第2讲
常用逻辑用语
考点1
命题的真假：
例1.(1)已知命题，，命题，，若为真命题，则实数的取值范围是
A．
B．，
C．
D．
(2)下列三个命题：
①命题：，则命题的否定是：；
②命题：，命题：，则是成立的充分不必要条件；
③在等比数列中，若，，则；
其中真命题的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】1.
(1)设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则下述命题中所有真命题的序号是
．
①
②
③
④
(2)若“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点2
充分条件与必要条件：
例2.(1)设，，则是的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件
(2)命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】2.(1)已知命题：，：，则是的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
(2)已知直线，则“”是“直线与圆相切”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点3
含有一个全称量词命题的否定：
例3.(1)命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
(2)设命题，在上是增函数，则（
）
A．p为真命题
B．为，在上是减函数
C．p为假命题
D．为，在上不是增函数
【跟踪演练】3.命题“，”的否定为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中的假命题是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2.已知1，则P是q的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
3.命题且的否定是（
）
A．或
B．且
C．或
D．且
4.设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
5.下列有关命题的说法正确的是（
）
A．，使得成立．
B．命题：任意，都有，则：存在，使得．
C．命题“若且，则且”的逆命题为真命题．
D．若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（
）
A．
B．
C．3
D．
7.下列四种说法中正确的有（
）
A．命题“，”的否定是“，”；
B．若不等式的解集为，则不等式的解集为
C．复数满足，在复平面对应的点为，则
D．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______.
9.已知，则“”是“”的_____________条件(填
“充分不必要条件”
“必要不充分条件”
“必要条件”
“既不充分也不必要条件”
10.设条件，，若p是q的充分条件，则m的最大值为____，若p是q的必要条件，则m的最小值为____.
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
12.知命题
“，其中”是“”的充分不必要条件；命题若，使得．
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若为真，为假，求实数的取值范围．第2讲
常用逻辑用语
考点1
命题的真假：
例1.(1)已知命题，，命题，，若为真命题，则实数的取值范围是
A．
B．，
C．
D．
【答案】B
【解析】命题，，是真命题时，可得；
命题，，是真命题时，△，解得．
若为真命题，则两个命题都是真命题，可得．故选：C．
【点睛】本题考查了利用全称命题和存在命题真假求参数取值范围.
(2)下列三个命题：
①命题：，则命题的否定是：；
②命题：，命题：，则是成立的充分不必要条件；
③在等比数列中，若，，则；
其中真命题的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】①命题：，则命题的否定是，所以该命题是假命题；
②化简命题：，命题：，则是成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；
③在等比数列中，若，，则，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4，所以.所以该命题是假命题.所以有0个真命题.故选：A.
【点睛】本题考查了命题的真假个数的判别.
【跟踪演练】1.
(1)设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则下述命题中所有真命题的序号是
．
①
②
③
④
【答案】①③④
【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理与的交点也在平面内，∴，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题．
综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了命题的真假,考查了两交线直线确定一个平面、三点共线、异面直线以及线面垂直的定义，属于基础题．
(2)若“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若“，使得，则要有解，
∵，
∴，故选：A.
【点睛】本题考查了利用命题的真假求参数取值范围,考查了方程有解问题.
考点2
充分条件与必要条件：
例2.(1)设，，则是的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由可得：，由可得，
所以是成立的充分不必要条件.故选：A.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，指数不等式的解法，充分条件与必要条件的判定等知识，考查转化能力和运算能力.
(2)命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】即，所以，解得，
只有D选项是其必要不充分条件.故选:D.
【点睛】本题考查了必要不充分条件，关键在于根据特称命题的真假准确求解参数的取值范围，根据充分性和必要性判断.
【跟踪演练】2.
(1)已知命题：，：，则是的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可得，解得，
则“”是“”成立的充分不必要条件，
即“”是“”成立的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题考查了指数不等式的解法，充分不必要条件的判定其中正确求解命题，利用集合之间的大小关系是解答的关键，考查了逻辑推理与运算能力.
(2)已知直线，则“”是“直线与圆相切”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】直线过定点,
又点在圆上,
若直线与圆相切,
则,即有,
因此“”是“直线与圆相切”的充要条件.
故选:C.
【点睛】本题考查了直线与圆相切的应用,考查了充分必要条件的判断,难度不大.
考点3
含有一个全称量词命题的否定：
例3.(1)命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为命题“是特称命题，
所以其否定为全称命题，即为命题：，故选：C
【点睛】本题考查了命题的否定.
(2)设命题，在上是增函数，则（
）
A．p为真命题
B．为，在上是减函数
C．p为假命题
D．为，在上不是增函数
【答案】AD
【解析】当时，对恒成立，故p为真命题.
因为“是增函数”的否定为“不是增函数”，所以为“，在上不是增函数”.故选:AD.
【点睛】【点睛】本题考查了命题的否定以及函数的单调性的判别.
【跟踪演练】3.
(1)命题“，”的否定为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】由原命题可知：其否定为，，故选:C．
【点睛】本题考查了命题的否定.
(2)
【答案】
【解析】
【点睛】
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中的假命题是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选：B．
【点睛】本题考查了命题的真假,属于基础题．
2.已知1，则P是q的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】1，化简可得或，
，化简可得或，
由或
或，
故是q的必要不充分条件，故选：B
【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判定,常见判断充要条件的方法是：
①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3.命题且的否定是（
）
A．或
B．且
C．或
D．且
【答案】C
【解析】命题且的否定是或，故选:C．
【点睛】本题考查了命题的否定,属于基础题.
4.设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于任意的，即.
∴，，任意的，
∴，或.
∴“为递增数列”，反之也成立.
∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列的单调性，充分必要条件，属于基础题.
5.下列有关命题的说法正确的是（
）
A．，使得成立．
B．命题：任意，都有，则：存在，使得．
C．命题“若且，则且”的逆命题为真命题．
D．若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．
【答案】D
【解析】对于选项A，设，则，在上单调递减，所以当时，取得最小值3，故A错误；
对于选项B，：存在，使得，所以B错误．
对于选项C，逆命题为：“若且，则且”当时，满足且，但不满足且，所以C错误．
对于选项D，若数列是等比数列，，则，
反过来，若数列是等比数列，当公比为1时，，不能推出，故D正确．故选:D
【点睛】本题考查了命题的真假判别以及必要不充分条件的判别，属于中档题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（
）
A．
B．
C．3
D．
【答案】AB
【解析】∵若“,使得成立”是假命题,
即“,使得成立”是假命题,
即等价于“,使得成立”是真命题,
令,,
由对勾函数可知,当时,在上单调递减,在上单调递增,
∴当时,函数取最小值,即,
∴,故实数的取值范围为.故选：AB
【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，考查逻辑推理和运算能力,属于基础题.
7.下列四种说法中正确的有（
）
A．命题“，”的否定是“，”；
B．若不等式的解集为，则不等式的解集为
C．复数满足，在复平面对应的点为，则
D．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于选项A：命题“，”的否定应该是“，”，故A错误；
对于选项B：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且，由，解出，所以不等式可化为：，即，解得或，所以不等式的解集为，故B正确；
对于选项C：设，，所以满足.故C正确；
由得到：.
对于选项D：当时，，所以有.由题意可得：，解得；当时，，
所以有，由题意可得：，解得，因此，实数的取值范围是.故D正确，故选:BCD.
【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判别,属于中档题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】命题“，”为假命题，故恒成立.
，故.故答案为.
【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，考查逻辑推理和运算能力,属于基础题.
9.已知，则“”是“”的_____________条件(填
“充分不必要条件”
“必要不充分条件”
“必要条件”
“既不充分也不必要条件”
【答案】必要不充分条件
【解析】，
因为，
所以，
故后者能推出前者，
反之，比如，，推不出后者，
故为必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断以及绝对值不等式的性质．
10.设条件，，若p是q的充分条件，则m的最大值为____，若p是q的必要条件，则m的最小值为____.
【答案】
【解析】由得：
是的充分条件
的最大值为
是的必要条件
的最小值为
【点睛】本题考查了利用充分条件与必要条件求参数，考查逻辑推理和运算能力,属于基础题.
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】
【解析】对于命题：
表示圆，所以
解得：
或
对于命题
，即或
是的充分不必要条件
，
,故实数的取值范围
.
【点睛】本题考查了根据充要条件求解参数范围,常见方法有把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
其中需要注意：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
12.知命题
“，其中”是“”的充分不必要条件；命题若，使得．
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若为真，为假，求实数的取值范围．
【解析】（1）解不等式可得，解得或．
若为真，则或，结合，解得．
由可得，
若为真，则，，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立．
所以，即．
故若为真，则实数的取值范围为；
（2）由（1）可知，若真，则，若真，则．
故若为真，为假，则、一真一假．
若真假，则；若假真，则实数满足，故．
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】本题考查了利用命题的真假求参数范围,属于中档题.
