上海市2011学年第一学期闸北区高三文、理科数学期末练习卷及答案

2011学年第一学期高三文科数学期末练习卷
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．
3. 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．方程的全体实数解组成的集合为________．
2．不等式的解集为 ．
3．设，则数列的各项和为 ．
4．等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于 .
5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 ．
6．从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为 （用数字作答）．
7．在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为 ．
8．设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为 ．
9．A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 ．
10．不等式的解集为 ．
11．如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边
长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，
记，梯形面积为．则关于的函数解
析式及定义域为 ．
二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
12．设直线与的方程分别为与，则“”是“”的 【 】
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．曲线的长度为 【 】
A． B． C． D．
14．已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中
表示数列的前项和．则 【 】
A． B． C． D．
15．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①；
②若，，则；
③若，则，对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中真命题的序号为 【 】
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
16．（14分）已知函数有最小值．
（1）求实常数的取值范围；
（2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式．
17．（14分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最小值．
18．（15分）证明下面两个命题：
（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；
（2）余弦定理：如右图，在中，、、
所对的边分别为、、，则．
19．（16分）椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
（1）求证：；
（2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程．
20．（16分）设和均为无穷数列．
（1）若和均为等比数列，它们的公比分别为和，试研究：当、 满足什么条件时，和仍是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）．
2011学年第一学期高三理科数学期末练习卷
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．
3. 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．方程的全体实数解组成的集合为________．
2．不等式的解集为 ．
3．设，则数列的各项和为 ．
4．等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于 .
5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 ．
6．从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为 （用数字作答）．
7．在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为 ．
8．设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为 ．
9．A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 ．
10．关于的不等式（）的解集为 ．
11．如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边
长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，
记，梯形面积为．则关于的函数解
析式及定义域为 ．
二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
12．设直线与的方程分别为与，则“”是“”的 【 】
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．曲线的长度为 【 】
A． B． C． D．
14．已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中
表示数列的前项和．则 【 】
A． B． C． D．
15．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，则，对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中所有真命题的个数为 【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
16．（14分）已知函数有最小值．
（1）求实常数的取值范围；
（2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式．
17．（14分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最小值．
18．（15分）证明下面两个命题：
（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；
（2）余弦定理：如右图，在中，、、
所对的边分别为、、，则．
19．（16分）椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
（1）求证：；
（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程．
20．（16分）设和均为无穷数列．
（1）若和均为等比数列，试研究：和是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）．
2011学年第一学期高三文科数学期末练习卷
参考答案与评分标准
一、1．； 2．； 3．；
4．； 5．； 6．；
7．； 8．； 9．；
10．； 11．，．
二、12．B． 13．D． 14．C． 15．B．
三、16．解：（1）……………………………………3分
所以，当时，有最小值，………………………………………3分
（2）由为奇函数，有，得． ………………………2分
设，则，由为奇函数，得． …4分
所以，…………………………………………………2分
17．解：（1）设中角的对边分别为，
则由，，……………………………………………………4分
可得，．…………………………………………………………2分
（2）………………………5分
，，
所以，当，即时，……………………………3分
18．证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数……………1分
由基本不等式2：，可得：， …………………………4分
当且仅当时，等号成立， …………………………………………………………1分
即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值． ……………………1分
证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 ……………1分
于是，长方形的面积， …………………………4分
所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形……2分
（2）证法一： …………………………4分
．
故，．……………………4分
证法二 已知中所对边分别为
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
则，……………………4分
．
故，．……………………4分
证法三 过边上的高，则
……………………4分
．
故，． …………………4分
19．解：（1）由题设，得，
由椭圆定义，………………………………………………4分
所以，．………………………………………………………………………2分
（2）由点在椭圆上，可设椭圆的方程为，…………2分
设，，，：，代入椭圆的方程，整理得
，（*） …………………………2分
则
，
于是有， ……………………………………………………4分
解得，故，椭圆的方程为． …………………………2分
20．解：（1）①设，
则设
（或）
当时，对任意的， （或）恒成立，
故为等比数列； ……………………………………………………3分
…………………………………………………1分
当时，
证法一：对任意的，，不是等比数列．……2分
证法二：，不是等比数列． …2分
注：此处用反证法，或证明不是常数同样给分．
②设，
对于任意，，是等比数列． ………………3分
…………………………………………………1分
（2）设，均为等差数列，公差分别为，，则：
①为等差数列；……………………2分
②当与至少有一个为0时，是等差数列，………………………………1分
若，；………………………………………………1分
若，．………………………………………………1分
③当与都不为0时，一定不是等差数列．………………………………1分
2011学年第一学期高三理科数学期末练习卷
参考答案与评分标准
一、1．； 2．； 3．；
4．； 5．； 6．；
7．； 8．； 9．；
10．； 11．，．
二、12．B． 13．D． 14．C． 15．B．
三、16．解：（1）……………………………………3分
所以，当时，有最小值，………………………………………3分
（2）由为奇函数，有，得． ………………………2分
设，则，由为奇函数，得． …4分
所以，…………………………………………………2分
17．解：（1）设中角的对边分别为，
则由，，……………………………………………………4分
可得，．…………………………………………………………2分
（2）………………………5分
，，
所以，当，即时，……………………………3分
18．证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数……………1分
由基本不等式2：，可得：， …………………………4分
当且仅当时，等号成立， …………………………………………………………1分
即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值． ……………………1分
证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 ……………1分
于是，长方形的面积， …………………………4分
所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形……2分
（2）证法一： …………………………4分
．
故，．……………………4分
证法二 已知中所对边分别为
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
则，……………………4分
．
故，．……………………4分
证法三 过边上的高，则
……………………4分
．
故，．…………………4分
19．解：（1）由题设，得，
由椭圆定义，
所以，．………………………………………………………………………3分
设，，，：，代入椭圆的方程，整理得
，（*）…………………………2分
则
，
于是有， ……………………………………………………4分
化简，得，故，． ……………………………………………………1分
（2）由（1）有，方程（*）可化为 ………………1分
设中点为，则，
又，于是． ………………………………………………2分
由知为的中垂线，，
由，得，解得，， …………………………2分
故，椭圆的方程为．…………………………………………………1分
20．解：（1）①设，
则设
（或）
当时，对任意的， （或）恒成立，
故为等比数列； ……………………………………………………3分
…………………………………………………1分
当时，
证法一：对任意的，，不是等比数列．……2分
证法二：，不是等比数列． …2分
注：此处用反证法，或证明不是常数同样给分．
②设，
对于任意，，是等比数列． ………………3分
…………………………………………………1分
（2）设，均为等差数列，公差分别为，，则：
①为等差数列；……………………2分
②当与至少有一个为0时，是等差数列，………………………………1分
若，；………………………………………………1分
若，．………………………………………………1分
③当与都不为0时，一定不是等差数列．………………………………1分