单元素养检测(二)(第八章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.已知单位向量a与b的夹角为60°,则a·(a+2b)=
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·=
( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
3.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是
( )
A.a∥b
B.a=b
C.a⊥b
D.a+b=a-b
4.函数f(x)=4sin
xcos
xcos
2x的最大值是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
5.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
( )
A.4
B.3
C.2
D.0
6.若α,β均为锐角,sin
α=,sin=,则cos
β=
( )
A.
B.
C.或
D.-
7.已知平面上四个互异的点A,B,C,D满足(-)·(2--)=0,则△ABC的形状一定是
( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
【补偿训练】
若·+||2=0,则△ABC为
( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
8.在△ABC中,AB=,AC=2,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足==,则·的值为
( )
A.
B.1
C.
D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.已知单位向量a与b共线,则a·(a+b)的值可能为
( )
A.0
B.1
C.2
D.-1
10.设向量a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若a与b的夹角大于90°,则实数m的值可以是
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
11.下列关于函数y=2cos2-1的叙述正确的是
( )
A.最小正周期为π,奇函数
B.最小正周期为π,偶函数
C.最小值为-3,最大值为1
D.最小值为-1,最大值为1
12.将函数y=sin
2xcos
φ+cos
2xsin
φ的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为
( )
A.
B.
C.-
D.-
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb,若b⊥c,则实数k的值为 .?
14.正六边形ABCDEF边长为1,则·= .?
15.已知α是第二象限的角,tan(π+2α)=-,则tan
α= .?
16.矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内部一点且AP=1,若=x+y,则3x+2y的取值范围是 .?
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知0<α<,sin
α=.
(1)求tan
α的值.
(2)求cos
2α+sin
的值.
18.(12分)求值:.
19.(12分)已知向量a=(cos
x,sin
x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值.
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
20.(12分)已知a=(2,3),b=(x,2).
(1)当a-2b与2a+b平行时,求x的值.
(2)当a与b夹角为锐角时,求x的取值范围.
21.(12分)已知向量a=(2sin
x,cos
x),b=(cos
x,2cos
x).
(1)设f(x)=a·b,求f(x)
的单调递增区间.
(2)若c=(2,1),向量a-b与c共线,且x为第二象限角,求(a+b)·c
的值.
22.(12分)已知函数f=sin
2x-cos
2x+1.
(1)求y=f在区间上的单调递增区间.
(2)求y=f在的值域.
PAGE单元素养检测(二)(第八章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.已知单位向量a与b的夹角为60°,则a·(a+2b)=
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.因为单位向量a与b的夹角为60°,
所以a·(a+2b)=a2+2a·b=1+2×1×1×cos
60°=2.
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·=
( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.
3.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是
( )
A.a∥b
B.a=b
C.a⊥b
D.a+b=a-b
【解析】选C.因为两个非零向量a,b,
满足|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,
展开得到a·b=0,所以a⊥b.
4.函数f(x)=4sin
xcos
xcos
2x的最大值是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.因为f(x)=4sin
xcos
xcos
2x
=2sin
2xcos
2x=sin
4x.
所以当4x=2kπ+时,f(x)max=1.
5.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
( )
A.4
B.3
C.2
D.0
【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,
所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
6.若α,β均为锐角,sin
α=,sin=,则cos
β=
( )
A.
B.
C.或
D.-
【解析】选B.因为α为锐角,sin
α=>,
所以α>45°且cos
α=,
因为sin=,且<<,
所以<α+β<π,所以cos(α+β)=-,
则cos
β=cos
[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+
sin(α+β)sin
α=-×+×=.
7.已知平面上四个互异的点A,B,C,D满足(-)·(2--)=0,则△ABC的形状一定是
( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
【解题指南】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式,再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.
【解析】选C.设E为BC边的中点,由(-)·(2--)=0,得·(+)=0,
又+=2,所以2·=0,
所以在△ABC中,BC垂直于BC的中线AE,
所以△ABC是等腰三角形.
【补偿训练】
若·+||2=0,则△ABC为
( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.0=·+||2=·(+)=·,所以⊥,
所以∠BAC=90°.
8.在△ABC中,AB=,AC=2,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足==,则·的值为
( )
A.
B.1
C.
D.
【解析】选D.因为E为BC中点,
所以=
所以·=·
=·+·.
因为==,
所以△AOB和△AOC为等腰三角形,
所以·=cos
∠OAB
=·=,
同理可得·=.
所以·=+=+1=.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.已知单位向量a与b共线,则a·(a+b)的值可能为
( )
A.0
B.1
C.2
D.-1
【解析】选AC.因为单位向量a与b共线,
所以当向量a与b方向相同时,
a·(a+b)=a2+a·b=1+1×1×cos
0=2.
当向量a与b方向相反时,a·(a+b)=a2+a·b
=1+1×1×cos
π=0.
10.设向量a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若a与b的夹角大于90°,则实数m的值可以是
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选A、B、C.a·b<0?(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0,
即3m2-2m-8<0,所以-11.下列关于函数y=2cos2-1的叙述正确的是
( )
A.最小正周期为π,奇函数
B.最小正周期为π,偶函数
C.最小值为-3,最大值为1
D.最小值为-1,最大值为1
【解析】选AD.因为y=2cos2-1
=cos=sin
2x为奇函数,T==π,
最小值为-1,最大值为1.
12.将函数y=sin
2xcos
φ+cos
2xsin
φ的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选AD.把函数y=sin
2xcos
φ+cos
2xsin
φ=sin
(2x+φ)的图像向左平移个单位后,得到的图像的解析式是y=sin,该函数是偶函数的充要条件是+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,根据选项检验可知φ的可能取值为,-.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb,若b⊥c,则实数k的值为 .?
【解析】由a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb=(1+k,2-k),
若b⊥c
,则1+k-2+k=0,解得k=.
答案:
14.正六边形ABCDEF边长为1,则·= .?
【解析】根据题意作图如下:
由正六边形的性质知,=2,
所以·=·2=2||·||·cos
60°,即·=2×1×1×=1.
答案:1
15.已知α是第二象限的角,tan(π+2α)=-,则tan
α= .?
【解析】由tan(π+2α)=-得tan
2α=-,
又tan
2α==-,解得tan
α=-或tan
α=2,又α是第二象限的角,
所以tan
α=-.
答案:-
16.矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内部一点且AP=1,若=x+y,则3x+2y的取值范围是 .?
【解析】如图,设∠PAB=θ,θ∈,=1.
由=x+y,
得·=x+y·=9x,
·=x·+y=4y,
由向量数量积的几何意义,得
·=cos
θ=3cos
θ=9x,
·=cos
(-θ)=2sin
θ=4y,
所以3x+2y=cos
θ+sin
θ=sin
.
由于θ∈,得θ+∈,
所以≤1得1所以3x+2y的取值范围是(1,].
答案:(1,]
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知0<α<,sin
α=.
(1)求tan
α的值.
(2)求cos
2α+sin
的值.
【解析】(1)因为0<α<,sin
α=,
得cos
α=,所以tan
α=.
(2)cos
2α+sin
=1-2sin
2α
+cos
α
=1-+=.
18.(12分)求值:.
【解析】原式=
=
=
=
=
=.
19.(12分)已知向量a=(cos
x,sin
x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值.
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
【解析】(1)因为a=(cos
x,sin
x),b=(3,-),a∥b,
所以-cos
x=3sin
x.
若cos
x=0,则sin
x=0与sin
2x+cos
2x=1矛盾,
故cos
x≠0.于是tan
x=-.又x∈[0,π],
所以x=.
(2)f(x)=a·b=(cos
x,sin
x)·(3,-)
=3cos
x-sin
x=2cos.
因为x∈[0,π],所以x+∈,
从而-1≤cos≤.
于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.
20.(12分)已知a=(2,3),b=(x,2).
(1)当a-2b与2a+b平行时,求x的值.
(2)当a与b夹角为锐角时,求x的取值范围.
【解析】(1)由题意得:a-2b=(2-2x,-1),
2a+b=(4+x,8),
由a-2b与2a+b平行得:
(2-2x)·8-(-1)·(4+x)=0,所以x=.
(2)由题意得,即
所以x>-3且x≠.
21.(12分)已知向量a=(2sin
x,cos
x),b=(cos
x,2cos
x).
(1)设f(x)=a·b,求f(x)
的单调递增区间.
(2)若c=(2,1),向量a-b与c共线,且x为第二象限角,求(a+b)·c
的值.
【解析】(1)
f(x)=2sin
x·cos
x+2cos
2x
=sin
2x+cos
2x+1=sin+1,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,
得kπ-≤x≤kπ+,
得f(x)
的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为a-b=(2sin
x-cos
x,-cos
x),c=(2,1),a-b与向量c
共线,
所以2sin
x-cos
x=-2cos
x,
即tan
x=-.又因为x是第二象限角,
所以sin
x=,cos
x=-,(a+b)·c=2(2sin
x+cos
x)+3cos
x=4sin
x+5cos
x=-.
【拓展延伸】向量与三角函数综合题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等条件,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
22.(12分)已知函数f=sin
2x-cos
2x+1.
(1)求y=f在区间上的单调递增区间.
(2)求y=f在的值域.
【解题指南】(1)利用辅助角公式可将函数化简为f=2sin
+1;令2kπ-≤2x-≤2kπ+可求出f的单调递增区间,截取在上的部分即可得到所求的单调递增区间;
(2)利用x的范围可求得2x-的范围,对应正弦函数的图像可求得sin
的范围,进而得到函数的值域.
【解析】(1)f=sin
2x-cos
2x+1
=2sin
+1,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,
解得kπ-≤x≤kπ+,
令k=0,可知f在上单调递增,
令k=1,可知f在上单调递增,
所以y=f在上的单调递增区间为和.
(2)当x∈时,2x-∈,
所以sin
∈,
所以2sin
+1∈.
即y=f在的值域为.
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