2021学年高二下学期入学考试数学（一）
一、单选题
1．若复数z满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，为的导数，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．复数在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（
）
A．在上单调递增
B．的最大值为
C．的一个极大值为
D．的一个减区间为
7．若，则（
）
A．3
B．9
C．
D．6
8．三个男生和五个女生站成一排照相，要求男生不能相邻，且男生甲不站最左端，则不同站法的种数为（
）
A．12000
B．15000
C．18000
D．21000
9．二项式的展开式中第13项是常数项，则（
）
A．18
B．21
C．20
D．30
10．设点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（
）
A．36种
B．48种
C．68种
D．84种
12．已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．若复数是纯虚数，则______.
14．由一组观测数据，，…，得回归直线方程为，若，则____________．
15．已知函数，则的最大值为__________．
三、双空题
16．若，则__________；
__________．
四、解答题
17．学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到列联表的部分数据如下表：
自律性一般
自律性强
合计
成绩优秀
40
成绩一般
20
合计
50
100
（1）补全列联表中的数据；
（2）判断是否有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
参考公式及数据：.
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求的极值.
19．某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）
年份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数y
2
3
5
4
5
7
8
10
10
（1）求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；
（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）
参考数据：回归直线的方程是，其中，．，．
20．每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数
赞成的人数
（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在的概率为，求出表格中的值；
（2）若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望.
21．随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降低身价飞人寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的5G手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换5G手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如下表，已知这100个人能接受的价格都在之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．
分组
一
二
三
四
五
手机价格X（元）
频数
10
x
y
20
20
（1）现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率；
（2）若人们对5G手机能接受的价格X近似服从正态分布，其中为样本平均数，为样本方差，求．
附：．若，则，．
22．已知函数.
（1）当时，求的最值；
（2）当时，记函数的两个极值点为，，且，求的最大值.
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一、单选题
1．若复数z满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据复数的四则运算求出，根据共轭复数的概念求出即可.
【详解】
∵复数满足，
∴，
故．
故选：B
【点睛】
本题考查复数的代数运算，属于基础题.
复数的除法：除法的关键是分母实数化，解题时要注意及复数的共轭复数为
2．已知，为的导数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】求得，代值计算可得的值.
【详解】
，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数值的计算，求得是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
3．复数在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】先对复数进行除法和乘法运算，再根据实部和虚部找出对应的点，即可得出对应的象限．
【详解】
解：∵，
∴在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限．
故选：B
【点睛】
本题考查复数的除法和乘法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．
4．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用二项分布的方差公式可求得的值.
【详解】
，因此.
故选：C.
【点睛】
本题考查二项分布的方差的计算，考查计算能力，属于基础题.
5．已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知曲线关于对称，利用曲线的对称性求即可.
【详解】
由随机变量服从正态分布可知对称轴为，
所以，
所以．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于x=
μ对称，利用图象的对称性求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
6．已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（
）
A．在上单调递增
B．的最大值为
C．的一个极大值为
D．的一个减区间为
【答案】D
【解析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可
【详解】
由的部分图象并不能确定在上单调递增，故A错误；
同理，的最大值也不一定为，故B错误；
由图可知为的一个极小值，故C错误；
当时，，所以在上单调递减，故D正确．
故选：D.
【点睛】
此题考查了原函数与导函数间的关系，极值与导数的关系，属于基础题.
7．若，则（
）
A．3
B．9
C．
D．6
【答案】B
【解析】利用导数的定义即可得到答案.
【详解】
．
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的定义，属于简单题.
8．三个男生和五个女生站成一排照相，要求男生不能相邻，且男生甲不站最左端，则不同站法的种数为（
）
A．12000
B．15000
C．18000
D．21000
【答案】A
【解析】男生不相邻用插空法，男生甲不站最左端可在插入男生时先安排甲，然后再插入另两个男生．用分步计数原理．
【详解】
三男五女站成一排照相，要求男生不能相邻，用插空法，插入男生时先把男生甲插入5个空中，再在其他5个空位中插入其他两个男生，方法有．
故选：A．
【点睛】
本题考查排列的应用，解题时不相邻问题用插空法，特殊位置特殊元素优先安排．
9．二项式的展开式中第13项是常数项，则（
）
A．18
B．21
C．20
D．30
【答案】D
【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
二项式的展开式中第13项，
令，得.
故选：D.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．设点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先判断直线与曲线的位置关系，然后求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直的距离公式可求得结果.
【详解】
解：令，
则，易知，
所以曲线的图象在直线的上方．
，
令，得或，
因为，所以点P到直线的距离的最小值．
故选：A
【点睛】
此题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法和导数的几何意义，体现了转化的数学思想，属于基础题.
11．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（
）
A．36种
B．48种
C．68种
D．84种
【答案】C
【解析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】
设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，
若甲乡镇派遣三名医生，则共有种方案；
若甲乡镇派遣四名医生，则共有种方案；
若甲乡镇派遣五名医生，则共有种方案．
综上可得，不同的派遣方案有种．
故选：C.
【点睛】
本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由可得，构造函数，可得，再结合已知可求出，画出图象，设，只需满足，求解即可.
【详解】
设，
所以为常数），得，
，
当时，，当时，，
所以的递增区间是，递减区间是，
，
设，可知该函数恒过点，
画出的图象，如下图所示，
不等式（其中）的解集中恰有两个整数，
则这两个整数解为，所以，
即，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用、函数的概念与性质以及解不等式，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.
二、填空题
13．若复数是纯虚数，则______.
【答案】
【解析】首先利用复数的除法运算化简复数，之后根据纯虚数的定义为实部为0，且虚部不为0，再利用复数模的公式求得结果.
【详解】
因为为纯虚数，
则，即，所以，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，纯虚数的概念，复数模的公式，属于基础题目.
14．由一组观测数据，，…，得回归直线方程为，若，则____________．
【答案】
【解析】由题意结合样本中心点在回归直线上，代入即可得解.
【详解】
因为，，回归直线方程为，
所以，解得．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了线性回归方程性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
15．已知函数，则的最大值为__________．
【答案】1
【解析】先求函数的定义域，再求导，求出函数的单调区间，即可求出的最大值
【详解】
解：因为，所以它的定义域为，
求导得．
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
故答案为：1
【点睛】
此题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.
三、双空题
16．若，则__________；
__________．
【答案】300
5120
【解析】由二项式的通项公式可知；
对左右两边分求导得，然后令，可求出的值.
【详解】
解：因为通项公式，所以．
因为，
两边求导可得，
令，所以．
故答案为：300；5120
【点睛】
此题考查二项式展开式的系数的关系，利用了赋值法求解，属于基础题.
四、解答题
17．学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到列联表的部分数据如下表：
自律性一般
自律性强
合计
成绩优秀
40
成绩一般
20
合计
50
100
（1）补全列联表中的数据；
（2）判断是否有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
参考公式及数据：.
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
【解析】（1）由总人数为100可补全表中的数据
（2）算出即可
【详解】
（1）因为总人数为100，可填写列联表如下：
自律性一般
自律性强
合计
成绩优秀
10
30
40
成绩一般
40
20
60
合计
50
50
100
（2）根据表中数据，得，
所以有的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
【点睛】
本题考查的是独立性检验,计算能力是解答本题的关键.
18．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求的极值.
【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为.
【解析】（1）求，由已知可得，求出值即可；
（2）由（1）得，求解不等式，得到的单调区间，即可得出结论.
【详解】
（1），
曲线在点处的切线方程为，
所以，
；
（2）由（1）得，
令或，
或，
递增区间是，递减区间是，
的极大值为，极小值为.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及应用导数求函数的极值，考查计算求解能力，属于基础题.
19．某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）
年份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数y
2
3
5
4
5
7
8
10
10
（1）求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；
（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出y与x的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）
参考数据：回归直线的方程是，其中，．，．
【答案】（1）6；；（2），12人．
【解析】（1）由表格中的数据，利用平均数和方差的公式，即可求解；
（2）由表中近五年的数据，利用公式，求得，求得回归直线方程，代入，即可作出结论．
【详解】
（1）由表格中的数据，利用平均数的计算公式，可得．
由方差的公式，可得．
（2）由表中近五年的数据知，，，，，
，
又，所以，
故y与x的线性回归方程为，
当时，，
故估计该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生有12人．
【点睛】
本题主要考查了平均数与方差的计算，以及回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，根据公式准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
20．每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数
赞成的人数
（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在的概率为，求出表格中的值；
（2）若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由题知，由古典概率公式可得，求得；
（2）由分层抽样计算得抽取10人中赞成的有8人，随机变量的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此可求出随机变量的分布列和数学期望.
【详解】
解：（1）因为总共抽取100人进行调查，所以，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以.
（2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4.
，
，
.
的分布列为
2
3
4
所以.
【点睛】
本题主要考查了古典概率的计算，离散型随机变量的分布列与期望，分层抽样，考查了学生数据分析与运算求解能力，体现了数学运算，数学建模，数据分析等核心素养.
21．随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降低身价飞人寻常百姓家．某科技公司为了给自己新推出的5G手机定价，随机抽取了100人进行调查，对其在下一次更换5G手机时，能接受的价格（单位：元）进行了统计，得到结果如下表，已知这100个人能接受的价格都在之间，并且能接受的价格的平均值为2350元（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．
分组
一
二
三
四
五
手机价格X（元）
频数
10
x
y
20
20
（1）现用分层抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求其中恰有1人能接受的价格不低于2000元的概率；
（2）若人们对5G手机能接受的价格X近似服从正态分布，其中为样本平均数，为样本方差，求．
附：．若，则，．
【答案】（1）；（2）0.3413.
【解析】（1）由和接受价格的平均值为2350，可得和，求得，再由分层抽样得，在第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人,根据古典概率可得答案；
（2）由题意可知，求得，得，可求得故的值．
【详解】
（1）因为，所以．
因为，
所以，解得，．
因为第1组的人数为10，第2组的人数为20，第3组的人数为30．
所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，其中第1，2，3组分别抽取1人，2人，3人．
所以恰有1人能接受的价格不低于2000的概率．
（2）由题意可知，
又，
所以，
故．
【点睛】
本题考查由已知条件求得所缺的统计数据，分层抽样方法，古典概率，正态分布，属于中档题.
22．已知函数.
（1）当时，求的最值；
（2）当时，记函数的两个极值点为，，且，求的最大值.
【答案】（1），无最大值.（2）
【解析】（1）当时，函数，求出函数的导函数，令，从而得到函数的单调区间，求出函数的最值；
（2）当时，，求出导函数，由函数有两个极值点，可知，是方程的两个不等实根，由韦达定理可得，，因此，令，则，依题意可得，则令，，利用导数说明其最值即可；
【详解】
解：（1）当时，函数的定义域为，
，
令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，无最大值.
（2）当时，，.
因为，是方程的两个不等实根，
所以，，
因此
.
令，则，
因为，
所以.
令，，
则，在上恒成立，
所以在上单调递减，
故.
即的最大值为.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值，单调性以及极值问题，属于中档题.
试卷第2页，总3页
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