2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(2)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会解简单的分式不等式．
数学运算数学建模
2.通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题．
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以求解.
授课提示：对应学生用书第27页
[教材提炼]
知识点一 分式不等式的解法
不等式＞1与x＜1等价吗？＞1的解集应是什么？
知识梳理 一般的分式不等式的同解变形法则
(1)＞0?f(x)·g(x)＞0；
(2)≤0?
(3)≥a?≥0.
知识点二 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立问题
(1)?x∈R，x2－c＞0，c取何值？
(2)?x∈R，ax2＋1＞0，a取何值？
知识梳理 一元二次不等式恒成立的情况：
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立?；
(2)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?.
[自主检测]
1．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4
B．－4＜a＜4
C．a≤－4或a≥4
D．a＜－4或a＞4
答案：A
2.
不等式＞1的解集为________．
答案：{x|0＜x＜1}
3．对?x∈R，x2－a＞0恒成立，则a的取值范围为________．
答案：a＜0
4．要使有意义，则x的取值集合为________．
答案：R
授课提示：对应学生用书第28页
探究一 解简单的分式不等式
[例1] 解不等式．
(1)＜0；
(2)≤2.
[解析] (1)由＜0，得＞0.
此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0.
∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
(2)法一：移项，得－2≤0，
左边通分并化简，得≤0，即≥0，
它的同解不等式为
∴x＜2或x≥5.
原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0.
此不等式等价于①
或②
解①，得x≥5.
解②，得x＜2.
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}.
1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
解不等式
(1)＞0；
(2)＞1.
解析：(1)原不等式等价于
?，或.
解得x＞3或－2＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|x＞3，或－2＜x＜1}．
(2)原不等式可化为－1＞0，即＜0，等价于(3x－2)(4x－3)＜0.
∴＜x＜.
∴原不等式的解集为.
探究二 不等式恒成立问题
[例2] [教材P52例3拓展探究]
(1)不等式x2－2x＋3＞0的解集是什么？
[解析] 由于x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0恒成立．
∴x∈R.解集为R.
(2)若不等式x2＋ax＋3＞0的解集为R，求a的范围．
[解析] 设y＝x2＋ax＋3，
要使x2＋ax＋3＞0的解集为R
∴Δ＝a2－4×3＜0，解得－2＜a＜2.
(3)若不等式ax2＋2ax＋3＞0的解集为R，求a的范围．
[解析] 当a＝0时，3＞0，x∈R.
当a＞0时，Δ＝4a2－12a＜0
∴0＜a＜3.
当a＜0时，不成立．
综上，0≤a＜3.
对于一元二次型不等式恒成立，注意参数的讨论
ax2＋bx＋c＞0，
①a＝0时，有c＞0.
②
ax2＋bx＋c＜0，
①a＝0时，c＜0.
②
探究三 一元二次不等式的实际应用
[例3] 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？
[解析] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]元，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得15≤x＜20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制订这批台灯的销售价格控制在集合{x|15≤x＜20}．
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解析：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1
000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
当且仅当
即
解不等式，得0＜x＜，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜.
授课提示：对应学生用书第29页
一、一元二次不等式有解问题
一元二次不等式的有解(能成立)问题
不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)有解的条件为a＞0，或
不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)有解的条件为a＜0，或
[典例] 若不等式x2－ax＋4＜0有负数解，求a的范围．
[解析] 设y＝x2－ax＋4，其抛物线开口向上，过定点(0,4)．
根据题意，其图象如图所示
∴a＜－4.
二、因一元二次不等式的系数的正负不清致误
[典例] 如果ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2或x＞4}，那么对于函数y＝ax2＋bx＋c，比较当x＝－1，x＝2，x＝5时，对应的值y1，y2，y3的大小．
[解析] 由ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2或x＞4}知a＞0，且－2,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，所以可得，所以y＝ax2－2ax－8a＝a(x＋2)(x－4)．因为a＞0，所以抛物线开口向上．又对称轴方程为x＝1，其图象如图所示，由图可得y2＜y1＜y3.
[答案] y2＜y1＜y3
纠错心得 (1)没有仔细分析不等式的解集的形式，导致没有分析出a＞0而致误．有些信息是隐含在题设条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a＞0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论．
(2)二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点，如本例恰恰运用了该点巧妙地把参数a，b，c间的关系建立起来，为判断y1、y2、y3的大小关系做好了铺垫．
PAGE2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(1)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
数学抽象直观想象逻辑推理、数学运算
2.掌握图象法解一元二次不等式．
3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.
授课提示：对应学生用书第24页
[教材提炼]
知识点一 一元二次不等式的概念
我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2＞1的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x2＞1的解集吗？
知识梳理 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(quadric
inequality
in
one
unknown)．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
(2)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．即一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
函数y＝x2－1的零点与方程x2－1＝0及不等式x2－1＞0解之间有什么关系？
知识梳理 (1)
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1，或x＞x2}
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
[自主检测]
1．不等式x＞x2的解集是( )
A．{x|x＞1}
B．{x|x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．R
答案：C
2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是( )
A．?
B．R
C．{x|x＞5}
D．{x|x＜2}
答案：A
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为( )
A．{x|x＞3或x＜－2}
B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3}
D．{x|－3＜x＜2}
答案：C
4．不等式－x2＋x－2＜0的解集为________．
答案：R
授课提示：对应学生用书第25页
探究一 一元二次不等式的解法
[例1] 解下列不等式．
(1)－x2＋2x－＞0；
(2)－x2＋3x－5＞0；
(3)4x2－18x＋≤0.
[解析] (1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2＜0，
∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x2－6x＋2＝0的根是x1＝1－，x2＝1＋.
∴原不等式的解集是{x|1－＜x＜1＋}．
(2)不等式可化为x2－6x＋10＜0，
Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0，
∴原不等式的解集为?.
(3)不等式可化为16x2－72x＋81≤0，
即(4x－9)2≤0，∵4x－9＝0时，x＝.
∴原不等式的解集为{x|x＝}.
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.
1．求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
解析：∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2＞0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.
2．解不等式－x2＋2x－3＞0.
解析：不等式可化为x2－2x＋3＜0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是?.
探究二 含参数的一元二次不等式
[例2] 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
[解析] 原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}；
当a＝0时，x2＞0，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}．
综上所述：
当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．
将本例不等式变为：解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R，a＞0)．
解析：因为a＞0，所以原不等式等价于(x－1)＜0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；
②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，
得1＜x＜.
综上，
a＞1时，不等式的解集为{x|＜x＜1}；
a＝1时，不等式的解集为?；
0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜}．
探究三 三个二次之间的关系
[例3] [教材P52例1、例2的拓展探究]
(1)已知解集求函数
若不等式y＝ax2－x－c＞0的解集为(－2,1)，则函数的图象为( )
[解析] 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a＜0，排除C，D；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.
[答案] B
(2)已知方程的根或函数零点求不等式
若函数y＝x2－ax＋1有负数零点，则a的范围为________．
[解析] 有零点，
∴Δ＝a2－4≥0，
∴a≥2或a≤－2，
∵f(0)＝1，要使x2－ax＋1＝0有负根，则对称轴x＝＜0，即a＜0.
∴a≤－2.
[答案] a≤－2
(3)已知解集求不等式
已知x2＋px＋q＜0的解集是，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0.
[解析] 由已知得，x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q＝0的根，
∴－p＝－＋，q＝－×，
∴p＝，q＝－.
∵不等式qx2＋px＋1＞0，
∴－x2＋x＋1＞0，
即x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3，
故不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
授课提示：对应学生用书第26页
分久必合——分类讨论思想解含参数不等式
含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：
(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．
(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．
(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论．
1．讨论二次项系数型为主
当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0，若二次项系数为0，则该不等式变为一次不等式；若二次项系数不为0，解集则与二次项系数的正负相关．
[典例] 解关于x的不等式，ax2＋(1－a)x－1＞0.
[解析] 原不等式化为(x－1)(ax＋1)＞0
(1)当a＝0时，原不等式为x－1＞0，∴x＞1，
(2)当a＞0时，原不等式为(x－1)(x＋)＞0.
两根为1与－且1＞－，
∴得x＞1或x＜－；
(3)当a＜0时，原不等式化为(x－1)(x＋)＜0
两根为1与－，
又∵当－1＜a＜0时，－＞1，
∴得1＜x＜－.
当a＝－1时，不等式为(x－1)2＜0，解集为?，
当a＜－1时，－＜1，∴得－＜x＜1.
综上，当a＞0时，解集为{x|x＞1，或x＜－}；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当－1＜a＜0时，解集为{x|1＜x＜－}；
当a＝－1，解集为?；
当a＜－1时，解集为{x|－＜x＜1}．
规律总结
解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论．
2．讨论判别式型为主
当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论．
[典例] 解关于x的不等式：2x2＋ax＋2＞0.
[解析] Δ＝a2－16＝(a－4)(a＋4)．
(1)当a＞4或a＜－4时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
原不等式的解集为
.
(2)当a＝±4时，Δ＝0，方程只有一根x＝－，
∴原不等式的解集为.
(3)当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无根，∴原不等式的解集为R.
规律总结
若一元二次方程判别式符号不确定，应分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0讨论．
3．讨论根的大小型为主
当一元二次不等式中有字母，而导致根的大小不易区别时，应通过作差法，由根的大小确定字母范围．
[典例] 解关于x的不等式：x2－2x＋1－a2≥0.
[解析] 原不等式等价于(x－1－a)(x－1＋a)≥0.
①当a＞0时，1＋a＞1－a，所以原不等式的解集为{x|x≥1＋a，或x≤1－a}．
②当a＝0时，原不等式的解集为全体实数R.
③当a＜0时，1－a＞1＋a，原不等式的解集为{x|x≥1－a，或x≤1＋a}．
规律总结
当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集．
在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
PAGE第二课时 基本不等式与最大值、最小值
内 容 标 准
学 科 素 养
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用．
逻辑推理、数学运算、数学建模
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
授课提示：对应学生用书第22页
[教材提炼]
知识点 基本不等式求最大值、最小值
(1)当x＞0，y＝x＋的最小值是几？
(2)当x＞0，y＞0，x＋y＝1，xy的最大值是几？
知识梳理 (1)用基本不等式求最值．
①设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为.
②设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2.
(2)基本不等式求最值的条件
①x，y必须是正数．
②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
③等号成立的条件是否满足．
[自主检测]
1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是( )
A.
B．1
C．2
D．4
答案：C
2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________．
答案：1
3．当x＞1时，x＋的最小值为________．
答案：3
授课提示：对应学生用书第22页
探究一 用基本不等式求最值
[例1] [教材P45例1探究拓展]
(1)若x＞0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
[解析] ∵x＞0.
∴x＋≥2＝4
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．
∴函数y＝x＋(x＞0)在x＝2时取得最小值4.
(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；
[解析] ∵0＜x＜，∴3－2x＞0，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
(3)已知x＞2，求x＋的最小值；
[解析] ∵x＞2，∴x－2＞0，
∴x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6.
(4)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
[解析] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，
当且仅当＝，＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
应用基本不等式的常用技巧
(1)常值代替
这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．
(2)构造不等式
当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．
(3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
解析：
∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，
∴＋＝＋＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，
解得x＝1－，y＝－1，
∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.
探究二 基本不等式的实际应用
[例2] 如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？
[解析] (1)T＝＝＝＋＋.
(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．
∵T＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当＝，即v＝20时取等号．
∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．
利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．
某公司一年需要一种计算机元件8
000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货．每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？
解析：设每年购进8
000个元件的总花费为S，一年总库存费用为E，手续费为H，每年分n次进货，
则x＝，E＝2××，H＝500
n.
所以S＝E＋H＝2××＋500n＝＋500n＝500≥4
000.
当且仅当＝n，即n＝4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．
授课提示：对应学生用书第23页
一、用基本不等式求最值的策略
1．配凑
以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x)
＝ax＋b＋的函数求最值时可以考虑配凑法．
[典例] 函数y＝(x＞－1)的最小值为________．
[解析] 因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，因为x＞－1，所以x＋1＞0，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
[答案] 0
2．常值代换
利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或＋)为定值，求cx＋dy(或＋)的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理．
[典例] 若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.
[答案] D
3．探究
通过换元法使得问题的求解得到简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及基本不等式求最值．
[典例] 设x，y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值为________．
[解析] 令x＋2＝m，y＋1＝n，则m＋n＝4，且m＞2，n＞1，
所以＋＝＋
＝＋－2＝(＋)(＋)－2
＝＋－≥2－＝，
当且仅当即m＝，n＝时取等号．
所以＋的最小值为.
[答案]
4．减元
当题中出现了三个变元，我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新元的取值范围．
[典例] 已知x，y，z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
[解析] 由x－2y＋3z＝0得y＝，所以＝＝＋＋.
又x，z均为正实数，所以＞0，＞0，所以＝＋＋≥2＋＝3，
当且仅当＝即x＝3z时取等号．
所以的最小值为3.
[答案] 3
二、忽视基本不等式的应用条件
[典例] 已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则＋的最小值为( )
A．3
B．2
C.
D.
[解析] 由题意得＋n＝1，
所以＋＝(＋)(＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.
[答案] C
纠错心得 应用基本不等式求最值时，必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序．本题中求出＋n＝1后，若采用两次基本不等式，有如下错解：
＋n＝1≥2，所以≤，≥，①
又＋≥2，②
所以＋≥2.选B.
此错解中，①式取等号的条件是＝n，②式取等号的条件是＝即m＝n，两式的等号不可能同时取得，所以2不是＋的最小值．
PAGE2．2 基本不等式
第一课时 基本不等式
内 容 标 准
学 科 素 养
1.探索并了解基本不等式的证明过程．
直观想象逻辑推理
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小．
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
授课提示：对应学生用书第20页
[教材提炼]
知识点 基本不等式
(1)对?a、b∈R.a2＋b2与2ab的大小如何？
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.可得到CD＝，AB＝，由CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？
知识梳理 (1)?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)如果a＞0，b＞0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得≤，①当且仅当a＝b时，等号成立．
通常称不等式①为基本不等式(basic
inequality)．其中，叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
[自主检测]
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2＞2|ab|
答案：A
2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab
B．a＋b≥2
C.＋＞
D.＋≥2
答案：D
3．若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.＞
B.＋≥1
C.≥2
D.≥1
答案：B
授课提示：对应学生用书第21页
探究一 用基本不等式判断不等式的成立
[例1] 有下列式子：①a2＋1＞2a；②≥2；③≥2；④x2＋≥1，其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，
故①不正确；对于②，当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C.
[答案] C
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0.
设M＝a＋(2＜a＜3)，N＝x(4－3x)，则M，N的大小关系为( )
A．M＞N
B．M＜N
C．M≥N
D．M≤N
解析：M＝a＋＝a－2＋＋2＞4，
N＝x(4－3x)＝×3x(4－3x)≤×2＝4.
∴M＞N.
答案：A
探究二 用基本不等式证明不等式
[例2] [教材P44由公式≥的证明过程探究]
(1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
[证明] ∵a2＋b2≥2ab
b2＋c2≥2bc
c2＋a2≥2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号)
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＞0，＞0，＞0.
则＋≥2＝2c，＋≥2b，＋≥2a.
由不等式的性质知，2≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.
利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．
授课提示：对应学生用书第21页
一、千变万化，不离其宗
基本不等式的几种常见变形及结论
(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；
(2)ab≤(a，b∈R)；
(3)ab≤2，(a，b∈R)；
(4)＋≥2(ab＞0)；
(5)a＋≥2(a＞0，k＞0)；
(6)≤≤≤
(a，b都是正实数)．
[典例] 已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤1.
[证明] ∵≤，≤，≤，
∴＋＋≤＝1.
故原不等式成立．
二、忽视基本不等式的条件
[典例] 设y＝x＋，求y的取值范围．
[解析] 当x＞0时，y＝x＋≥2＝2.
当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”．
当x＜0时，y＝x＋＝－[(－x)＋]
∵(－x)＋≥2
∴－[(－x)＋]≤－2.
当且仅当x＝时，即x＝－1时取“＝”．
∴y的取值范围为{y|y≤－2或y≥2}．
PAGE2．1 等式性质与不等式性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过具体情境，感受日常生活中的不等关系．
数学抽象逻辑推理
2.初步学会作差法比较两实数的大小．
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
授课提示：对应学生用书第18页
[教材提炼]
知识点一 实数a、b大小
设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B，那么A、B的位置与a、b的大小有什么关系？
知识梳理 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对，这个基本事实可以表示为a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
知识点二 等式的基本性质
如果a＝b，那么a±c与b±c、ac与bc、与相等吗？
知识梳理 等式有下面的基本性质：
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点三 不等式的性质
如果a＞b，那么a±c与b±c，ac与bc有什么关系？
知识梳理
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a＞b?b＜a
?
2
传递性
a＞b，b＞c?a＞c
?
3
可加性
a＞b?a＋c＞b＋c
可逆
4
可乘性
?ac＞bc
c的符号
?ac＜bc
5
同向可加性
?a＋c＞b＋d
同向
6
同向同正可乘性
?ac＞bd
同向
7
可乘方性
a＞b＞0?an＞bn(n∈N
，n≥2)
同正
[自主检测]
1．实数m不超过，是指( )
A．m＞
B．m≥
C．m＜
D．m≤
答案：D
2．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是( )
A．a－c＜b－d
B．ac＞bd
C.＜
D．ad＞bc
答案：B
3．设a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是( )
A．a－c＞b－d
B．ac＞bd
C.＞
D．b＋d＜a＋c
答案：D
4．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
答案：f(x)＞g(x)
授课提示：对应学生用书第19页
探究一 作差法比较大小
[例1] 设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析] (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝(x－y)(－2xy)．
由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0，
所以(x－y)(－2xy)＞0，
即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→
变形→
定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
将本例中“x＜y＜0”变为“x＞y＞0”，这两个代数式的大小如何？
解析：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝－2xy(x－y)
由x＞y＞0得－2xy＜0，x－y＞0
∴－2xy(x－y)＜0
∴(x2＋y2)(x－y)＜(x2－y2)(x＋y)
探究二 用不等式的性质证明不等式
[例2] [教材P42例2拓展探究]
(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，∴0＜＜，
又∵e＜0，∴＞.
(2)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
[证明] －＝＝，
∵b＞a＞0，m＞0，∴a－b＜0，
＜0，
∴＜.
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
探究三 求表达式的范围
[例3] 已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求x＋y，x－3y及的范围．
[解析] 因为30＜x＜42,16＜y＜24，
所以30＋16＜x＋y＜42＋24，
故46＜x＋y＜66.
又30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，
所以30－72＜x－3y＜42－48，
故－42＜x－3y＜－6.
又30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，
所以－＜＜－，
所以0＜＜－＜，
所以＜－＜，
故－＜＜－，
得－7＜＜－.
根据某些代数式的范围求其它代数式的范围，要整体应用已知的代数式，结合不等式的性质进行推理.
已知1＜a＜2,3＜b＜4，求下列各式的取值范围．
(1)2a＋b；(2)a－b；(3).
解析：(1)∵1＜a＜2，∴2＜2a＜4.又3＜b＜4，∴5＜2a＋b＜8；
(2)∵3＜b＜4，∴－4＜－b＜－3.又∵1＜a＜2，∴－3＜a－b＜－1；
(3)3＜b＜4；∴＜＜.又∵1＜a＜2，∴＜＜.
授课提示：对应学生用书第20页
一、借不等式性质之根“移花接木”——不等式性质的拓展
1．由不等式性质4：a＞b，c＞0，那么ac＞bc拓展为倒数性质：若，则＜.
证明：∵ab＞0，∴＞0
由a＞b得a×＞b×.
∴＞，即＜.
2．由性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn.(n∈N且n≥1)．
拓展为开方性质：如果a＞b＞0，那么＞.(n∈N且n≥2)．
证明：假设0＜≤.
由性质7得()n≤()n
∴a≤b与a＞b矛盾．
∴＞.
[典例] 已知a＞b＞0，求证＞.
[证明] ∵a＝()2，b＝()2.
由a＞b得：()2＞()2＞0
∴＞.
二、同样正确用不等式性质，差别这么大
[典例] 已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求4a－2b的范围．
[解析] 设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)
＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得，解得，
∴4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)
1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4
∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10
∴4a－2b范围是[5,10]．
纠错心得 (1)使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
(2)注意同一个问题中应用同向不等式相加性质时不能多次使用(因多次使用时取等号的条件会发生改变)，否则不等式范围将会扩大．
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