上海2011学年度第一学期普陀区高三年级质量调研数学试卷（理A）

2011学年度第一学期普陀区高三年级质量调研
数学试卷 （理科） 2011.12
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1. 函数的最小正周期是 .
2. 二项式的展开式中的常数项是 ．（请用数值作答）
3. 函数的定义域是 .
4. 设与是两个不共线的向量，已知，，，则当三点共线时， .
5. 已知各项均为正数的无穷等比数列中，，，则此数列的各项和 .
6. 已知直线的方程为，点与点关于直线对称，则点的坐标为 .
7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为 .
8. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为 .
9. 如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm，上下留空各2.5cm，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm2.
10. 给出问题：已知满足，试判定的形状.某学生的解答如下：
解：（i）由余弦定理可得，，，,故是直角三角形.（ii）设外接圆半径为.由正弦定理可得，原式等价于，故是等腰三角形. 综上可知，是等腰直角三角形.
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果.　　 　　　　　　　　　　　　　　.
11. 已知数列是等比数列，其前项和为.若，，则 .
12. 若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 .
13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为的个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 .
14. 设，表示关于的不等式的正整数解的个数，则数列的通项公式 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
15. “成等差数列”是“”成立的 （ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分也非必要条件.
16. 设是直线的倾斜角，且，则的值为 （ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
17. 设全集为，集合，，
则集合可表示为 （ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
18. 对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是（ ）
A．若，，，,则；
B．若，，则；
C．若，，，,则；
D．若，，，则.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）已知函数，的图像分别与轴、轴交于、两点，且，函数. 当满足不等式时，求函数的最小值.
20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图,已知圆锥体的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.
（1）求圆锥体的体积；
（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
21. （本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知中，，.设，记.
求的解析式及定义域；
（2）设，是否存在实数，使函数的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
已知数列是首项为的等比数列，且满足.
求常数的值和数列的通项公式；
若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；
（3） 在（2）的条件下，设数列的前项和为.是否存在正整数，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.
23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）
设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.
（1） 当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得
；
（2）当时，若，
求证：；
（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：
“若，则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；
② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.
【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
2011学年度第一学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案 201112PT
一、填空题（每小题4分，满分56分）：
1. ； 2. ； 3. （文） ； （理）； 4. ；
5. ； 6. ； 7. ； 8. ； 9. ；
10. 等腰或直角三角形； 11. （文）；（理）； 12. （文）；（理） ；
13. （文）；（理）； 14. .
二、选择题（每题5分，满分20分）：
题号 15 16 17 18
答案 A B D D
三、解答题（满分74分）：
19.（本题满分12分）解：由题意知：、，则可解得：，即因为，即，解不等式得到 因为，则所以，当且仅当，即，时，等号成立.所以，当时，的最小值为.
20.（本题满分12分）解：（1）由题意，得， 故 从而体积.（2）如图2，取中点，联结. 由是的中点知，则(或其补角)就是异面直线与所成角.由平面平面.在中，由得；在中，，，，则，所以异面直线与所成角的大小.
21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）如图，在中，由，，可得，又 ，故由正弦定理得 、.则函数 ，其中定义域为.说明：亦可用积化和差方法化简：.（2）由可得.显然，，则1当时，，则的值域为；2当时，，不满足的值域为；因而存在实数，使函数的值域为.
22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分）（1）解：由得，，又因为存在常数，使得数列为等比数列，则即，所以.故数列为首项是2，公比为2的等比数列，即.此时也满足，则所求常数的值为1且.（2）解：由等比数列的性质得：（i）当时，；（ii） 当时，，所以.（3）（文科）解：注意到是首项、公比的等比数列，是首项、公比的等比数列，则（i）当时，；（ii）当时，.即.（3）（理科）解：（续文科解答过程）假设存在正整数满足条件，则，则（i）当时，，即当时满足条件；（ii）当时，. 因为，所以此时无满足条件的正整数. 综上可得，当且仅当时，.
23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）（理）解：（1）抛物线的焦点为，设，分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得 因为，所以，故可取满足条件.（2）设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得 又因为；所以.（3） ①取时，抛物线的焦点为，设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得，则，不妨取；；；，则，. 故，，，是一个当时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)② 设，分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由及抛物线的定义得，即.因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以只要将这点都取在轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则，而，所以.（说明：本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点，均为反例.）③ 补充条件1：“点的纵坐标（）满足 ”，即：“当时，若，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，及抛物线的定义得，即，则，又由，所以，故命题为真.补充条件2：“点与点为偶数，关于轴对称”，即：“当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）23.（文）（1）解：抛物线焦点，准线方程为：.由抛物线定义得，，， ∴ .（2）证明：由，，，…， ，， 即. 则 .（3）经推广的命题：“当时，若，则.”其逆命题为：“当时，若，则”.该逆命题为假命题.不妨构造特殊化的一个反例：设，，抛物线，焦点.由题意知：；根据抛物线的定义得：；不妨取四点坐标分别为、、、，但，所以逆命题是假命题.
开始
输出
结束
是
否
第7题图
第9题图
1 2 3
4 5 6
7 8 9
第13题图
A
B
S
P
O
第20题图