6.4.3正弦定理同步练习2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第六章平面向量及其应用（Word含解析）

2021年人教A版（新教材）必修第二册第二课时　正弦定理
一、选择题
1.在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于(　　)
A.1
B.
C.3
D.
2.在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3.在△ABC中，若A＝，sin
B＝cos
C，则△ABC为(　　)
A.直角非等腰三角形
B.等腰非直角三角形
C.非等腰且非直角三角形
D.等腰直角三角形
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3，则B的大小为(　　)
A.30°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或120°
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A.
B.π
C.2π
D.4π
6.在△ABC中，若sin
C＝2sin
Bcos
B，且B∈，则的范围为(　　)
A.(，)
B.(，2)
C.(0，2)
D.(，2)
7.(多选题)锐角△ABC中，三个内角分别是A，B，C，且A>B，则下列说法正确的是(　　)
A.sin
A>sin
B
B.cos
AB
C.sin
A>cos
B
D.sin
B>cos
A
二、填空题
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝，cos
C＝，a＝1，则b＝________.
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°.若△ABC有两解，则x的取值范围是______.
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin
A∶sin
B∶sin
C＝5∶7∶8，则角B的大小为________.
11.(多空题)在△ABC中，B＝，BC边上的高AD等于BC，且AD＝1，则AC＝________，sin
A＝________.
三、解答题
12.在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.
13.在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
14.在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状.
参考答案及解析
1.答案：C
解析：C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3.应选C.
2.答案：B
解析：由正弦定理知＝，∴＝，
∴cos
C＝sin
C，∴tan
C＝1，又∵0°∴C＝45°，故选B.
3.答案：D
解析：由A＝，sin
B＝cos
C?＝?＝＝＋tan
C＝?tan
C＝1，又C∈(0，π)，则C＝，所以B＝，△ABC为等腰直角三角形.故选D.
4.答案：A
解析：由正弦定理得＝，即＝，解得sin
B＝，
又B为三角形内角，所以B＝30°或B＝150°，
又因为a>b，所以A>B，即B＝30°.故选A.
5.答案：B
解析：在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π，故选B.
6.答案：A
解析：由正弦定理及已知得＝＝＝2cos
B.又＜B＜，余弦函数在此范围内是减函数，故＜cos
B＜，∴∈(，).
7.答案：ABCD
解析：A>B?a>b?sin
A>sin
B，故A成立.
函数y＝cos
x在区间[0，π]上是减函数，
∵A>B，∴cos
AB，故B成立.
在锐角三角形中，∵A＋B>，∴A>－B，
函数y＝sin
x在区间上是增函数，
则有sin
A>sin，即sin
A>cos
B，C成立，
同理sin
B>cos
A，故D成立.
8.答案：
解析：在△ABC中，由cos
A＝，cos
C＝，可得sin
A＝，sin
C＝，
sin
B＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝，
又a＝1，故由正弦定理得b＝＝.
9.答案：(2，2)
解析：因为△ABC有两解，所以asin
B即xsin
45°<210.答案：
解析：利用正弦定理化简已知等式得a∶b∶c＝5∶7∶8，设a＝5k，b＝7k，c＝8k(k＞0)，利用余弦定理的推论得cos
B＝＝＝，由于B∈(0，π)，∴B＝.
11.答案：　
解析：如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD，
∴BC＝3，DC＝2，AC＝＝.
由正弦定理知，sin
∠BAC＝＝＝.
12.解：由正弦定理，得＝，得sin
B＝＝.
因为b>c，所以B>C＝30°，所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12.
当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6.
所以a＝6或12.
13.解：∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得＝＝2R，
∴c＝＝＝5，
∴2R＝＝＝10，∴R＝5.
14.解：设三角形外接圆半径为R，
则a2tan
B＝b2tan
A?＝，＝，
sin
Acos
A＝sin
Bcos
B?sin
2A＝sin
2B?
2A＝2B或2A＋2B＝π?A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.