2020-2021学年江苏省苏州高二下学期期初数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年江苏省苏州高二（下）期初数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．[1，3）
C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）
2．设a，b∈R，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，a11+a12+a13＝27，则S16＝（　　）
A．120 B．60 C．160 D．80
4．“?x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是（　　）
A．0≤a＜4 B．a＞4 C．0＜a＜3 D．0≤a＜5
5．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（　　）
A．3天 B．4天 C．5天 D．6天
7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，若入射光线FP的斜率为，则抛物线方程为（　　）
A．y2＝8x B．y2＝6x C．y2＝4x D．y2＝2x
8．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex，若存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，则实数m的最小值为（　　）
A．4 B．4 C．8 D．8
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．）
9．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．2a+4b的最小值是 B．ab的最小值是
C．a2+4b2的最小值是 D．的最小值是
10．已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线C1的离心率为
B．抛物线C2的准线方程是x＝﹣2
C．双曲线C1的渐近线方程为
D．
11．定义Hn＝为数列{an}的“优值”．已知某数列{an}的“优值”Hn＝2n，前n项和为Sn，则（　　）
A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等比数列
C． D．S2，S4，S6成等差数列
12．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（　　）
A．?x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．?x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1
C．?x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．?x∈R，
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知命题p：?x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为　 　．
14．已知|z|＝1，则|z﹣1+i|的最小值是　 　．
15．如图，正方形OABC的边长为a，（a＞1），函数y＝3x2与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为　 　．
16．经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线QA与椭圆交于点B，且满足BP⊥PQ，则直线BP和BQ的斜率之积为　 　，椭圆的离心率为　 　．
四、解答题（共6小题，共70分．）
17．已知a＞0，集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）设p：x∈A；q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．设矩形ABCD的周长为20，其中AB＞AD．如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交DC于点P，设AD＝x，DP＝y．
（1）将y表示成x的函数，并求定义域：
（2）求△ADP面积的最大值．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB＝1．
（1）求证：PA∥平面MNC；
（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
21．已知数列{an}满足a1＝，an＝2﹣，n≥2，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜1．
22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．[1，3）
C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）
解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，
B＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，
则A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．
故选：B．
2．设a，b∈R，则“a＞b＞﹣1”是“＜”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为a＞b＞﹣1，所以a+1＞b+1＞0，
所以＜，
则“a＞b＞﹣1”是“＜”的充分条件；
当＜时，
①当a+1＞0，b+1＞0时，则0＜b+1＜a+1，所以﹣1＜b＜a；
②当a+1＜0，b+1＞0时，则a+1＜b+1，则a＜b，
所以“a＞b＞﹣1”是“＜”的不必要条件；
故“a＞b＞﹣1”是“＜”的充分不必要条件．
故选：A．
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，a11+a12+a13＝27，则S16＝（　　）
A．120 B．60 C．160 D．80
解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝54，a11+a12+a13＝27，
∴，解得a1＝，d＝，
∴S16＝16×+＝120．
故选：A．
4．“?x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是（　　）
A．0≤a＜4 B．a＞4 C．0＜a＜3 D．0≤a＜5
解：a＝0时，不等式为1＞0恒成立”，
a≠0时，满足，解得0＜a＜4，此时不等式恒成立，
综上知，“?x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的充要条件是0≤a＜4．
所以“?x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是选项C中0＜a＜3．
故选：C．
5．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
解：由椭圆C的离心率为，可得a＝2c，∵a2＝b2+c2，可得，
再由abπ＝2，解得ab＝，所以a＝2，b＝，
因椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为：，
故选：A．
6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（　　）
A．3天 B．4天 C．5天 D．6天
解：大老鼠与小老鼠每天挖墙的进度都形成等比数列：首项都为1，公比分别为2，．
设两鼠穿透此墙至少在第n天，
由题意可得：+＝10，
化为：2n﹣2×﹣9＝0，
令f（x）＝2x﹣21﹣x﹣9，则f（3）＝8﹣﹣9＝﹣＜0，f（4）＝16﹣﹣9＝＞0．
∴两鼠穿透此墙至少在第4天．
故选：B．
7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，若入射光线FP的斜率为，则抛物线方程为（　　）
A．y2＝8x B．y2＝6x C．y2＝4x D．y2＝2x
解：从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，
可得P（，2），入射光线FP的斜率为，
所以＝，解得p＝1或p＝﹣4（舍去），
所以抛物线方程为：y2＝2x．
故选：D．
8．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex，若存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，则实数m的最小值为（　　）
A．4 B．4 C．8 D．8
解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex，
可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，
解得f（x）＝（ex+e﹣x），g（x）＝（ex﹣e﹣x），
由x∈（0，2]，可得ex∈（1，e2]，由t＝ex﹣e﹣x在x∈（0，2]递增，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，
存在x∈（0，2]，使不等式f（2x）﹣mg（x）≤0成立，
即存在x∈（0，2]，不等式（e2x+e﹣2x）﹣m?（ex﹣e﹣x）≤0即m≥成立，
可得m≥，由＝t+≥2，当且仅当t＝∈（0，e2﹣e﹣2]，取得等号，
即有m≥2，可得m≥4，即m的最小值为4．
故选：B．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知正数a，b满足a+2b＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．2a+4b的最小值是 B．ab的最小值是
C．a2+4b2的最小值是 D．的最小值是
解：选项A：2a+4b＝2a+22b，
当且仅当2a＝22b，即a＝时取等号，此时2a+4b的最小值为2；故A正确，
选项B：因为a+2b＝1，解得ab，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，
此时ab的最大值为，故B错误，
选项C：因为a+2b＝1，所以a2+4b2+4ab＝1，
所以ab＝，解得a，当且仅当a＝2b，即a＝时取等号，故C正确，
选项D：，
当且仅当a＝b时取等号，此时的最小值为3+2，故D错误，
故选：AC．
10．已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点F重合，双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线C1的离心率为
B．抛物线C2的准线方程是x＝﹣2
C．双曲线C1的渐近线方程为
D．
解：由题意可得2a＝2，即a＝1，抛物线的焦点F（2，0），
即有c＝2，b＝＝，
可得双曲线的方程为x2﹣＝1，渐近线方程为y＝±x，
离心率为e＝＝2，
又抛物线的准线方程为x＝﹣2，
联立解得，
则|AF|+|BF|＝2×（3+2）＝10，
故BC正确；AD错误．
故选：BC．
11．定义Hn＝为数列{an}的“优值”．已知某数列{an}的“优值”Hn＝2n，前n项和为Sn，则（　　）
A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等比数列
C． D．S2，S4，S6成等差数列
解：由题意，Hn＝＝2n，
即a1+2a2+…+2n﹣1an＝n?2n，
又当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）?2n﹣1，
两式相减得：2n﹣1an＝n?2n﹣（n﹣1）?2n﹣1＝（n+1）?2n﹣1，
整理得an＝n+1（n≥2），
当n＝1时，a1＝1×2＝2适合上式，
∴an＝n+1，
而an+1﹣an＝n+1+1﹣n﹣1＝1，则数列{an}为等差数列，故A正确；
不是常数，则数列{an}不是等比数列，故B错误；
，则，故C正确；
S2＝5，，，
则S2，S4，S6不是等差数列，故D错误．
故选：AC．
12．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（　　）
A．?x∈R，[3x]＝3[x]+2 B．?x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1
C．?x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．?x∈R，
解：对于A，当x＝1.7时，3x＝5.1，则[3x]＝5，3[x]＝3，则[3x]＝3[x]+2，故A正确；
对于B，设[x]＝[y]＝m，则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，故B正确；
对于C，设[x]＝x﹣a，[y]＝y﹣b（a∈[0，1），b∈[0，1），
则[x+y]＝[[x]+a+[y]+b]＝[[x]+[y]+a+b]＝[x]+[y]+[a+b]，
当a+b∈[0，1）时，[a+b]＝0，则[x+y]＝[x]+[y]；
当a+b∈[1，2）时，[a+b]＝1，则[x+y]＝[x]+[y]+1≥[x]+[y]，
故C错误；
对于D，设[x]＝x﹣a，[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，
当a∈[0，）时，a+∈[，1），则[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝[2[x]+2a]，
∵a∈[0，），∴2a∈[0，1），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]＝[x]+[x+]，
当a∈[，1）时，a+∈[1，），则[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]＝[2[x]+2a]，
∵a∈[，1），∴2a∈[1，2），得[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+1＝[x]+[x+]．
故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知命题p：?x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为　?x∈（2，+∞），x2≤4　．
解：根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
所以命题p：?x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为?x∈（2，+∞），x2≤4．
故答案为：?x∈（2，+∞），x2≤4．
14．已知|z|＝1，则|z﹣1+i|的最小值是　1　．
解：满足|z|＝1的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上．
而|z﹣1+i|表示复数z在复平面内对应点Z到点A（1，﹣）的距离，
∵OA＝＝2，
∴|z﹣2i+3|的最小值是 2﹣1＝1．
故答案为：1．
15．如图，正方形OABC的边长为a，（a＞1），函数y＝3x2与AB交于点Q，函数与BC交于点P，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为　　．
解：点P在函数上，则|CP|＝，
点Q在函数y＝3x2上，则，的|AQ|＝，
∴|AQ|+|CP|＝≥2＝2，
当且仅当，即a＝时取等号，
由＞1知，当|AQ|+|CP|最小时，a的值为．
故答案为：．
16．经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线QA与椭圆交于点B，且满足BP⊥PQ，则直线BP和BQ的斜率之积为　﹣　，椭圆的离心率为　　．
解：设P（m，n），则Q（﹣m，﹣n），设B（x0，y0），
由题意可得＝（0，﹣2n），而，所以A（m，n），
所以kQB＝kQA＝＝＝，而kBP＝，
所以可得kBP?kQB＝?＝，
因为P，B在椭圆上，所以，
两式相减整理可得：＝﹣，
即kBP?kQB＝﹣，可得kBP＝﹣?，
因为BP⊥PQ，所以kBP?kPQ＝﹣1，即﹣?＝﹣1，
所以＝，
所以kBP?kQB＝﹣，
离心率e＝＝＝＝＝，
故答案分别为：﹣，．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．）
17．已知a＞0，集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）设p：x∈A；q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：集合A＝{x||x﹣1|＜a}＝{x|1﹣a＜x＜a+1}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}＝（﹣1，5），
（1）当a＝3时，A＝（﹣2，4），故A∪B＝（﹣2，5）；
（2）因为p是q的充分不必要条件，
所以A?B，则有，解得a≤2，
故实数a的取值范围为a≤2．
18．设矩形ABCD的周长为20，其中AB＞AD．如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交DC于点P，设AD＝x，DP＝y．
（1）将y表示成x的函数，并求定义域：
（2）求△ADP面积的最大值．
解：因为AD＝x，所以AB＝10﹣x，
又PD＝y，所以PC＝PA＝10﹣x﹣y，
则在直角三角形ADP中，AP2＝AD2+DP2，
即（10﹣x﹣y）2＝x2+y2，整理可得：y＝，
令，解得0＜x＜5，
即y＝，且函数的定义域为（0，5）；
（2）△ADP面积为：S＝＝，
令10﹣x＝t，则x＝10﹣t，
所以S＝
＝＝﹣（）≤75﹣2＝75﹣50．
当且仅当t＝5，此时x＝10﹣5，△ADP面积的最大值：75﹣50．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB＝1．
（1）求证：PA∥平面MNC；
（2）求AN与平面MNC所成角的正弦值．
解：（1）证明：∵M、N分别为AD、PD的中点，∴MN∥PA，
∵PA?平面MNC，MN?平面MNC，
∴PA∥平面MNC．
（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，
M、N分别为AD、PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝CD＝2，AB＝1．
∴以M为原点，MA为x轴，过M作AB的平行线为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），N（﹣，0，），M（0，0，0），C（﹣1，2，0），
＝（﹣，0，），＝（﹣），＝（﹣1，2，0），
设平面MNC的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（2，1，），
设AN与平面MNC所成角为θ，
则sinθ＝＝＝．
∴AN与平面MNC所成角的正弦值为．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
解：（1）因为双曲线E：（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，
可得a＝b，设双曲线的焦距为2c，c＞0，
故c2＝a2+b2＝2a2，即c＝a，
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将xB＝c＝a代入双曲线的方程可得|yB|＝a，故|BC|＝2a，
又三角形的面积为1+，即|BC|?|AF|＝×2a×（a+c）＝1+，
解得a＝1，
故双曲线的方程为x2﹣y2＝1；
（2）由题意可得直线l：y＝kx﹣1与双曲线的左右两支交于M，N两点，
联立，可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，
所以1﹣k2≠0，△＝（2k）2﹣4（1﹣k2）（﹣2）＞0，解得﹣1＜k＜1，
且xM+xN＝﹣，xMxN＝，
所以|MN|＝＝|xM﹣xN|＝?
＝?＝，
联立可得xP＝，同理可得xQ＝，
所以|PQ|＝|xP﹣xQ|＝?|﹣|＝，
所以＝＝，其中﹣1＜k＜1，
所以∈（1，]，
21．已知数列{an}满足a1＝，an＝2﹣，n≥2，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜1．
【解答】证明：（Ⅰ）∵an＝2﹣＝（n≥2），
∴an﹣1＝﹣1＝，
∴＝＝+1（n≥2），
∴﹣＝1，又a1＝，∴＝2，
∴数列是以首项为2，公差为1的等差数列，
∴＝2+（n﹣1）×1＝n+1，则an＝．
即数列{an}的通项公式为an＝．
（Ⅱ）cn＝＝＝2（﹣）?＝2（﹣），
∴数列{cn}的前n项和为Tn＝2[﹣+﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]，
∵0＜≤，﹣≤﹣＜0，≤﹣，
∴≤Tn＜1．
22．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a＝8，∴a＝2
∵e＝，∴c＝1
∴b2＝a2﹣c2＝3
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0
∵动直线l：y＝kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）
∴m≠0，△＝0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）＝0
∴4k2﹣m2+3＝0①
此时x0＝＝，y0＝，即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k＝0，m＝，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k＝，m＝2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2＝，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）
方法二：
假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则?＝0对满足①式的m，k恒成立．
因为＝（﹣﹣x1，），
＝（4﹣x1，4k+m），由?＝0得﹣+﹣4x1+x12++3＝0，
整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0．②
由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1＝1．
故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．