课时素养检测二十一 三角恒等变换的应用(二)
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.化简sin
2α-2sin2α+1的结果可以是
( )
A.2sin(2α+30°)
B.2sin(2α-30°)
C.2sin(2α+60°)
D.2sin(2α-60°)
【解析】选A.sin
2α-2sin2α+1=sin
2α+cos
2α
=2
=2(sin
2αcos
30°+cos
2αsin
30°)=2sin(2α+30°).
2.由1+2cos(2x-60°)和化积为
( )
A.2cos(x-60°)cos
x
B.2sin(x-60°)sin
x
C.4cos(x-60°)cos
x
D.4cos(x-60°)sin
x
【解析】选C.由和差化积公式,得1+2cos(2x-60°)
=2
=2[cos
60°+cos(2x-60°)]=4cos
xcos(x-60°).
3.化简4sin(x+30°)cos
x=
( )
A.sin(2x+30°)+1
B.sin(2x+30°)-1
C.2sin(2x+30°)+1
D.2cos(2x+30°)+1
【解析】选C.由积化和差公式,得4sin(x+30°)cos
x
=2[sin(2x+30°)+sin
30°]=2sin(2x+30°)+1.
4.(2019·宁德高一检测)计算cos
40°+cos
60°+cos
80°+cos
160°的值为
( )
A.1
B.0
C.
D.
【解析】选D.cos
40°+cos
60°+cos
80°+cos
160°
=+cos
80°+2cos
100°cos
60°
=+cos
80°―cos
80°=.
5.函数y=cos+sin具有性质
( )
A.最大值为,图像关于对称
B.最大值为1,图像关于对称
C.最大值为,图像关于直线x=-对称
D.最大值为1,图像关于直线x=-对称
【解析】选D.y=cos+sin
=-sin
x+cos
x+sin
x
=cos
x-sin
x=cos,
所以函数的最大值为1,排除A,C,令x+=0,
求得x=-,可得函数图像关于直线x=-对称.
6.(多选题)下列关于函数f(x)=2cos(x+45°)cos(x-45°)性质的叙述正确的是
( )
A.函数为偶函数
B.函数为奇函数
C.函数的最大值为2
D.最小正周期为π
【解析】选AD.函数f(x)=2cos(x+45°)cos(x-45°)
=cos[(x+45°)+(x-45°)]+cos[(x+45°)-(x-45°)]
=cos
2x.所以函数为偶函数,且函数的最大值为1,最小正周期为π.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.若cos
xcos
y+sin
xsin
y=,sin
2x+sin
2y=,则sin(x+y)= .?
【解析】cos(x-y)=,sin
2x+sin
2y
=2sin(x+y)cos(x-y)=,故sin(x+y)=.
答案:
8.下列等式正确的是 .(填所有正确等式的序号)?
①2sin
50°cos
10°=sin
60°+sin
40°
②2cos
45°sin
15°=sin
60°―sin
30°
③2cos
50°cos
10°=cos
60°+cos
40°
④2sin
45°sin
15°=cos
60°―cos
30°
【解析】由和差化积公式,逐个验证可知:①②③正确.
答案:①②③
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.计算:tan-4sin.
【解析】方法一:tan
20°-4sin
200°=tan
20°+4sin
20°
==
=
=
==.(构造特殊角,即两角和的一半与两角差的一半)
方法二:tan
20°-4sin
200°=tan
20°+4sin
20°
==
==
==.(和差化积公式)
10.(2020·金华高二检测)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin
xcos
x(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
【解析】(1)f(x)=sin2x-cos2x-2sin
xcos
x
=-cos
2x-sin
2x=-2sin,
则f=-2sin=2,
(2)由(1)可知f(x)=-2sin,
所以f(x)的最小正周期是π.
由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
【补偿训练】
已知函数f(x)=sin
2x-2sin2x.
(1)若点P(1,-)在角α的终边上,求f(α)的值.
(2)若x∈,求f(x)的值域.
【解析】(1)因为点P(1,-)在角α的终边上,
所以sin
α=-,cos
α=.
所以f(α)=sin
2α-2sin
2α=2sin
αcos
α-
2sin
2α=2××-2×
=-3.
(2)f(x)=sin
2x-2sin2x
=sin
2x+cos
2x-1
=2sin-1,
因为x∈,所以-≤2x+≤,
所以-≤sin≤1.
所以f(x)的值域为[-2,1].
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.计算sin
105°cos
75°的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选B.方法一:倍角公式
sin
105°cos
75°=cos
15°sin
15°=sin
30°=.
方法二:积化和差公式
sin
105°cos
75°=(sin
180°+sin
30°)=.
2.已知sin=,则cos2的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为sin=,
则cos2=cos2
=sin2=.
3.函数f(x)=cos+cos的最大值为
( )
A.-
B.1
C.
D.2
【解析】选C.方法一:由和差化积公式,得函数
f(x)=cos+cos
=2coscos
=cos.
所以函数的最大值为.
方法二:由辅助角公式,得函数
f(x)=cos+cos
=sin+cos
=sin
=sin
=-sin
所以函数的最大值为.
【补偿训练】
函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A. B. C.1 D.
【解析】选D.函数f(x)
=sin+cos
=sin+sin
=sin.
因为y=sin的最大值为1,
所以函数f(x)的最大值为.
4.(多选题)下列关于函数f(x)=2coscos
x的说法正确的为
( )
A.最小正周期为π
B.最大值为2,最小值为-2
C.函数图像关于直线x=-对称
D.函数图像关于点对称
【解析】选ACD.由积化和差公式,
得2coscos
x
=cos+cos=cos+.
所以函数的最小正周期为π,最大值为,最小值为-.
由2x+=kπ?x=-,k∈Z,
所以函数图像关于直线x=-对称,
由2x+=kπ+?x=+,k∈Z,
所以函数图像关于点对称.
二、填空题(每小题4分,共16分)
5.设当x=θ时,函数f(x)=sin
x-2cos
x取得最大值,则cos
θ= .?
【解析】f(x)=sin
x-2cos
x
==sin(x-φ),
其中sin
φ=,cos
φ=,
当x-φ=2kπ+(k∈Z)时函数f(x)取到最大值,
即θ=2kπ++φ时函数f(x)取到最大值,
所以cos
θ=-sin
φ=-.
答案:-
6.计算= .?
【解析】
=
==
====2-.
答案:2-
7.求值:cos+cos+cos= .?
【解析】cos+cos+cos
=
=
=
==-
答案:-
8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(如图所示,CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接.试问水深、芦苇的长度各是多少.假设θ=∠BAC,现有下述四个结论:
①水深为12尺;②芦苇长为15尺;③tan=;
④tan=-.
其中所有正确结论的编号是 .?
【解析】设BC=x尺,则AC=(x+1)尺,因为AB=5,
所以52+x2=(x+1)2,所以x=12.
即水深为12尺,芦苇长为13尺;
所以tan
θ==,由tan
θ=,
解得tan=(负根舍去).
因为tan
θ=,所以tan==-.
答案:①③④
【补偿训练】
已知函数f(x)=(1+tan
x)cos
x,则函数f(x)图像的一条对称轴是直线 .?
【解析】f(x)=(1+tan
x)·cos
x
=·cos
x
=cos
x+sin
x=2sin.
由x+=kπ+得x=kπ+(k∈Z)都为函数f(x)图像的对称轴方程.
答案:x=(只要符合x=kπ+,k∈Z都正确,不唯一)
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈(0,π).若f=-,α∈,求sin的值.
【解题指南】借助诱导公式解决奇函数的问题,
f=0的条件直接代入即可.先化简解析式,再代入已知条件.
【解析】因为y=(a+2cos2x)是偶函数,
所以g(x)=cos(2x+θ)为奇函数,而θ∈(0,π),故θ=,
所以f(x)=-(a+2cos2x)sin
2x,代入得a=-1.
所以a=-1,θ=.
f(x)=-(-1+2cos2x)sin
2x=-cos
2xsin
2x
=-sin
4x,
因为f=-,
所以f=-sin
α=-,故sin
α=,
又α∈,所以cos
α=-,
sin=×+=.
10.(12分)计算:tan
10°+.
【解析】tan
10°+=+
=+=
==
===.
【补偿训练】
已知cos
α-cos
β=,sin
α-sin
β=-,求sin(α+β)的值.
【解题指南】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.
【解析】因为cos
α-cos
β=
所以-2sinsin=①
又因为sin
α-sin
β=-,
所以2cossin=-.②
因为sin≠0,
所以由,得-tan=-,
即tan=.
所以sin(α+β)=
===.
11.(14分)已知函数f(x)=cos2-sin
cos
-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.
(2)若f(α)=,求sin
2α的值.
【解题指南】(1)先利用二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)=Acos(ωx+φ)形式,再求解.
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值.
【解析】(1)由已知f(x)=cos2-sin
cos
-=(1+cos
x)-sin
x-=cos.
所以函数f(x)的最小正周期为2π,
值域为.
(2)由(1)知,f(α)=cos=,
所以cos=.
所以cos
α-sin
α=,平方得1-sin
2α=.
所以sin
2α=.
PAGE课时素养检测二十 三角恒等变换的应用(一)
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.已知sin
2α=,则cos2=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由倍角公式可得,cos2====.
2.已知α∈(π,2π),则化简等于
( )
A.sin
B.cos
C.-sin
D.-cos
【解析】选D.因为α∈(π,2π)所以∈,cos<0,
所以===-cos.
3.设α∈,则=
( )
A.cos
α
B.-cos
α
C.cos
2α
D.-cos
2α
【解析】选B.因为α∈,所以cos
α<0,
则===|cos
α|
=-cos
α.
4.已知θ∈,则=
( )
A.-1
B.
C.1
D.2
【解析】选A.=
=.
因为θ∈,所以∈,
所以cos
>sin
.
所以原式==-1.
5.下列各式与tan
α相等的是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.==
=|tan
α|,A错;
==tan,B错;
==,C错;
==tan
α,D对.
6.(多选题)若函数f(x)=(x∈R),则关于f(x)的下列叙述正确的是
( )
A.最大值为1
B.最小值为0
C.偶函数
D.最小正周期为π
【解析】选BCD.函数f(x)==|cos
x|.
所以函数的最大值为,最小值为0,是最小正周期为π的偶函数.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.计算sin4= .?
【解析】sin4==
==.
答案:
8.若α∈,化简:= .?
【解析】因为α∈,所以∈,
所以cos
α<0,sin>0,
所以=|cos
α|=-cos
α.
所以==sin.
答案:sin
【补偿训练】
已知cos
θ=-,θ∈(π,2π),则sin
+cos
= .?
【解析】因为cos
θ=-,θ∈(π,2π),
所以θ为第三象限角,
所以sin
θ=-=-,
所以∈,
所以sin
+cos
>0.
再根据=1+sin
θ=,
可得sin
+cos
=.
答案:
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.设π<θ<2π,cos
=-.求:
(1)sin
θ的值.(2)cos
θ的值.(3)sin2的值.
【解析】
(1)因为π<θ<2π,所以<<π,又cos
=-,
所以sin
===,
所以sin
θ=2sin
cos
=2××=-.
(2)cos
θ=2cos2-1=2×-1=-.
(3)sin2===.
10.已知sin
α=,sin(α+β)=,α,β均为锐角,求cos的值.
【解析】因为0<α<,sin
α=,
所以cos
α==.
又因为0<α<,0<β<,
所以0<α+β<π.
若0<α+β<,
因为>,即sin
α>sin(α+β),
所以不可能α+β<α.所以<α+β<π.
又因为sin(α+β)=,
所以cos(α+β)=-.
所以cos
β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α
=-×+×=.
而0<β<,0<<,
所以cos==.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.若角α的终边过点(-1,2),则tan
的值为
( )
A.
B.
C.或
D.或
【解析】选A.因为角α的终边过点(-1,2),
所以cos
α==-,sin
α==,
所以tan
===.
2.若cos
α=-,α是第三象限的角,则=
( )
A.-
B.
C.2
D.-2
【解析】选A.因为α是第三象限角,cos
α=-,
所以sin
α=-,=
====-.
3.设0<θ<,且sin=,则tan
θ等于
( )
A.x
B.
C.
D.
【解析】选D.因为0<θ<,sin=,
所以cos==.
所以tan==,
tan
θ===·(x+1)=.
4.(多选题)下列叙述正确的是
( )
A.对于任意α,sin
α=
B.当α为第一象限角时,sin
α=
C.当α为第二象限角时,sin
α=
D.若sin
α=,则α为第一或第二象限角
【解析】选BC.由cos
2α=1-2sin2α,
得sin2α=,
两边开平方,得|sin
α|=,
所以sin
α=±,
当α为第一或第二象限角或α的终边在y轴非负半轴或x轴上时,
sin
α=;
当α为第三或第四象限角或α的终边在y轴非正半轴或x轴上时,
sin
α=―.
二、填空题(每小题4分,共16分)
5.设α是第二象限角,且cos=-,则是第 象限角.?
【解析】2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),所以kπ+<
所以为第一、三象限角,
又-=-=-=cos
,
所以cos
<0,即为第三象限角.
答案:三
6.已知sin=,则cos= .?
【解析】由二倍角公式知:cos=1-
2sin2=1-=,
又+=π,
所以cos=cos=
-cos=-.
答案:-
7.化简= .?
【解析】原式=
==tan
.
答案:tan
8.函数f(x)=的最小正周期为 ,最大值为 .?
【解析】函数f(x)==
=|sin
x-cos
x|=,
由于f(x+π)==,
所以函数的最小正周期为π,最大值为.
答案:π
【补偿训练】
若cos
α=,sin(α-β)=,0<β<α<,则sin
= .?
【解析】因为0<β<α<,所以0<α-β<,
所以cos(α-β)=,
又cos
α=,所以sin
α=,
所以cos
2α=cos2α-sin2α=-,sin
2α=,
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos
2αcos(α-β)+sin
2αsin(α-β)
=-×+×=.
所以sin
==.
答案:
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知sin
α=-,且π<α<,求sin,cos,tan的值.
【解题指南】先利用同角三角函数的基本关系计算出cos
α的值,并计算出的取值范围,然后利用半角公式计算出sin和cos的值,再利用同角三角函数的商数关系计算出tan的值.
【解析】因为sin
α=-,π<α<,
所以cos
α=-=-.
又<<,
所以sin===,
cos=-=-=-,
所以tan==-4.
10.(12分)已知0<α<,sin
α=.
(1)求的值.
(2)求tan的值.
【解析】(1)由0<α<,sin
α=,得cos
α=.
所以=
==20.
(2)因为tan
α==,
所以tan===.
11.(14分)利用公式sin
3α=3sin
α-4sin3α,cos
3α=4cos3α-3cos
α,求值:sin
18°.
【解析】因为sin54°=cos
36°,
所以sin(3×18°)=cos(2×18°),
所以由题干公式及二倍角公式得3sin
18°-4sin318°=1-2sin218°,
设t=sin
18°,则0所以3t-4t3=1-2t2,即4t3-2t2-3t+1=0,
所以(t-1)(4t2+2t-1)=0,
因为0所以4t2+2t-1=0,解得t==,
所以sin
18°=.
PAGE课时素养检测十九 倍
角
公
式
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.sin
105°cos
105°的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.sin
105°cos
105°=sin
210°
=sin(180°+30°)=-sin
30°=-.
2.若tan
α=3,则=
( )
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】选D.===2tan
α=6.
3.(2020·重庆高一检测)已知α为第二象限角,sin
α+cos
α=,则cos
2α=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.因为sin
α+cos
α=,α为第二象限角,
所以(sin
α+cos
α)2=,+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,
所以1+sin
2α=,所以sin
2α=-,cos22α=,
因为π+4kπ<2α<+4kπ,所以cos
2α=-.
4.若=,则tan
2α=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.因为=,整理得tan
α=-3,
所以tan
2α===.
5.-等于
( )
A.-2cos
5°
B.2cos
5°
C.-2sin
5°
D.2sin
5°
【解析】选C.原式=-
=(cos
50°-sin
50°)=2
=2sin(45°-50°)=-2sin
5°.
6.(多选题)下列关于函数f(x)=1-2sin2的说法正确的为
( )
A.最小正周期为π
B.最大值为1,最小值为-1
C.函数图像关于直线x=0对称
D.函数图像关于点对称
【解析】选ABD.函数f(x)=1-2sin2
=cos=sin
2x,
函数的最小正周期T=π,A正确.
最大值为1,最小值为-1,B正确.
由2x=kπ+?x=+,k∈Z,得函数图像关于直线x=+,k∈Z对称,C不正确.
由2x=kπ?x=,k∈Z,得函数图像关于点,k∈Z对称,D正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.(2020·江苏高考)已知sin2=,则sin
2α的值是 .?
【解析】方法一:因为sin2=,
由sin2==(1+sin
2α)=,解得sin
2α=.
方法二:sin
2α=-cos=2sin2-1=.
答案:
8.计算= .?
【解析】=·=tan
150°
=-tan
30°=-.
答案:-
【补偿训练】
函数f(x)=2cos2-1的最小正周期为 .?
【解析】f(x)=cos=sin
2x,故f(x)的最小正周期为π.
答案:π
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.已知<α<π,cos
α=-.
(1)求tan
α的值.
(2)求sin
2α+cos
2α的值.
【解析】(1)因为cos
α=-,<α<π,
所以sin
α=,所以tan
α==-.
(2)sin
2α=2sin
αcos
α=-.
cos
2α=2cos2α-1=,
所以sin
2α+cos
2α=-+=-.
10.已知cos=,α∈.
求:(1)cos
α-sin
α的值;
(2)cos的值.
【解题指南】(1)利用两角差的余弦公式展开条件等式,两边平方,求得sin
2α,再计算;
(2)利用两角和的余弦公式展开所求式子,整体代换计算;也可以利用二倍角的余弦公式以及两角和的余弦公式联合计算.
【解析】(1)因为cos=,α∈,
所以cos
αcos+sin
αsin=,
得cos
α+sin
α=,即cos
α+sin
α=.
两边平方,得cos2α+sin2α+2sin
αcos
α=,
得sin
αcos
α=-,解得sin
α=,cos
α=-,
或sin
α=-,cos
α=(舍去).
所以cos
α-sin
α=-.
(2)依题意,得cos=cos
αcos-sin
αsin
=×-×=-.
所以cos=2cos2-1
=2×-1=.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,其终边经过点P(-,1),则sin=( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.因为角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,其终边经过点P(-,1),则|OP|=2,得sin
θ=,
所以sin=-cos
2θ=2sin2θ-1=-.
2.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t=≈0.618还可以表示成2sin
18°,则=
( )
A.4
B.-1
C.2
D.
【解析】选D.因为t=2sin
18°,所以====.
3.在△ABC中,sin
A·sin
B=cos2,则△ABC的形状一定是
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.因为sin
A·sin
B=cos2,
所以sin
A·sin
B=,
所以2sin
A·sin
B=1+cos
C.
又A+B+C=π,
所以cos
C=-cos(A+B),
所以2sin
A·sin
B=1-cos(A+B),
2sin
A·sin
B=1-(cos
A·cos
B-sin
A·sin
B),
cos
A·cos
B+sin
A·sin
B=1,所以cos(A-B)=1.
又A-B∈(-π,π),所以A-B=0,所以A=B.
所以△ABC是等腰三角形.
4.(多选题)若函数f(x)=-sin2x+(x∈R),则f(x)是( )
A.最大值为
B.最小值为-1
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
【解析】选AD.f(x)=-+=cos
2x.
所以函数的最大值为,最小值为-,是最小正周期为π的偶函数.
二、填空题(每小题4分,共16分)
5.在△ABC中,cos
A=,则sin
2A= .?
【解析】因为0A==.
所以sin
2A=2sin
Acos
A=.
答案:
6.函数f(x)=2cos22x的最小正周期为 ,最大值为 .?
【解析】因为f(x)=2cos22x=1+cos
4x,
所以函数的最小正周期为,最大值为2.
答案: 2
7.= .?
【解析】原式=×=tan=tan
=.
答案:
8.已知sin
2α=,α∈,则cos
α-sin
α= .?
【解析】因为α∈,所以sin
α>cos
α
即cos
α-sin
α<0,又sin
2α=,
则有cos
α-sin
α=-
=-=-=-.
答案:-
三、解答题(共38分)
9.(12分)(1)已知sin=,求sin
2θ值.
(2)已知cos=,求cos值.
【解析】(1)sin
2θ=-cos
=-=2sin2-1=-.
(2)因为cos=,
所以cos=cos=,
得-sin=,即sin=,
cos=1-2sin2=.
10.(12分)(1)化简:2+.
(2)设α∈,化简:
.
【解析】(1)原式=2+=2|sin
4+cos
4|+2|cos
4|.
因为4∈,所以sin
4<0,cos
4<0.
故原式=-2(sin
4+cos
4)-2cos
4
=-2sin
4-4cos
4=-2(sin
4+2cos
4).
(2)因为α∈,所以cos
α>0,cos<0.
故原式===
==-cos
.
11.(14分)已知α为锐角,且cos=,
求sin的值.
【解题指南】注意到2α+=2-,
故把2作为一个整体,先由cos=,依据二倍角公式求出2的正、余弦值,再据两角差的正弦公式求出sin的值.
【解析】因为cos=,且α为锐角,
所以sin==.
所以sin
2=2sincos=;
cos
2=2cos2-1=.
所以sin=sin
=sin
2cos-cos
2sin
=×-×=.
【总结】本题若将cos=依据两角和的余弦公式展开,然后结合cos2α+sin2α=1,解出α的正、余弦值,其次求2α与的正、余弦,最后依据两角和的正弦公式也可以求sin的值,但由于没有应用整体化归的思想,则解题过程较为繁琐,故不高效.所以解决此类问题的策略,就是将所求的三角函数值化归成题设条件中“整角”的倍角的三角函数值解决.
PAGE课时素养检测十八 两角和与差的正弦、正切
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.计算sin
8°cos
38°-sin
82°sin
38°等于
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.逆用两角差的正弦公式,
得sin
8°cos
38°-sin
82°sin
38°
=sin
8°cos
38°-cos
8°sin
38°
=sin(8°-38°)=sin(-30°)=-sin
30°=-.
2.sincos+cossin=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.逆用两角和的正弦公式,
得sincos+cossin
=sin=sin=sin=.
3.=
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.=tan(82°-22°)
=tan
60°=.
4.已知cos=2cos(π-α),则tan=( )
A.-4
B.4
C.-
D.
【解析】选C.因为cos=2cos(π-α),
所以-sin
α=-2cos
α,所以tan
α==2,
所以tan==-.
5.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan
A,tan
B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是( )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
【解析】选A.因为tan
A,tan
B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,
则tan
A+tan
B=,tan
Atan
B=,
所以tan(A+B)==,所以0所以△ABC是钝角三角形.
【补偿训练】
在△ABC中,∠C=120°,tan
A+tan
B=,则tan
Atan
B的值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为∠C=120°,所以∠A+∠B=60°,
所以tan(A+B)==,
所以tan
A+tan
B=(1-tan
Atan
B)=,
解得tan
Atan
B=.
6.(多选题)下列叙述正确的为
( )
A.对于任意θ∈R,总有sin=cos
θ
B.存在α、β,满足sin(α―β)=sin
α―sin
β
C.不存在α、β,满足sin(α+β)=sin
α+sin
β
D.对任意α、β,sin(α+β)=sin
α+sin
β
【解析】选AB.sin=sincos
θ+cossin
θ=cos
θ,A正确.
存在α=π、β=π,满足sin(α―β)
=sin
α―sin
β,B正确.存在α=0、β=,
满足sin(α+β)=sin
α+sin
β,C不正确.
对任意α、β,sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β,D不正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.若点P(cos
α,sin
α)在直线y=-2x上,则tan= .?
【解析】由题意得tan
α=-2,
所以tan===-.
答案:-
8.已知α、β均为锐角,且tan
β=,则tan(α+β)= .?
【解析】已知α、β均为锐角,且tan
β=,
则tan
β=,得tan
α+tan
β=1-tan
αtan
β,
tan(α+β)==1.
答案:1
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.求下列各式的值:
(1)sin
245°sin
125°+sin
155°sin
35°;
(2)(1-tan
59°)(1-tan
76°).
【解析】(1)sin
245°sin
125°+sin
155°sin
35°
=-sin
65°cos
35°+cos
65°sin
35°
=sin(35°-65°)=sin(-30°)=-.
(2)因为tan
135°=tan(59°+76°)=,
所以tan
59°+tan
76°=-(1-tan
59°tan
76°),
所以(1-tan
59°)(1-tan
76°)
=1-(tan
59°+tan
76°)+tan
59°tan
76°
=1+1-tan
59°tan
76°+tan
59°tan
76°=2.
【补偿训练】
已知sin
α=-,α是第四象限角,分别求sin,cos,tan的值.
【解析】因为sin
α=-,α是第四象限角,
得cos
α===,
tan
α===-,
于是有sin=sincos
α-cossin
α
=×-×=.
cos=coscos
α-sinsin
α
=×-×=.
tan=
==-7.
10.已知sin=,cos=,
且0<α<<β<,求cos(α+β).
【解析】由sin=,cos=,
且0<α<<β<,
得<α+<π,-<-β<0,
所以cos=-=-,
sin=-=-,
所以cos(α+β)=sin
=sin
=sincos-cossin
=×-×=-.
【补偿训练】
如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值.
(2)求α+2β的值.
【解题指南】解答本题可先由任意角三角函数定义求cos
α,cos
β,再求sin
α,sin
β,从而求出tan
α,tan
β,然后利用公式Tα+β求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+β)+β求tan(α+2β)得到α+2β的值.
【解析】(1)由三角函数的定义可知cos
α=,
cos
β=;
所以sin
α=,sin
β=,
所以tan
α=7,tan
β=,
于是tan(α+β)==-3.
(2)tan(α+2β)=tan
[(α+β)+β]
===-1.
又0<α<,0<β<,所以0<α+2β<,由tan(α+2β)=-1,得α+2β=.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.计算cos
58°sin
32°+sin
58°sin
122°的值为
( )
A.1
B.―1
C.0
B.―
【解析】选A.方法一:cos
58°sin
32°+sin
58°sin
122°
=cos
58°cos
58°+sin
58°sin(180°―58°)
=cos
58°cos
58°+sin
58°sin
58°=cos(58°-58°)
=cos
0°=1.
方法二:原式=cos258°+sin258°=1.
2.已知角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,其终边经过点P(-,1),则sin=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,其终边经过点P(-,1),则|OP|=2,得sin
θ=,cos
θ=-,所以sin
=sin
θcos-cos
θsin=sin
θ-cos
θ
=+=.
3.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin
θ+sin=1,
则sin=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意可得:sin
θ+sin
θ+cos
θ=1,
则sin
θ+cos
θ=1,sin
θ+cos
θ=,
从而有:sin
θcos+cos
θsin=,即sin=.
4.在三角形ABC中,三个内角分别是A,B,C,若sin
C=2cos
Asin
B,则三角形ABC一定是
( )
A.直角三角形
B.正三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.在三角形ABC中,A+B+C=π,
由sin
C=2cos
Asin
B,
得sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=2cos
Asin
B,
得sin
Acos
B+cos
Asin
B=2cos
Asin
B,
所以sin
Acos
B-cos
Asin
B=0,
sin(A-B)=0,得A-B=0,即A=B,
则三角形ABC一定是等腰三角形.
二、填空题(每小题4分,共16分)
5.计算cos
89°cos
31°-cos
1°cos
59°= .?
【解析】cos
89°cos
31°-cos
1°cos
59°
=sin
1°cos
31°-cos
1°sin
31°
=sin(1°-31°)=sin(-30°)=―.
答案:―
6.已知tan=2,则的值为 .?
【解析】因为tan=2,
所以=2,解得tan
α=.
所以=
===.
答案:
7.已知tan=-3,则tan= .?
【解析】tan=tan
==-.
答案:-
【补偿训练】
计算的值是 .?
【解析】因为sin
68°=sin
60°cos
8°+cos
60°sin
8°,
cos
68°=cos
60°cos
8°-sin
60°sin
8°,
所以=
=tan
60°=.
答案:
8.关于函数f(x)=sin
x+cos
x,有下述三个结论:
①f(x)是偶函数;
②f(x)在上单调递增;
③当x=θ时,函数f(x)取得最大值,则cos
θ=.
其中,所有正确结论的编号是 .?
【解析】函数f(x)=sin
x+cos
x
=2
=2
=2sin,显然,f(x)不是偶函数,①不正确;
由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,所以f(x)在上单调递增,从而f(x)在上单调递增,
②正确;
函数f(x)的最大值为2,此时x+=+2kπ,x=+2kπ,k∈Z,x=θ,所以cos
θ=,③正确.
答案:②③
三、解答题(共38分)
9.(12分)求值:(tan
10°-).
【解析】原式=(tan
10°-tan
60°)=
=·=-2.
10.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan
∠APD的值.
【解析】由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=a.
设∠APB=α,∠DPC=β,则tan
α==,tan
β==,
所以tan(α+β)==-18,又∠APD+α
+β=π,
所以tan
∠APD=18.
11.(14分)已知tan
(α-β)=,tan
β=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
【解析】因为tan
(α-β)=,tan
β=-,
所以tan
α=tan
[(α-β)+β]===<1.
因为α∈(0,π),所以0<α<,0<2α<.
又tan
β=-<0,β∈(0,π),
所以<β<π,所以-π<2α-β<0.
又tan
(2α-β)=tan
[(α-β)+α]
===1,
所以2α-β=-.
PAGE课时素养检测十七 两角和与差的余弦
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.计算cos
8°cos
38°+sin
8°sin
38°等于
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.逆用两角差的余弦公式,得cos
8°cos
38°+sin
8°sin
38°=cos(8°-38°)=cos(-30°)=cos
30°=.
2.式子coscos-sinsin的值为
( )
A.
B.0
C.1
D.-1
【解析】选D.根据题意,coscos-sinsin=cos(+)=cos
π=-1.
3.sin
40°sin
10°+cos
40°sin
80°=
( )
A.
B.-
C.cos
50°
D.
【解析】选D.原式=sin
40°sin
10°+cos
40°cos
10°
=cos(40°-10°)=cos
30°=.
4.已知sin
α=,α是第二象限角,则cos(α-60°)为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为sin
α=,α是第二象限角,
所以cos
α=-,故cos(α-60°)=cos
αcos
60°+
sin
αsin
60°=×+×=.
5.已知cos=,0<θ<,则cos
θ等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为θ∈,
所以θ+∈,所以sin
=.
故cos
θ=cos
=coscos
+sinsin
=×+×=.
6.(多选题)下列关于函数f(x)=cos·cos(―x)―sinsin
x的性质叙述中正确的是
( )
A.最小正周期为π
B.函数图像关于直线x=对称
C.函数图像关于直线x=―对称
D.函数图像关于点对称
【解析】选ABC.函数f(x)
=coscos(―x)―sin
sin
x=coscos(―x)+sinsin
(―x)
=cos=cos,
所以函数的最小正周期是π,由2x+=kπ,k∈Z,得x=―,k∈Z,所以函数图像关于直线x=―,k∈Z,对称,故选项B,C都正确.
由2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以函数图像关于点对称,其中,k∈Z,故选项D不正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.计算cos(α+120°)cos
α―sin(α+120°)sin
(―α)= .?
【解析】方法一:cos(α+120°)cos
α―sin(α+120°)sin(―α)
=cos(α+120°)cos(―α)―sin(α+120°)sin(―α)
=cos[(α+120°)+(-α)]=cos
120°=-.
方法二:cos(α+120°)cos
α―sin(α+120°)sin(―α)
=cos(α+120°)cos
α+sin(α+120°)sin
α
=cos[(α+120°)―α]=cos
120°=―.
答案:―
8.已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),若a与b的夹角为,则cos(α-β)= .?
【解析】因为a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),
所以==1,又因为a与b的夹角为,
所以a·b=cos
=1×1×=.
又a·b=(cos
α,sin
α)·(cos
β,sin
β)
=cos
αcos
β+sin
αsin
β=cos(α-β),
所以cos(α-β)=.
答案:
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,求cos
α的值.
【解析】因为α,β为锐角,所以0<α+β<π.
又因为cos(α+β)=>0,
所以0<α+β<,
又因为cos(2α+β)=,所以0<2α+β<,
所以sin(α+β)=,sin(2α+β)=,
所以cos
α=cos
[(2α+β)-(α+β)]
=cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β)
=×+×=.
10.已知sin
α+sin
β=,cos
α+cos
β=,0<α<β<π,求α-β的值.
【解析】因为(sin
α+sin
β)2=,(cos
α+cos
β)2=,以上两式展开两边分别相加得2+2cos(α-β)=1.
所以cos(α-β)=-.因为0<α<β<π,
所以-π<α-β<0,所以α-β=-.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.计算cos
28°sin
62°+sin
28°sin
152°等于
( )
A.1
B.―1
C.0
B.―
【解析】选A.cos
28°sin
62°+sin
28°sin
152°
=cos
28°cos
28°+sin
28°sin(180°―28°)
=cos
28°cos
28°+sin
28°sin
28°
=cos
(28°―28°)=cos
0°=1.
2.满足cos
αcos
β=-sin
αsin
β的一组α,β的值是
( )
A.α=π,β=π
B.α=,β=
C.α=,β=
D.α=,β=
【解析】选B.由条件cos
αcos
β=-sin
αsin
β
得cos
αcos
β+sin
αsin
β=,即cos(α-β)=,
α=,β=满足题意.
【补偿训练】
若sin
αsin
β=1,则cos(α-β)的值为
( )
A.0 B.1 C.±1 D.-1
【解析】选B.因为sin
αsin
β=1,-1≤sin
α≤1,-1≤sin
β≤1,
所以或者
解得
于是cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=1.
3.已知tan
α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,则β的值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为tan
α==4,sin2α+cos2α=1,α为锐角,
所以sin
α=,cos
α=,
因为cos(α+β)=-,且α,β均为锐角,
所以sin(α+β)==,
所以cos
β=cos
[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α
=-×+×=,
又因为β为锐角,则β=.
4.(多选题)若α,β为两个锐角,则下列大小关系正确的是
( )
A.cos(α+β)α+cos
β
B.cos(α+β)>cos
α+cos
β
C.cos(α-β)>cos
αcos
β
D.cos(α-β)αsin
β
【解析】选AC.方法一:不妨取α=,β=,
则cos(α+β)=cos=cos=0,
cos
α+cos
β=+,
所以cos(α+β)α+cos
β,A正确,B不正确.
cos(α-β)=cos=cos=,
cos
αcos
β=coscos=,sin
αsin
β
=sin
sin
=,
所以cos(α-β)>cos
αcos
β,cos(α-β)>sin
αsin
β
所以C正确,D错误.
方法二:作差得cos-(cos
α+cos
β)
=cos
αcos
β-sin
αsin
β-cos
α-cos
β
=cos
α(cos
β-1)-sin
αsin
β-cos
β,
因为α,β是锐角,
所以cos
β-1<0,cos
α(cos
β-1)<0,
-sin
αsin
β<0,-cos
β<0,
故cos[α-(-β)]-(cos
α+cos
β)<0,
即cos(α+β)α+cos
β,A正确,B错误.
因为cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β,
α,β均为锐角,所以cos
αcos
β>0,sin
αsin
β>0,
所以cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β>cos
αcos
β,
同理cos(α-β)>sin
αsin
β,故C正确,D错误.
二、填空题(每小题4分,共16分)
5.计算cos
1°cos
361°+sin
1°sin
361°= .?
【解析】由两角差的余弦公式,得cos
1°cos
361°+
sin
1°sin
361°=cos(1°-361°)=cos(-360°)=1.
答案:1
6.已知sin
α=-,α∈,cos
β=-,β∈,则cos(α-β)= .?
【解析】因为sin
α=-,α∈,
所以cos
α=-=-,
又cos
β=-,β∈,
所以sin
β==,
所以cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β
=-×+×=.
答案:
7.已知cos=,则cos
α+sin
α的值为 .?
【解析】因为cos=coscos
α+sinsin
α=cos
α+sin
α=,所以cos
α+sin
α=.
答案:
8.已知△ABC中,sin
A=,cos
B=-,则cos(A-B)= .?
【解析】因为cos
B=-,且0所以sin
B===,
且0A===,
所以cos(A-B)=cos
Acos
B+sin
Asin
B
=×+×=-.
答案:-
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知cos(α-β)=-,sin(α+β)=-,<α-β<π,<α+β<2π,
求β的值.
【解析】因为<α-β<π,cos(α-β)=-,
所以sin(α-β)=.
因为π<α+β<2π,sin(α+β)=-,
所以cos(α+β)=.
所以cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+×=-1.
因为<α-β<π,π<α+β<2π,
所以<2β<,2β=π,所以β=.
10.(12分)已知cos
α+cos
β=,sin
α+sin
β=,计算cos(α-β)的值.
【解析】由cos
α+cos
β=?(cos
α+cos
β)2=,
即cos2α+2cos
αcos
β+cos2β=,
①
由sin
α+sin
β=?(sin
α+sin
β)2=,
即sin2α+2sin
αsin
β+sin2β=,
②
所以①+②可得2+2(cos
αcos
β+sin
αsin
β)=,
即2cos(α-β)=-,即cos(α-β)=-.
11.(14分)(1)把向量=绕原点顺时针方向旋转角α,
得到向量=,用x,y及角α的三角函数表示x'.
(2)利用(1)的结论解答下面的问题:
如图点B(2,0),半圆上动点A,求等边三角形ABC(逆时针方向排列)的顶点C的横坐标的取值范围.
【解析】(1)设的模为r,在角θ的终边上,
则x=rcos
θ,y=rsin
θ,由题意可得在角θ-α的终边上,且的模也是r,
由三角函数的定义可得x'=rcos=rcos
θcos
α+rsin
θsin
α
=xcos
α+ysin
α.
即x'=xcos
α+ysin
α.
(2)设点C,因为动点A在半圆上,
所以设点A,0°≤θ≤180°,
则向量的坐标为,
向量的坐标为,由已知可得向量绕点B顺时针方向旋转60°得到向量,
所以由(1)的结论得x1-2=cos
60°+sin
θsin
60°
=cos
θ+sin
θ-1=cos-1,
所以x1=1+cos,
因为0°≤θ≤180°,
所以-60°≤θ-60°≤120°,
所以-≤cos≤1,所以x1∈.
PAGE课时素养检测十六 向量数量积的坐标运算
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x等于( )
A.1
B.
C.-
D.-1
【解析】选A.由向量a=(1,-1),b=(2,x),a·b=1,
得a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1?x=1.
2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上投影的数量是
( )
A.-3
B.-
C.3
D.
【解析】选A.依题意得,=(-2,-1),=(5,5),·=(-2,-1)·(5,5)=-15,||=,
因此向量在方向上投影的数量是==-3.
3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,
则·的取值范围是
( )
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,
由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,
所以-14.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a·b等于
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.由向量a=(-1,2),b=(m,1)
得a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),
由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,
所以a·b=-1×+2×1=.
5.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),
又(c+a)∥b,所以2(y+2)+3(x+1)=0.
①
又c⊥(a+b),所以(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.
②
联立①②解得x=-,y=-.
所以c=.
6.(多选题)已知点A(1,2),B(7,0),C(3,-2),则下列关于△ABC的结论正确的是
( )
A.是直角三角形
B.是锐角三角形
C.是等腰三角形
D.三角形面积为10
【解析】选ACD.由点A(1,2),B(7,0),C(3,-2),
得=(2,-4),=(-4,-2),
所以·=0,得⊥,且||=||
=2,S△ABC=||2=10.
所以△ABC是等腰直角三角形.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.(2020·六盘山高一检测)已知向量=(m,1),=(1,4),若·>11,则m的取值范围为 .?
【解析】·=m+4>11,解得m>7.
答案:(7,+∞)
8.已知矩形ABCD的中心为O,AD=2,若·=8,则∠AOB= ,
向量与的夹角为 .?
【解题指南】先计算AB的长,再建立平面直角坐标系,转化为向量的坐标公式计算.
【解析】因为矩形ABCD的中心为O,AD=2,
得·=0,由·=8,
得(+)·(+)=8,
所以·+-+·=-4=8,
即=12,||=2.
如图,以O为原点,建立平面直角坐标系,
则A(-,-1),B(,-1),C(,1),D(-,1),
得=(2,0),=(2,2),
=(-,-1),=(,-1),=(0,2),
=(-,-1),
得·=12,||=2,||=4,
所以cos∠BAC===,
因为0<∠BAC<π,
所以∠BAC=,所以∠AOB=π.
因为cos<,>===-,
且0<<,><π,
所以向量与的夹角为.
答案:
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
【解析】(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),
则+=(2,6),-=(4,4),
所以|+|=2,|-|=4.
故两条对角线的长分别为2,4.
(2)由题设知=(-2,-1),-=(3+2t,5+t).
由(-)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
从而5t=-11,故t=-.
10.(2019·孝感高一检测)设a=(1,2),b=(m,6)(m<0),a与b的夹角为.
(1)求b.(2)若c与b同向,a-c与a垂直,求|c|.
【解析】(1)因为a=(1,2),b=(m,6),=,
所以cos=cos=,
所以=,
所以·=2(m+12),
所以10(m2+36)=4(m+12)2,
所以m2-16m-36=0,
所以(m-18)(m+2)=0,
所以m=-2或m=18(舍)(m<0),
所以b=(-2,6).
(2)因为c与b同向,所以可设c=λb=(-2λ,6λ)(λ>0),
所以a-c=(1+2λ,2-6λ),因为(a-c)⊥a,
所以(a-c)·a=0,所以1+2λ+4-12λ=0,
所以λ=,所以c=(-1,3),所以|c|=.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.已知向量a=(1,2),b=(-2,-3),则(a+b)·(b-a)=
( )
A.8
B.18
C.-8
D.-18
【解析】选A.方法一:因为a=(1,2),b=(-2,-3),
则(a+b)·(b-a)=b2-a2=13-5=8.
方法二:因为a=(1,2),b=(-2,-3),
则a+b=(-1,-1),b-a=(-3,-5),
所以(a+b)·(b-a)=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8.
2.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于
( )
A.
B.
C.2
D.10
【解析】选B.因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),
由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,所以x=2.
由b∥c,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2.
所以a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),
所以|a+b|==.
3.(多选题)已知向量a=(3,4),b=(-4,-3),则下列说法正确的是
( )
A.a与b的夹角是直角
B.a与b的夹角是平角
C.a+b与a-b的夹角是直角
D.a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量
【解析】选CD.由向量a=(3,4),b=(-4,-3),得a·b=-24<0,
所以a与b的夹角是钝角.
(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,
所以a+b与a-b的夹角是直角.
a在b上投影的数量
为|a|cos==-,
b在a上投影的数量为|b|cos==-.
4.函数y=tan的部分图像如图所示,则(+)·=
( )
A.-6
B.-4
C.4
D.6
【解析】选D.由y=tan的图像可知A(2,0),B(3,1),
所以+=(5,1),=(1,1),
所以·=6.
【补偿训练】
已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于
( )
A.13 B.15 C.19 D.21
【解析】选A.如图,以点A为原点,,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
则A(0,0),B,C(0,t),
所以=(1,0),=(0,1),
所以=+=(1,0)+4(0,1)=(1,4),
所以点P的坐标为(1,4),
=,=(-1,t-4),
所以·=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.
当且仅当=4t,即t=时取“=”,
所以·的最大值为13.
二、填空题(每小题4分,共16分)
5.已知向量a=(1,-),b=(-,1),则a与b夹角的大小为 .?
【解析】因为向量a=(1,-),b=(-,1),
所以a与b夹角θ满足cos
θ==-=-,
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
答案:
6.已知平面向量a,b的夹角为60°,a=(2,0),|a+2b|=2,则|b|= .?
【解析】因为a=(2,0),所以|a|=2,
把|a+2b|=2两边平方可得a2+4a·b+4b2=12,
即|a|2+4|a|·|b|cos+4|b|2=12,
代入数据可得22+4×2|b|×+4|b|2=12,
整理可得|b|2+|b|-2=0,解得|b|=1.
答案:1
7.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是 .?
【解析】方法一:以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
设B(-a,0),C(a,0),A(b,c),则E,
F,=(b+a,c),=(b-a,c),
=,=,
=,=,
由·=b2-a2+c2=4,·=-a2+=-1,
解得b2+c2=,a2=,
则·=(b2+c2)-a2=.
方法二:设=a,=b,
则·=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,
·=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,
解得|a|2=,|b|2=,则·=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=.
答案:
【补偿训练】
在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为 .?
【解析】方法一:取,为一组基底,
则=-=-,=++=-++=-+,
所以·=·
=||2-·+||2
=×4-×2×1×+=.
方法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的坐标系.
由于AB=2,BC=1,∠ABC=60°,
所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为,
所以A(0,0),B(2,0),D,C,
所以=,=(1,0),
又因为=,=,
所以E,F,
因此·=·=×+×=+=.
答案:
8.设平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1)(λ∈R),则|a|= .若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是 .?
【解析】由题意得|a|==.
因为a与b的夹角为钝角,
所以a·b=-2λ-1<0,解得λ>-.又当λ=2时,向量a=(-2,1),b=(2,-1)共线反向,满足a·b<0,但此时向量的夹角不是钝角,故λ=2不合题意.
综上λ的取值范围是∪(2,+∞).
答案: ∪(2,+∞)
三、解答题(共38分)
9.(12分)求与向量a=(,-1)和b=(1,)夹角相等,且模为的向量c的坐标.
【解析】方法一:代数法
设c=(x,y),由|c|=,得x2+y2=2,
又|a|=|b|=2,向量c=(x,y)与向量a=(,-1)和b=(1,)夹角相等,
得=,
即y=(2-)x,代入x2+y2=2,整理得x2=,解得x1=,x2=-,
故y1=,y2=-,
所以c=或c=.
方法二:几何法
因为|a|=|b|=2,a·b=0,
所以△AOB为等腰直角三角形,如图,
因为||=,∠AOC=∠BOC,
所以C为AB中点,所以C,
即c==.
依题意,c=也符合题意,
所以c=或c=.
10.(12分)已知平面上三点A,B,C,满足=(2,4),=(2-k,3).
(1)如果A,B,C三点不能构成三角形,求实数k满足的条件.
(2)如果A,B,C三点构成直角三角形,求实数k的值.
【解题指南】(1)由A,B,C三点共线,建立向量坐标的方程求解.
(2)讨论直角三角形的顶点位置,由向量的数量积的坐标公式求解.
【解析】(1)因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,
即∥,得4(2-k)=6,解得k=.
(2)因为=(2-k,3),所以=(k-2,-3),
所以=+=(k,1).
由于A,B,C三点构成直角三角形,
①当A是直角时,⊥,所以·=0,得2k+4=0,解得k=-2;
②当B是直角时,⊥,所以·=0,
得k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;
③当C是直角时,⊥,所以·=0,
16-2k=0,解得k=8.综上所述,实数k的值为-2,-1,3,8.
【补偿训练】
在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.
【解析】因为=(2,3),=(1,k),
所以=-=(-1,k-3).
若∠A=90°,则·=2×1+3×k=0,所以k=-;
若∠B=90°,则·=2×(-1)+3(k-3)=0,所以k=;
若∠C=90°,则·=1×(-1)+k(k-3)=0,所以k=.
故所求k的值为-或或.
11.(14分)已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb,λ∈R.
(1)λ为何值时,|c|最小?此时b与c的位置关系如何?
(2)λ为何值时,a与c的夹角最小?此时a与c的位置关系如何?
【解析】(1)由a=(1,2),b=(-3,4),得c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),
|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=5+10λ+25λ2=25+4,当λ=-时,
|c|最小,此时c=,b·c=0,所以b⊥c.
(2)设向量a与c的夹角为θ,
则cos
θ===
=,
要使向量a与c的夹角最小,则cos
θ最大,
由于θ∈[0,π],所以cos
θ的最大值为1,
此时θ=0,=1,解得λ=0,c=(1,2).
所以当λ=0时,a与c的夹角最小,此时a=c.
PAGE课时素养检测十五 向量数量积的运算律
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
( )
A.4
B.3
C.2
D.0
【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,
所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.
2.在△ABC中,∠BAC=,AB=2,AC=3,=2,则·=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选C.因为=+=+=+(-)=+,
所以·=·(-)
=×32-×22+·
=+×3×2cos=.
3.已知向量|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为向量|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,所以a·b-a2=a·b-1=2,则a·b=3,设a与b的夹角为θ,得cos
θ==,因为θ∈[0,π],所以θ=.
【补偿训练】
若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为
( )
A. B. C. D.π
【解析】选A.由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.
又因为|a|=|b|,设=θ,
即3|a|2-|a|·|b|cos
θ-2|b|2=0,
所以|b|2-|b|2cos
θ-2|b|2=0,
所以cos
θ=.又因为0≤θ≤π,所以θ=.
4.设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a上投影的数量为
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.因为单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,
得e1·e2=1×1×cos=-,
|a|===,
a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2-6+e1·e2=-,
因此b在a上投影的数量为==-.
5.已知平行四边形ABCD中,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·=
( )
A.20
B.15
C.9
D.6
【解析】选C.如图所示,由题设知,=+=+,=-,
所以·=·
=||2-||2+·-·
=×36-×16=9.
6.(多选题)对任意向量a,b,c,下列命题中真命题是( )
A.若a·b=b·c,则a=c
B.若a=b,b=c,则a=c
C.|a|―|b|<|a|+|b|
D.|a·b|≤|a||b|
【解析】选BD.若a·b=b·c,则b·(a―c)=0,
所以a=c或b⊥(a―c),故选项A不正确.
若a=b,b=c,则a=c,故选项B正确.
对于任意向量a,b,总有|a|―|b|≤|a|+|b|,
当且仅当|b|=0时,等号成立,故选项C不正确.
|a·b|=|a||b||cos|≤|a||b|,故选项D正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC中点,则||= .?
【解析】因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2)=4×=4,则||=2.
答案:2
8.已知向量||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m,n∈R),则= .?
【解题指南】利用向量的夹角公式,通过向量数量积的运算律计算,建立方程求值.
【解析】因为∠AOC=30°,
所以cos∠AOC==cos
30°=,
从而有=.
因为||=1,||=,·=0,
所以=,化简可得=,
整理得m2=9n2.因为点C在∠AOB内,
所以m>0,n>0,所以m=3n,则=3.
答案:3
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.(2020·湛江高一检测)已知|a|=1,|b|=,且向量a与b的夹角为θ.
(1)若θ=,求a·b;
(2)若a-b与a垂直,求θ.
【解析】(1)因为θ=,所以a·b=|a||b|cos
θ=1··cos=.
(2)因为a-b与a垂直,所以·a=0,
即|a|2-a·b=|a|2-|a||b|cos
θ=1-cos
θ=0,
所以cos
θ=,又0°≤θ≤180°,所以θ=45°.
10.利用向量法证明直径对的圆周角为直角.
已知:圆的直径为AB,C为圆周上异于A,B的任意一点.求证:∠ACB=90°.
【解题指南】代数证明题的基本思想是“以算代证”,
即只要计算·=0即可.
【证明】设圆心为O,连接OC,则||=||,
=(+),所以||2=||2,=(+)2,得||2=(+)2,
即(―)2=(+)2,
得+―2·
=++2·,
所以4·=0,·=0,
所以⊥,即∠ACB=90°.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.已知向量a,b均为单位向量,若两个向量的夹角是60°,则|3a-4b|=
( )
A.5
B.
C.13
D.
【解析】选B.因为单位向量a,b的夹角是60°,
所以(3a-4b)2=9|a|2-24a·b+16|b|2
=9-24cos
60°+16=13,所以|3a-4b|=.
2.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是
( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.由(+)·=||2=,
得·(+-)=0,即·(++)=0,所以2·=0,所以⊥.所以∠A=90°,又因为根据条件不能得到||=||,故△ABC为直角三角形.
3.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是
( )
A.|b|=2
B.a·b=-1
C.a⊥b
D.(4a+b)⊥
【解析】选ABD.在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2,选项A正确.
又=2a且||=2,所以|a|=1,所以a·b
=|a||b|cos
120°=-1,选项B正确,选项C错误.
(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2
=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,D正确.
4.(2019·西宁高一检测)已知向量与的夹角为θ,||=2,||=1,=t,=(1-t),t∈R,||在t=t0时取得最小值,
当0( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为向量与的夹角为θ,||=2,
||=1,所以·=2cos
θ,
=-=(1-t)-t,
得||2==(1-t)2-2t(1-t)·+
t2=(5+4cos
θ)t2-(2+4cos
θ)t+1,
所以t0=,由0<<,
且5+4cos
θ>0,
解得-θ<0,因为0≤θ≤π,所以<θ<.
二、填空题(每小题4分,共16分)
5.如图,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,
则·(-)= .?
【解析】由已知得||=,||=,
则·(-)=(+)·
=·+·=1×cos+×=-.
答案:-
6.(2019·济宁高一检测)已知向量a,b的夹角为,
且|a|=2,|b|=1,则a-b在a+b方向上投影的数量为 .?
【解析】因为向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,
则|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2×2×1·cos+1=3,所以|a+b|=,
且(a-b)·(a+b)=a2-b2=3,
所以a-b在a+b方向上投影的数量为=.
答案:
7.(2019·宁波高一检测)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为 .?
【解析】因为在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,
所以·=cos
60°=3,=+,
得·=·(λ-)
=×3+×4-×9-×3=-4?λ=.
答案:
8.已知和是平面内的两个单位向量,它们的夹角为60°,
则2-与的夹角是 .?
【解析】设2-与的夹角为θ,则cos
θ=,又与是平面内的两个单位向量,则||=1,||=1,
则(2-)·=-(2-)·
=-2·+=-2||·||cos
60°+=0,所以cos
θ
=0,又0°≤θ≤180°,所以θ=90°.
答案:90°
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求:
(1)a·b;
(2)(a+b)·(a-b);
(3)(2a-b)·(a+3b).
【解析】(1)a·b=|a|·|b|cos
120°=2×3×=-3.
(2)(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2
=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34.
10.设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=.
(1)求a与b的夹角;
(2)求|2a+3b|的大小.
【解析】(1)设a与b的夹角为θ.由已知得==7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos
θ=7,于是cos
θ=,
故θ=,即a与b的夹角为.
(2)|2a+3b|==
==.
11.(14分)已知△ABC是边长为2的正三角形.
(1)计算|+|+|-|.
(2)若-λ与向量的夹角大于90°,求实数λ的取值范围.
【解析】(1)因为|+|2=(+)2
=++2·=4+4+2×2×2×
=12,|-|2=(-)2
=+-2·
=4+4-2×2×2×=12,
所以|+|+|-|=4.
(2)因为-λ与向量的夹角大于90°,
所以(-λ)·<0,
即||2-λ||·||cos
60°<0,解得λ>2.
所以实数λ的取值范围是(2,+∞).
PAGE课时素养检测十四 向量数量积的概念
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为θ,若tan
θ=,则a·b的值为
( )
A.1
B.2
C.3
D.-1
【解析】选A.因为|a|=1,|b|=2,=θ,tan
θ=,θ∈[0,π],则θ=,
所以a·b=|a||b|cos=1×2×=1.
2.已知向量|a|=3|b|=a·b=3,则下列结论正确的是
( )
A.a⊥b
B.a∥b
C.|a+b|=3
D.|a-b|=3
【解析】选B.已知向量|a|=3|b|=a·b=3,则|b|=1,a·b=|a||b|cos=3cos=3,
所以cos=1,因为∈[0,π],
所以=0,所以a=3b,a∥b,|a+b|=4,|a-b|=2.
3.若e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断正确的是
( )
A.e1·e2=1
B.e1·e2=-1
C.e1·e2=±1
D.|e1·e2|<1
【解析】选C.因为e1,e2是两个互相平行的单位向量,则当e1,e2方向相同时e1·e2=|e1||e2|cos
0=1,
当e1,e2方向相反时,e1·e2=|e1||e2|cos
π=-1.
综上所述,得e1·e2=±1.
4.已知向量|a|=4,|b|=5,a·b=-10,则向量a与b的夹角为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为向量|a|=4,|b|=5,a·b=-10,
则cos==-,
因为∈[0,π],所以=.
5.如图,已知正六边形ABCDEF,下列向量的数量积中最大的是
( )
A.·
B.·
C.·
D.·
【解析】选A.方法一:设正六边形的边长为2,
则AC=2,·=||||cos
30°=6,
·=||||cos
60°=4,
·=||||cos
90°=0,
·=||||cos
120°=-2.
方法二:显然,向量在上投影的数量最大,所以·最大.
6.(多选题)已知等腰直角三角形ABC中,C=90°,面积为1,则下列结论正确的是
( )
A.·=0
B.·=2
C.·=2
D.||cos
B=||
【解析】选ABD.在等腰直角三角形ABC中,C=90°,面积为1,则AC2=1,得AC=,得AB=2,
所以·=0,选项A正确.
·=||||cos
45°=2,选项B正确.
·=||||cos
135°=-2,选项C不正确.
向量在上投影的数量为||,
即||cos
B=||,选项D正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影数量等于 .?
【解析】由于|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,
所以向量a在向量b上的投影数量为
|a|cos=|a|·===-4,
故向量a在向量b上的投影数量等于-4.
答案:-4
8.已知正方形ABCD的边长为2,则向量在上的投影的数量为 ,
在上的投影的数量为 .?
【解析】方法一:因为正方形ABCD的边长为2,⊥,则向量在上的投影的数量为||cos
90°=0,在上的投影的数量为||cos
135°
=2×=-.
方法二:如图,正方形ABCD的边长为2,⊥,
则向量在上的投影的数量为0,在上的投影的数量为,
所以在上的投影的数量为-.
答案:0 -
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.如图,在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°.求:
(1)·.
(2)·.
(3)·.
【解析】(1)·=||2=9.
(2)·=-||2=-16.
(3)·=||||cos(180°-60°)=4×3×=-6.
10.已知|a|=2,b2=3,若(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为150°,分别求a·b.
【解析】因为|a|=2,b2=3,所以|b|=.
(1)当a∥b时,a·b=|a||b|cos
0°=2××1=2或a·b=|a||b|cos
180°=2××(-1)=-2.
(2)当a⊥b时,a·b=|a||b|cos
90°=2××0=0.
(3)当a与b的夹角为150°时,a·b=|a||b|cos
150°=2××=-3.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)
1.若两个单位向量的数量积等于-1,则这两个单位向量的夹角为
( )
A.0
B.
C.
D.π
【解析】选D.设两个单位向量分别为e1,e2,则e1·e2=cos=-1,
由于∈[0,π],所以=π.
2.已知a是非零向量,e是单位向量,则下列表示正确的是
( )
A.a·e=|a|
B.a·e<|a|
C.a·e≤|a|
D.|a·e|<|a|
【解析】选C.因为a是非零向量,e是单位向量,
则a·e=|a||e|cos=|a|cos≤|a|,|a·e|≤|a|.
3.(多选题)下列关于两个单位向量的数量积的说法正确的是
( )
A.等于1
B.不大于1
C.不小于1
D.不小于-1
【解析】选BD.设两个单位向量分别为a,b,
则a·b=|a||b|cos=cos,
因为∈[0,π],所以cos∈[-1,1].
所以两个单位向量的数量积不大于1,且两个单位向量的数量积不小于-1.
4.已知向量a在b上投影的数量为1,向量b在a上投影的数量为2,且a是单位向量,则a·b=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为向量a在b上投影的数量为1,向量b在a上投影的数量为2,且a是单位向量,
所以|a|cos=1,|b|cos=2,两式相比,
得|b|=2|a|=2,
所以a·b=|a||b|cos=2|a|=2.
【补偿训练】
已知在△ABC中,AB=AC=4,·=-8,则△ABC的形状是
( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.依题意,得·=||||cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,
于是cos∠BAC=,所以∠BAC=60°.
又AB=AC,故△ABC是等边三角形.
二、填空题(每小题4分,共16分)
5.已知向量|b|=2,a在向量b相反方向上的投影的数量是-1,
则a·b+b2= .?
【解析】因为向量|b|=2,a在向量b相反方向上的投影的数量是-1,
所以a在向量b方向上的投影的数量是1,即|a|cos=1,
所以a·b+b2=|a||b|cos+b2=(|a|cos)|b|+b2=1×2+4=6.
答案:6
6.如图,已知扇形AOB中弦长|AB|=,则·= .?
【解析】根据扇形图,连接AB,作OM⊥AB,如图所示,则||=||,
根据数量积的几何意义可知,
·=||·||·(-cos
∠OAB)=-||·||=-=-.
答案:-
7.已知△ABC外接圆的圆心为O,半径为1,若++2=0,且||=||,
则·= .?
【解析】如图,由++2=0,得+=2,
所以O是AB的中点,因为△ABC外接圆的圆心为O,
所以AB是△ABC外接圆的直径,∠ACB=90°,
且||=||=||=1,
所以∠ABC=30°,||=.所以·=
||||cos
150°=2××=-3.
答案:-3
8.在△ABC中,||=13,||=5,||=12,则·+·+·= .?
【解析】因为||=13,||=5,||=12,
所以||2=||2+||2,
所以AC⊥BC,且cos
B=,cos
A=,
所以·+·+·
=||||cos(180°-B)+0+||·||cos(180°-A)
=13×5×+12×13×=-169.
答案:-169
三、解答题(共38分)
9.(12分)如图,每个小方格的长度都是1,分别计算:·,·,·.
【解析】方法一:每个小方格的长度都是1,
||=1,||=,||=,||=2,
·=||||cos
45°=1,
·=||||cos<,>=×1×=1,
·=||||cos<,>=2×1×=-2.
方法二:每个小方格的长度都是1,||=1,
根据向量数量积的几何意义,向量,,在上投影的数量分别为1,1,-2,所以·=||×1=1,·=||×1=1,·
=||×(-2)=-2.
10.(12分)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,求a·b+b·c+c·a的值.
【解析】因为向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,得|c|=|a+b|=|a|+|b|=4,
所以a,b方向相同,a,c方向相反.所以a·b+b·c+c·a
=|a||b|cos
0+|b||c|cos
π+|c||a|cos
π=3-4-12=-13.
11.(14分)已知△ABC的面积为S满足≤2S≤3,且·=3,求:
(1)与夹角的取值范围.
(2)角B的取值范围.
【解析】(1)因为△ABC中,·=3,与夹角θ=π-B,
所以·=||||cos<,>=3,
即||||cos
θ=3,得||||=.
又S=||||sin
B=||||sin(π-θ)
=||||sin
θ=tan
θ,
由≤2S≤3得≤3tan
θ≤3,所以≤tan
θ≤1,
由于θ∈[0,π],所以≤θ≤.
(2)由(1)得,≤π-B≤,
所以-≤-B≤-,
解得≤B≤.
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