2020-2021学年 苏科版七年级数学下册7.5 多边形的内角和与外角和 同步练习（一）（word版含答案）

2020-2021学年七年级数学苏科版下册
7.5
多边形的内角和与外角和
同步练习（一）
1．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射出去，若b镜反射出的光线n平行于m，且∠1＝30°，则∠2＝　
　，∠3＝　
　；
（2）在（1）中，若∠1＝70°，则∠3＝　
　；若∠1＝a，则∠3＝　
　；
（3）由（1）（2）请你猜想：当∠3＝　
　时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由．（提示：三角形的内角和等于180°）
2．已知：如图，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．
（1）试说明：∠ABC＝∠BFD；
（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．
3．如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　
　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　
　度
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
4．【概念学习】
在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角．如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝　
　°
【理解应用】
习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD
互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图②，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°．
①写出图中一对互组的角　
　（两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．
5．如图（1）已知△ABC的外角∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，如图（2）已知△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点P．
选择其中一个图形猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想
解：我选择的是　
　，猜想结论：　
　．
证明：
6．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且∠ADE＝∠B．
求：∠CDE的度数．
8．如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β；
（1）如图①，α+β＞180°，试用α，β表示∠F；
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，并试用α，β表示∠F；
（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
9．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出∠DFE的度数；
（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？
10．已知：在△ABC和△DEF中，将△DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．
（1）当将△DEF如图1摆放时，若∠A＝50°，∠E+∠F＝100°，则∠ABD+∠ACD＝　
　度．
（2）当将△DEF如图2摆放时，∠A＝m°，∠E+∠F＝n°，请求出∠ABD+∠ACD的度数，并说明理由；
（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论　
　（填“能”或“不能”）
11．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为　
　°，△AOB　
　．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC　
　（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
12．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？
13．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式　
　．
14．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．
（1）当α＝40°时，∠BPC＝　
　°，∠BQC＝　
　°；
（2）当α＝　
　°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　
　．
15．阅读：如图1，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B．所以∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠B．这是一个有用的结论，请用这个结论，在图2的四边形ABCD内引一条和一边平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．
参考答案
1．解：（1）∵∠1＝30°，
∴∠4＝∠1＝30°，
∴∠6＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵m∥n，
∴∠7+∠6＝180°，
∴∠2＝60°，
∴∠7＝60°，
∴∠3＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
故答案为：60°，90°；
（2）∵∠1＝70°，
∴∠4＝∠1＝70°，
∴∠6＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵m∥n，
∴∠7+∠6＝180°，
∴∠7＝140°，
∴∠2＝20°，
∴∠3＝180°﹣20°﹣70°＝90°；
∵∠1＝a°，
∴∠4＝∠1＝a°，
∴∠6＝180°﹣a°﹣a°＝180°﹣2a，
∵m∥n，
∴∠7+∠6＝180°，
∴∠7＝2a°，
∴∠5＝∠2＝90°﹣a，
∴∠3＝180°﹣90°+a﹣a＝90°；
故答案为：90°；90°；
（3）猜想：当∠3＝90°时，m总平行于n，
理由：∵△的内角和为180°，又∠3＝90°，
∴∠4+∠5＝90°
∵∠4＝∠1∠5＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1+∠4+∠5+∠2＝90°+90°＝180°，
∵∠1+∠4+∠6+∠5+∠2+∠7＝180°+180°＝360°，
∴∠6+∠7＝180°
∴m∥n（同旁内角互补，而直线平行）
故答案为：90°
2．解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，
∵∠BAD＝∠EBC，
∴∠ABC＝∠BFD；
（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，
∵EG∥AD，
∴∠BEG＝∠BFD＝35°，
∵EH⊥BE，
∴∠BEH＝90°，
∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．
3．解：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°．
（3）∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，
如图3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
①+②得：
∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
4．解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，
∴∠2＝360°﹣∠1＝225°；
（2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D．理由如下：
如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D＝360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD＝360°?，
∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
（3）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；
②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，
∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM．
令∠AQM＝∠BQM＝α，∠APM＝∠DPM＝β．
∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β＝∠PMQ，
在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β＝∠QCP，
∴∠QCP+∠A＝2∠PMQ，
∵∠A+∠QCP＝180°，
∴∠PMQ＝90°．
∴PM⊥QM．
故答案为225；优角∠PCQ与钝角∠PCQ．
5．解：图（1）
∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB
＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
＝180°+∠A，
∵BP，CP分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180+∠A）°，
即：∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝（90﹣∠A）°；
图（2），结论：∠BPC＝∠A．
证明如下：
∵∠1是△PBC的外角，
∴∠P＝∠1﹣∠2＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A．
6．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
7．解：∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，
∵∠ADE＝∠B＝20°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣20°＝50°．
8．解：（1）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝360°﹣（α+β）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）＝180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠F，
∴360°﹣（α+β）＝180°﹣2∠F，
2∠F＝α+β﹣180°，
∴∠F＝（α+β）﹣90°；
（2）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝360°﹣（α+β）＝2∠GBC+（180°﹣2∠HCE）＝180°+2（∠GBC﹣∠HCE）＝180°+2∠F，
∴360°﹣（α+β）＝180°+2∠F，
∠F＝90°﹣（α+β）；
（3）α+β＝180°时，不存在∠F．
9．解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；
（2）作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
（3）作AH⊥BC于H，如图③，
由（1）得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
（4）结合上述三个问题的解决过程，得到∠BAC的角平分线与角平分线上的点作BC的垂线的夹角为15°．
10．解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°
在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD＝180°
∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣∠D
在△DEF中，∠D+∠E+∠F＝180°
∴∠E+∠F＝180°﹣∠D
∴∠CBD+∠BCD＝∠E+∠F＝100°
∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD＝130°+100°＝230°．
（2）∠ABD+∠ACD＝（180﹣m﹣n）°；
理由如下：
∵∠E+∠F＝n°
∴∠CBD+∠BCD＝∠E+∠F＝n°
∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠BCD+∠CBD）＝（180﹣m﹣n）°；
（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．假设∠CBD+∠BCD＝∠ABD+∠ACD＝100°，那么∠ABC+∠ACB＝200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能．
11．解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3：①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
12．解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）?180＝360×3+180，
解得：n＝9．
则这个多边形的边数是9．
13．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°，
∵AD是高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣40°＝10°；
（2）∵∠B＝α，∠C＝β（α＜β），
∴∠BAC＝180°﹣（α+β），
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），
∵AD是高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣α﹣[90°﹣（α+β）]＝（β﹣α）；
故答案为：（β﹣α）．
14．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，
∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，
即（180°+α）＝180°，
解得α＝60°；
（3）∵α＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC＝90°﹣α、
∠BQC＝135°﹣α、
∠BOC＝α﹣45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．
15．解：作DE∥AB，交BC于E，由题意，∠DEB＝∠C+∠EDC，
∴∠A+∠ADE＝180°，∠B+∠DEB＝180°，
则∠A+∠B+∠C+∠ADC
＝∠A+∠B+∠C+∠EDC+∠ADE
＝∠A+∠B+∠DEB+∠ADE
＝360°．