上海市闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数学（文理科）试卷及答案

闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷（文理科）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写．
2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．
3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若,,,
则 ．
2．已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是 ．
3．已知，命题“若，则”的否命题是 ．
4．若为第二象限角，且，则的值为 ．
5．椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则 ．
6．设向量满足，，且与的方向相反，则的坐标为 ．
7．已知直线与两点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ．
8．若，则对于， ．
9．在中，若，且，则的大小为 ．
10．执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 ．
11．(文)已知数列{}的前项和，则 ．
(理)设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则= ．
12．(文) 若函数满足，且当时，，则函数的零点个数为 个．
（理）若偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数为 个．
13．（文）如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以BC中
点E为圆心、以1为半径在矩形内部作四分之一圆
弧CD（其中D为OA中点），点P是弧CD上一动
点，，垂足为M，，垂足为
N，则四边形PMBN的周长的最大值为 ．
(理)如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，，垂足为M，，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为 ．
14．（文）在一圆周上给定1000个点，如图，取其中一点，标记上数1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点，标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点，标记上数3……，继续这个过程直到1，2，3，…，2012都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标上2012的那一点上
的所有数中最小的数是 ．
（理）已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）．现对这些点进行往返标数（从A→B→A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标数中，最小的是 ．
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．抛物线的准线方程是 [答]（ ）
（A）． (B) ． (C) ． （D）．
16．若函数的图像与函数的图像关于对称，则
[答]（ ）
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
17．已知关于的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是
[答]（ ）
(A) ． (B) 两两平行．
(C) ． (D) 方向都相同．
18．（文）设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是 [答]（ ）
（A）相离． （B）相切． （C）相交． （D）随的变化而变化．
（理）设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是 [答]（ ）
（A）相离． （B）相切． （C）相交． （D）随的变化而变化．
三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）
对于，规定向量的“*”运算为：.
若．解不等式．
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
（文）设双曲线的虚轴长为,渐近线方程是，为坐标原点，直线与双曲线相交于、两点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）求点的轨迹方程．
（理）设双曲线，是它实轴的两个端点，是其虚轴的一个端点.已知其渐近线的方向向量是，的面积是，为坐标原点，直线与双曲线C相交于、两点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）求点的轨迹方程．
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．
（1）若该经适楼房每幢楼共层，总开发费用为万元，求函数的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；
（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．
（文）将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n个阴影部分图形.容易知道第1个阴影部分图形的周长为8，设前n个阴影部分图形的周长的平均值为，记数列满足.
（1）求的表达式；
（2）写出的值，并求数列的通项公式；
（3）记，若不等式有解，求的取值范围.
（理）将边长分别为1、2、3、4、…、n、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均值为．记数列满足,.
（1）求的表达式；
（2）写出的值，并求数列的通项公式；
（3）记，若不等式有解，求的取值范围.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（文）记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与．
设函数（），，
令，记．
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，求关于的表达式；
（3）试写出的表达式，并求．
（理）记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与．
设函数，．，
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若.令．记．试写出的表达式，并求．
(3)令(其中I为的定义域)．若I恰好为，求b的取值范围，并求．
闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准
一. 填空题 1．； 2．； 3．若，则；
4．； 5．； 6．；
7．； 8．； 9．；
10．23； 11．(文)、(理) 4024； 12．10；
13．(文)、(理)； 14．（文）12、(理)3.
二. 选择题 15． D；16．C；17．B；18．（文）B、（理）D
三. 解答题19.（本题满分12分）
解： （8分）
． （12分）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
解：（1）（文）由题意，有，， （4分）
故双曲线的方程为. （6分）
（理）由题意，双曲线的渐近线方程为，则有
又的面积是，故 ，得 （4分）
所以双曲线的方程为. （6分）
（2）设，直线：与双曲线联立消去，
得 （8分）由题意，
且又由知（10分）而
所以，（12分）化简得①
由可得② 由①②可得
故点P的轨迹方程是 （14分）
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：
（元）（万元），
从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：
（元）（万元），
每幢楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，（2分）
所以函数表达式为：
； （6分）
（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：
（10分）
（元） （12分）
当且仅当，即时等号成立，
但由于，验算：当时，，当时，．
答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低． （14分）
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．
解：（文）（1）第n个阴影部分图形的周长为8n, （2分）
故． （4分）
（2），， （7分）
当n为奇数时，
当n为偶数时，
故． （9分）
（3）
有解有解，
当n为奇数时，即
，
亦即有解，故 （12分）
当n为偶数时，
即，
于是，故． （14分）
综上所述：． （16分）
（理）解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为，第2个阴影部分图形的面积为，……，第n个阴影部分图形的面积为.（2分）
故
（4分）
（2），，， （7分）
当n为偶数时，，
当n为大于1的奇数时，，
故． （9分）
（3）由（2）知．
又．
（ⅰ）当n=1时，即，于是
（ⅱ）当n为偶数时，
即
于是，． （12分）
（ⅲ）当n为大于1的奇数时，
即
于是，． （14分）
综上所述：． （16分）
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解：（文）（1） （2分）
由题意． （4分）
（2）当时，，，
显然g(x)在上单调递减，在上单调递增，又此时
故， （6分）
（8分）
从而：=． （10分）
（3）．
1）当时，=g(1)=a+2b-1, =g(3)=3a+b
此时，．
2) 当时，=g(3)=3a+b, = g(1)=a+2b-1
此时，． （12分）
3) 当时，= g(1)=a+2b-1,= g(b)=ab+b， 此时，．
4) 当时，=g(3)=3a+b,= g(b)=ab+b， 此时，．
故， （14分）
因在上单调递减，在单调递增，故=h()=, （16分）
故当时，得． （18分）
（理）（1），（2分）由题意．（4分）
（2） ．
（ⅰ）当时，= g(1)=a+2b-1,
= g(b)=ab+b， 此时，．
（ⅱ）当时，=g(3)=3a+b,
= g(b)=ab+b， 此时，．
故， （6分）
因在上单调递减，在单调递增，故=h()=, （8分）
故当时，得． （10分）
（3）（ⅰ）当时，f(x)=b,
（ⅱ）当，即时，
（ⅲ）当时，即（*）， （13分）
①若2b-3>1即b>2, 由（*）知，但此时，所以b>2不合题意．
②若2b-3即b2, 由（*）知，
此时， 故， （15分）
且，于是，
当时，
当时，
即 （17分）
从而可得当a=0时，=0. （18分）
开始
输入x
是
否
结束
y=2x+1
输出y