：∵椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，
∴＝，则＝.
∵椭圆C经过点P，
∴＋＝1，
∴a2＝4，b2＝3.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
14．椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10，两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意得
解得
∴e＝＝.
答案：
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，求椭圆C的离心率．
解析：由题意知A(a,0)，B(0，b)，从而直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，又|F1F2|＝2c，
∴＝c.∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝.
16．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，求椭圆离心率的取值范围．
解析：设P(x0，y0)，则＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，
所以·＝(－c－x0)(c－x0)＋(－y0)2＝x－c2＋y.
因为P(x0，y0)在椭圆上，
所以＋＝1.
所以y＝b2，
所以·＝x－c2＋b2＝c2，
解得x＝.
因为x0∈[－a，a]，所以x∈[0，a2]，
即0≤≤a2，
所以2c2≤a2≤3c2.
即≤≤，所以≤≤，
即椭圆离心率的取值范围是.
PAGE椭圆及其标准方程
[A组 学业达标]
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：设到另一焦点的距离为x，则x＋2＝10，x＝8.
答案：D
2．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2＋＝1
D.＋＝1
解析：由题意知a2－2＝4，∴a2＝6.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：D
3．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：∵焦距为4，
∴m－2－(10－m)＝2，
∴m＝8.
答案：D
4．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：∵S△PF1F2＝×8b＝12，∴b＝3，
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：B
5．“m2>5”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m2－1>3，所以m2>4.
所以“m2>5”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件．
答案：A
6．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是________．
解析：由25x2＋16y2＝1知焦点在y轴上，
且a2＝，b2＝，c2＝－＝，∴c＝.
∴焦点坐标为.
答案：
7．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1、F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________．
解析：由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，
∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析：由椭圆定义，
得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.
又∵⊥，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1||PF2|＝2b2，
S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝b2＝9，
∴b＝3.
答案：3
9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在坐标轴上，且经过点A(，－2)，B(－2，1)；
(2)与椭圆＋y2＝1有相同焦点且经过点M(，1)．
解析：(1)设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，根据题意，得解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆＋y2＝1，知焦点在x轴上，
则a2＝3，b2＝1，c2＝a2－b2＝3－1＝2，
∴c＝，∴椭圆的两个焦点分别为(－，0)和(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>2)，
把(，1)代入方程，得＋＝1，
化简，得a4－5a2＋4＝0，
∴a2＝4或a2＝1(舍)，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．若长度为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M在AB上且＝2，求点M的轨迹方程．
解析：设A(x0,0)，B(0，y0)，M(x，y)，
∵＝2，
∴(x－x0，y)＝2(－x，y0－y)，
∴
∵|AB|＝8，∴＝8，
∴x＋y＝64.
把x0＝3x，y0＝y代入x＋y＝64中，
得(3x)2＋2＝64，
即x2＋y2＝1为点M的轨迹方程．
[B组 能力提升]
11．已知椭圆M：x2＋＝λ经过点(1,2)，则M上一点到两焦点的距离之和为( )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：因为椭圆M：x2＋＝λ经过点(1,2)，代入可得λ＝2，即椭圆的方程为＋＝1，则a＝2，所以根据椭圆的定义可得椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a＝4.
答案：D
12．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(如图)．
由|OP|＝|OF|＝|OF′|，
知∠PFF′＝∠FPO，
∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8.由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a2＝49，于是b2＝a2－c2＝72－52＝24，所以椭圆的方程为＋＝1.
答案：C
13．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
解析：由题意知，
|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10，
由正弦定理得＝＝＝.
答案：
14．已知椭圆的焦距是2，且过点P(－，0)，则其标准方程是________．
解析：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得c＝1，且椭圆过点P(－，0)，
∴
解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，则有
解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
15．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的标准方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
解析：(1)由已知得|F1F2|＝2，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
120°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，
∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1|·|PF2|，
∴|PF1||PF2|＝12，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin
120°＝×12×＝3.
16．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．
解析：方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆．
PAGE求曲线的方程
[A组 学业达标]
1．方程y＝表示的曲线为图中的( )
解析：y＝，x≠0，为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B.
又因为当x>0时，y＝>0；
当x<0时，y＝－>0，所以排除D.
答案：C
2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两个点
B．四个点
C．两条直线
D．四条直线
解析：由
得或
或或
故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点．
答案：B
3．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋2xy＝1(x≠±1)
C．y＝
D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：设P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1，
∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．
答案：B
4．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为( )
A．2
B．3
C.
D.
解析：因为点P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，所以代入曲线方程可得a＝，故选D.
答案：D
5．已知A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠±)
解析：设动点M(x，y)，
则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．
由·＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，
即x2＋y2＝1.
答案：A
6．直线2x＋5y－15＝0与曲线y＝－的交点坐标为________．
解析：由方程组
得或
即它们的交点坐标为(10，－1)或.
答案：(10，－1)或
7．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是____________．
解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.又M为AB的中点，所以即将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2×(2x)2＋1，
即y＝4x2.
答案：y＝4x2
8．已知定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.
答案：4π
9．已知方程ax2＋by2＝2的曲线经过点A和点B(1,1)，求a，b的值．
解析：依题意，得解得
10．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
解析：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则＝(x，－2y)，故·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.
[B组 能力提升]
11．曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：利用数形结合的思想方法，如图所示：
曲线y＝－表示x2＋y2＝1的下半圆，
曲线y＋|ax|＝0，即y＝－|a||x|，
当x≥0时，即y＝－|a|x，
当x<0时即y＝|a|x，得两曲线交点2个．
故选B.
答案：B
12．已知||＝3，A，B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，＝＋，则点P的轨迹方程为( )
A．x2＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋y2＝1
D．x2＋＝1
解析：设P(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，
由＝＋，得(x，y)＝(a,0)＋(0，b)，
∴a＝3x，b＝y.
∵||＝3，∴a2＋b2＝9，
∴(3x)2＋2＝9，即x2＋＝1.
答案：A
13．已知0≤α<2π，点P(cos
α，sin
α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．
解析：由(cos
α－2)2＋sin2α＝3，
得cos
α＝，
又因为0≤α<2π，所以α＝或α＝π.
答案：或
14．一动点到y轴距离比到点(2,0)的距离小2，则此动点的轨迹方程为________．
解析：设动点P(x，y)，则由条件，得＝|x|＋2，两边同时平方，得y2＝4x＋4|x|，
当x≥0时，y2＝8x；当x<0时，y＝0，所以动点的轨迹方程为y2＝8x(x≥0)或y＝0(x<0)．
答案：y2＝8x(x≥0)或y＝0(x<0)
15．设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
解析：法一：设弦的中点为P(x，y)，
则另一端点为(2x,2y)在圆(x－1)2＋y2＝1上，
故(2x－1)2＋4y2＝1，
即2＋y2＝(0法二：如图所示，设所作弦的中点为P(x，y)，连接CP，
则CP⊥OP，|OC|＝1，OC的中点M，
所以动点P的轨迹是以点M为圆心，以OC为直径的圆，
故轨迹方程为2＋y2＝.
又因为点P不能与点O重合，所以0故所作弦的中点的轨迹方程为
2＋y2＝(016．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
解析：设Q(x，y)，点M(x0，y0)(y0≠0)，
则点N(0，y0)．
因为＝＋，
所以(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
即
所以
又因为点M在圆C上，
所以x2＋＝4，
即＋＝1(y≠0)，
所以动点Q的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
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