2020-2021学年新疆塔城地区乌苏高二下学期入学数学试卷 （word解析版）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年新疆塔城地区乌苏高二下学期入学数学试卷 （word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 946.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-10 15:47:01 | ||
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文档简介
2020-2021学年新疆塔城地区乌苏高二（下）入学数学试卷
一．选择题（共12小题）.
1．在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面zOx的对称点为B，则A、B两点间的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．已知圆C1：x2+y2＝3和圆C2：（x+1）2+（y﹣3）2＝12，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
3．多年来，某市持续推动创建文明城市工作，通过净化出行环境、改造生活设施、扩建园林绿化等，空气质量稳步提升．如图是空气质量指数与相应等级对照表以及该市12月21日至第二年1月10日的空气质量指数图，下面结论中不正确的是（ ）
空气质量指数 空气质量等级
0﹣50 优
51﹣100 良
101﹣150 轻度污染
151﹣200 中度污染
201﹣300 重度污染
＞300 严重污染
A．1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量等级
B．以上21天中12月30号空气质量等级为优，空气质量最佳
C．1月上旬空气质量指数比12月下旬的波动性更大
D．以上21天空气质量指数的中位数对应的等级为良
4．执行如图所示的程序框图，若输入x＝12，则输出y的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
5．下列说法正确的是（ ）
①10111（2）＞26（8）；
②用辗转相除法求得459和357的最大公约数是61；
③能使y的值为3的赋值语句是y+2＝5；
④用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5﹣2x3+x2﹣1在x＝2的值时，v3的值是5．
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
6．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（ ）
A．0.16 B．0.12 C．0.18 D．0.58
7．设x∈R，则“x＞1”是“＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知命题p：函数y＝2﹣ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（1，2）；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
9．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．2
11．已知点（x，y）是曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C． D．
12．已知A（﹣4，0），B是圆（x﹣1）2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9 B． C．10 D．12
二．填空题（共4小题，共20分）
13．命题“若x＞y，则x＞y﹣1”的否定是 ．
14．明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象．他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为 ．
15．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率是，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则：
（1）其渐近线方程是 ；
（2）tan∠AF1F2＝ ．
16．若点（3，1）是抛物线y2＝2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝ ．
三．解答题（共6小题，共70分）
17．（1）若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4＝0上，求此抛物线的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆+＝1共焦点，且以y＝±x为渐近线，求此双曲线的标准方程．
18．已知a∈R，命题p：?x∈[1，2]，a≤x2；命题q：?x0∈R，x02+2ax0﹣（a﹣2）＝0．
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求a的取值范围．
19．某商场在“五一”促销活动中，为了了解消费额在5千元以下（含5千元）的顾客的消费分布情况，从这些顾客中随机抽取了100位顾客的消费数据（单位：千元），按（0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）消费在4千元以上为高消费，求高消费的人数；
（2）现采用分层抽样的方法从（0，1）和[2，3）两组顾客中抽取4人进行满意度调查，再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客，求所抽取的2位幸运顾客都来自[2，3）组的概率．
20．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
月份i 7 8 9 10 11 12
销售单位xi（元） 9 9.5 10 10.5 11 8.5
销售量yi（件） 11 10 8 6 5 14
（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入﹣成本）．参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：，．
21．在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1（y＞0）．
（1）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求线段AB的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标；
（3）如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值．
22．已知圆，动圆M与圆F外切，且与直线相切，该动圆圆心M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F（0，1）作斜率为k的直线l与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与直线y＝﹣1交于点N，求△ABN面积S的表达式（用k表示）．
参考答案
一．选择题（共12小题）.
1．在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面zOx的对称点为B，则A、B两点间的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
解：根据题意，点A（2，﹣1，3）关于平面zOx的对称点为B，
则B的坐标为（2，1，3），
则A、B两点间的距离d＝|1﹣（﹣1）|＝2；
故选：B．
2．已知圆C1：x2+y2＝3和圆C2：（x+1）2+（y﹣3）2＝12，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
解：∵圆C1：x2+y2＝3的圆心C1（0，0），半径r1＝，
圆C2：（x+1）2+（y﹣3）2＝12的圆心C2（﹣1，3），半径r2＝2，
＝r2﹣r1＜|C1C2|＝＜r1+r2＝3，
∴圆C1和圆C2相交，
故选：C．
3．多年来，某市持续推动创建文明城市工作，通过净化出行环境、改造生活设施、扩建园林绿化等，空气质量稳步提升．如图是空气质量指数与相应等级对照表以及该市12月21日至第二年1月10日的空气质量指数图，下面结论中不正确的是（ ）
空气质量指数 空气质量等级
0﹣50 优
51﹣100 良
101﹣150 轻度污染
151﹣200 中度污染
201﹣300 重度污染
＞300 严重污染
A．1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量等级
B．以上21天中12月30号空气质量等级为优，空气质量最佳
C．1月上旬空气质量指数比12月下旬的波动性更大
D．以上21天空气质量指数的中位数对应的等级为良
解：A．1月上旬的空气质量等级除4日是112以外，其余都在100以下．都为良，
12月下旬空气质量都在100以上，等级在良和轻度污染，
则1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量等级，故A正确，
B．以上21天中12月30号空气质量低于50等级为优，空气质量最佳，故B正确，
C.1月上旬空气质量指数都在100以下，空气质量为优良，波动较小，
而12月下旬的空气质量有量，轻度污染，中度污染，空气质量波动较大，故C错误，
D．以上21天中的数据有11个数据低于100，11个数据为优良，
则21天的中位数为良，故D正确
故选：C．
4．执行如图所示的程序框图，若输入x＝12，则输出y的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
解：模拟程序框图的运行过程，如下；
x＝12，y＝×12﹣1＝5，|5﹣12|＜1，否；
x＝5，y＝×5﹣1＝，|﹣5|＜1，否；
x＝，y＝×﹣1＝﹣，|﹣﹣|＜1，否；
x＝﹣，y＝×（﹣）﹣1＝﹣，|﹣﹣（﹣）|＜1，是；
输出y＝﹣．
故选：A．
5．下列说法正确的是（ ）
①10111（2）＞26（8）；
②用辗转相除法求得459和357的最大公约数是61；
③能使y的值为3的赋值语句是y+2＝5；
④用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5﹣2x3+x2﹣1在x＝2的值时，v3的值是5．
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
解：∵10111（2）＝1+2+4+16＝23（10），
26（8）＝16+6＝22（10），
∴10111（2）＞26（8），故①正确；
用辗转相除法求得459和357的最大公约数：
459÷357＝1…102，
357÷102＝3…51，
102÷51＝2，
求得459和357的最大公约数是51，故②错误；
能使y的值为3的赋值语句是y←3，故③错误；
用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5﹣2x3+x2﹣1，
可写为f（x）＝x（x（x（x?（x+0）﹣2）+1））﹣1，即有v1＝2，v2＝4﹣2＝2，v3＝4+1＝5，故④正确．
∴正确的命题是①④．
故选：C．
6．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（ ）
A．0.16 B．0.12 C．0.18 D．0.58
解：一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，
其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，
则不中奖的概率为P＝1﹣0.1﹣0.32﹣0.42＝0.16．
故选：A．
7．设x∈R，则“x＞1”是“＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：“”解得x＜0或x＞1，
故“x＞1”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
8．已知命题p：函数y＝2﹣ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（1，2）；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
解：函数y＝2﹣ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（﹣1，1），故命题p为假命题，
若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝1对称，故命题q为真命题，
所以p∧q为假命题，p∧（￢q）为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，p∨q为真命题．
故选：D．
9．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：在直角三角形AFB中，AO⊥BF，
由射影定理可得OA2＝OF?OB，
即b2＝ac，
所以 a2﹣c2＝ac，
整理可得e2+e﹣1＝0，解得e＝，
因为e∈（0，1），
所以e＝，
故选：D．
10．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．2
解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|＝m，
∵|AF|＝3，
∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3
∴2+3cosθ＝3
∴cosθ＝
∵m＝2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S＝＝
故选：C．
11．已知点（x，y）是曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C． D．
解：曲线表示以原点为圆心，半径为2的上半个圆，
的几何意义是半圆上的点与P（3，2）连线的斜率，如图：
A（0，2），B（2，0），kPA＝0，kPB＝＝2，
所以的取值范围是[0，2]．
故选：B．
12．已知A（﹣4，0），B是圆（x﹣1）2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9 B． C．10 D．12
解：设点C（1，4），点B在圆上，则|PB|≥|PC|﹣r＝|PC|﹣1，由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A'为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知：|PA|＝|PA′|+2a＝|PA′|+6，
所以|PA|+|PB|＝|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6﹣1≥|A'C|+5＝5+5＝10，
故选：C．
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“若x＞y，则x＞y﹣1”的否定是 若x＞y，则x≤y﹣1 ．
解：根据命题的否定的方法：条件不变，否定结论，
所以命题“若x＞y，则x＞y﹣1”的否定是“若x＞y，则x≤y﹣1”．
故答案为：若x＞y，则x≤y﹣1．
14．明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象．他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为 ．
解：设大圆的面积为S1，小圆的面积为S2，
则S1＝36π，S2＝4π，
∴黑色区域的面积为（S1﹣S2）＝16π，
∴点落在白色区域的概率为 1﹣＝．
故答案为：．
15．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率是，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则：
（1）其渐近线方程是 y＝±x ；
（2）tan∠AF1F2＝ ．
解：设双曲线的半焦距为c，可得e＝＝，即＝，
所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x；
当x＝c时，y＝±b＝±，
则tan∠AF1F2＝＝＝＝．
故答案为：y＝±x；．
16．若点（3，1）是抛物线y2＝2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝ 2 ．
解：过点（3，1）且斜率为2的直线方程为y＝2x﹣5
代入抛物线y2＝2px，可得（2x﹣5）2＝2px，即4x2﹣（20+2p）x+25＝0
∴
∴p＝2
故答案为：2
三．解答题（共6小题，共70分）
17．（1）若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4＝0上，求此抛物线的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆+＝1共焦点，且以y＝±x为渐近线，求此双曲线的标准方程．
解：（1）直线x﹣2y﹣4＝0与坐标轴的交点分别为（4，0），（0，﹣2），
若焦点为（4，0），可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），由＝4，即p＝8，
抛物线的方程为y2＝16x；
若焦点为（0，﹣2），可设抛物线的方程为x2＝﹣2py（p＞0），由﹣＝﹣2，即p＝4，
抛物线的方程为x2＝﹣8y，
综上可得，所求抛物线的方程为y2＝16x或x2＝﹣8y；
（2）椭圆+＝1的焦点为（±4，0），
设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），则a2+b2＝48，
由渐近线y＝±x，可得＝，
解得a＝2，b＝6，
可得双曲线的方程为﹣＝1．
18．已知a∈R，命题p：?x∈[1，2]，a≤x2；命题q：?x0∈R，x02+2ax0﹣（a﹣2）＝0．
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求a的取值范围．
解：（1）?x∈[1，2]，a≤x2，则a≤1．即p：a≤1，
若：?x0∈R，x02+2ax0﹣（a﹣2）＝0为真命题，则判别式△＝4a2+4（a﹣2）≥0，
即a2+a﹣2≥0，得a≥1或a≤﹣2，即q：a≥1或a≤﹣2，
若p是真命题，则a≤1，即a的最大值是1．
（2）若p∨q是真命题，p∧q是假命题，
则p，q一个为真命题，一个为假命题，
若p真q假，则，得﹣2＜a＜1，
若p假q真，则，得a＞1，
综上实数a的取值范围是﹣2＜a＜1或a＞1．
19．某商场在“五一”促销活动中，为了了解消费额在5千元以下（含5千元）的顾客的消费分布情况，从这些顾客中随机抽取了100位顾客的消费数据（单位：千元），按（0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）消费在4千元以上为高消费，求高消费的人数；
（2）现采用分层抽样的方法从（0，1）和[2，3）两组顾客中抽取4人进行满意度调查，再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客，求所抽取的2位幸运顾客都来自[2，3）组的概率．
解：（1）由频率分布直方图得消费在4千元以上的频率为0.10，
∴高消费的人数为100×0.10＝10（人）．
（2）现采用分层抽样的方法从（0，1）和[2，3）两组顾客中抽取4人进行满意度调查，
则从（0，1）中抽取：4×＝1人，从[2，3）中抽取：4×＝3人，
再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客，
基本事件总数n＝＝6，
所抽取的2位幸运顾客都来自[2，3）组包含的基本事件人数m＝＝3，
∴所抽取的2位幸运顾客都来自[2，3）组的概率P＝＝＝．
20．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
月份i 7 8 9 10 11 12
销售单位xi（元） 9 9.5 10 10.5 11 8.5
销售量yi（件） 11 10 8 6 5 14
（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入﹣成本）．参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：，．
解：（1）∵，，
∴，则，
于是y关于x的回归直线方程为；
（2）当x＝8.5时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的；
（3）令销售利润为W，则W＝（x﹣2.5）（﹣3.2x+40）＝﹣3.2x2+48x﹣100＝﹣3.2（x﹣7.5）2+80，
∴当x＝7.5时，W取最大值．
则该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．
21．在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1（y＞0）．
（1）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求线段AB的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标；
（3）如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值．
解：（1）设点B的坐标为（x0，y0），则y0＞0，设线段AB的中点为点M（x，y），
由于点B在曲线Γ上，则 x02+y02＝1，①
因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得 x0＝2x﹣2，y0＝2y，
代入①式得（2x﹣2）2+y2＝1，化简得（x﹣1）2+y2＝，其中y＞0；
（2）设B（x0，y0），0＜y0≤1，
三角形OAB的面积为?2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B（0，1）；
（3）如下图所示，易知点D（2，2），
结合图形可知，点C在右半圆D：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上运动，
问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，
连接OD并延长交右半圆D于点C'，当点C与点C'重合时，|OC|取最大值，
且|OC|max＝|OD|+1＝2+1．
22．已知圆，动圆M与圆F外切，且与直线相切，该动圆圆心M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F（0，1）作斜率为k的直线l与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与直线y＝﹣1交于点N，求△ABN面积S的表达式（用k表示）．
解：（1）设M（x，y），动圆半径为r，因为动圆M与圆外切，
所以，又动圆M与直线相切，所以由题意可得：，
即|MF|＝y+1，即x2+（y﹣1）2＝（y+1）2，整理得：x2＝4y；
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y＝kx+1，
联立，
消去y可得，x2﹣4kx﹣4＝0，
由韦达定理有
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．
所以．
由，得，
所以过A点的切线方程为，又，
所以切线方程可化为．令y＝﹣1，
可得，
所以点N（2k，﹣1），
所以点N到直线l的距离，
所以．
一．选择题（共12小题）.
1．在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面zOx的对称点为B，则A、B两点间的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．已知圆C1：x2+y2＝3和圆C2：（x+1）2+（y﹣3）2＝12，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
3．多年来，某市持续推动创建文明城市工作，通过净化出行环境、改造生活设施、扩建园林绿化等，空气质量稳步提升．如图是空气质量指数与相应等级对照表以及该市12月21日至第二年1月10日的空气质量指数图，下面结论中不正确的是（ ）
空气质量指数 空气质量等级
0﹣50 优
51﹣100 良
101﹣150 轻度污染
151﹣200 中度污染
201﹣300 重度污染
＞300 严重污染
A．1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量等级
B．以上21天中12月30号空气质量等级为优，空气质量最佳
C．1月上旬空气质量指数比12月下旬的波动性更大
D．以上21天空气质量指数的中位数对应的等级为良
4．执行如图所示的程序框图，若输入x＝12，则输出y的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
5．下列说法正确的是（ ）
①10111（2）＞26（8）；
②用辗转相除法求得459和357的最大公约数是61；
③能使y的值为3的赋值语句是y+2＝5；
④用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5﹣2x3+x2﹣1在x＝2的值时，v3的值是5．
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
6．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（ ）
A．0.16 B．0.12 C．0.18 D．0.58
7．设x∈R，则“x＞1”是“＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知命题p：函数y＝2﹣ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（1，2）；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
9．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．2
11．已知点（x，y）是曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C． D．
12．已知A（﹣4，0），B是圆（x﹣1）2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9 B． C．10 D．12
二．填空题（共4小题，共20分）
13．命题“若x＞y，则x＞y﹣1”的否定是 ．
14．明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象．他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为 ．
15．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率是，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则：
（1）其渐近线方程是 ；
（2）tan∠AF1F2＝ ．
16．若点（3，1）是抛物线y2＝2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝ ．
三．解答题（共6小题，共70分）
17．（1）若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4＝0上，求此抛物线的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆+＝1共焦点，且以y＝±x为渐近线，求此双曲线的标准方程．
18．已知a∈R，命题p：?x∈[1，2]，a≤x2；命题q：?x0∈R，x02+2ax0﹣（a﹣2）＝0．
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求a的取值范围．
19．某商场在“五一”促销活动中，为了了解消费额在5千元以下（含5千元）的顾客的消费分布情况，从这些顾客中随机抽取了100位顾客的消费数据（单位：千元），按（0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）消费在4千元以上为高消费，求高消费的人数；
（2）现采用分层抽样的方法从（0，1）和[2，3）两组顾客中抽取4人进行满意度调查，再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客，求所抽取的2位幸运顾客都来自[2，3）组的概率．
20．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
月份i 7 8 9 10 11 12
销售单位xi（元） 9 9.5 10 10.5 11 8.5
销售量yi（件） 11 10 8 6 5 14
（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入﹣成本）．参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：，．
21．在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1（y＞0）．
（1）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求线段AB的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标；
（3）如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值．
22．已知圆，动圆M与圆F外切，且与直线相切，该动圆圆心M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F（0，1）作斜率为k的直线l与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与直线y＝﹣1交于点N，求△ABN面积S的表达式（用k表示）．
参考答案
一．选择题（共12小题）.
1．在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面zOx的对称点为B，则A、B两点间的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
解：根据题意，点A（2，﹣1，3）关于平面zOx的对称点为B，
则B的坐标为（2，1，3），
则A、B两点间的距离d＝|1﹣（﹣1）|＝2；
故选：B．
2．已知圆C1：x2+y2＝3和圆C2：（x+1）2+（y﹣3）2＝12，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
解：∵圆C1：x2+y2＝3的圆心C1（0，0），半径r1＝，
圆C2：（x+1）2+（y﹣3）2＝12的圆心C2（﹣1，3），半径r2＝2，
＝r2﹣r1＜|C1C2|＝＜r1+r2＝3，
∴圆C1和圆C2相交，
故选：C．
3．多年来，某市持续推动创建文明城市工作，通过净化出行环境、改造生活设施、扩建园林绿化等，空气质量稳步提升．如图是空气质量指数与相应等级对照表以及该市12月21日至第二年1月10日的空气质量指数图，下面结论中不正确的是（ ）
空气质量指数 空气质量等级
0﹣50 优
51﹣100 良
101﹣150 轻度污染
151﹣200 中度污染
201﹣300 重度污染
＞300 严重污染
A．1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量等级
B．以上21天中12月30号空气质量等级为优，空气质量最佳
C．1月上旬空气质量指数比12月下旬的波动性更大
D．以上21天空气质量指数的中位数对应的等级为良
解：A．1月上旬的空气质量等级除4日是112以外，其余都在100以下．都为良，
12月下旬空气质量都在100以上，等级在良和轻度污染，
则1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量等级，故A正确，
B．以上21天中12月30号空气质量低于50等级为优，空气质量最佳，故B正确，
C.1月上旬空气质量指数都在100以下，空气质量为优良，波动较小，
而12月下旬的空气质量有量，轻度污染，中度污染，空气质量波动较大，故C错误，
D．以上21天中的数据有11个数据低于100，11个数据为优良，
则21天的中位数为良，故D正确
故选：C．
4．执行如图所示的程序框图，若输入x＝12，则输出y的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
解：模拟程序框图的运行过程，如下；
x＝12，y＝×12﹣1＝5，|5﹣12|＜1，否；
x＝5，y＝×5﹣1＝，|﹣5|＜1，否；
x＝，y＝×﹣1＝﹣，|﹣﹣|＜1，否；
x＝﹣，y＝×（﹣）﹣1＝﹣，|﹣﹣（﹣）|＜1，是；
输出y＝﹣．
故选：A．
5．下列说法正确的是（ ）
①10111（2）＞26（8）；
②用辗转相除法求得459和357的最大公约数是61；
③能使y的值为3的赋值语句是y+2＝5；
④用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5﹣2x3+x2﹣1在x＝2的值时，v3的值是5．
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
解：∵10111（2）＝1+2+4+16＝23（10），
26（8）＝16+6＝22（10），
∴10111（2）＞26（8），故①正确；
用辗转相除法求得459和357的最大公约数：
459÷357＝1…102，
357÷102＝3…51，
102÷51＝2，
求得459和357的最大公约数是51，故②错误；
能使y的值为3的赋值语句是y←3，故③错误；
用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5﹣2x3+x2﹣1，
可写为f（x）＝x（x（x（x?（x+0）﹣2）+1））﹣1，即有v1＝2，v2＝4﹣2＝2，v3＝4+1＝5，故④正确．
∴正确的命题是①④．
故选：C．
6．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（ ）
A．0.16 B．0.12 C．0.18 D．0.58
解：一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，
其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，
则不中奖的概率为P＝1﹣0.1﹣0.32﹣0.42＝0.16．
故选：A．
7．设x∈R，则“x＞1”是“＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：“”解得x＜0或x＞1，
故“x＞1”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
8．已知命题p：函数y＝2﹣ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（1，2）；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
解：函数y＝2﹣ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（﹣1，1），故命题p为假命题，
若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝1对称，故命题q为真命题，
所以p∧q为假命题，p∧（￢q）为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，p∨q为真命题．
故选：D．
9．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：在直角三角形AFB中，AO⊥BF，
由射影定理可得OA2＝OF?OB，
即b2＝ac，
所以 a2﹣c2＝ac，
整理可得e2+e﹣1＝0，解得e＝，
因为e∈（0，1），
所以e＝，
故选：D．
10．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．2
解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|＝m，
∵|AF|＝3，
∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3
∴2+3cosθ＝3
∴cosθ＝
∵m＝2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S＝＝
故选：C．
11．已知点（x，y）是曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C． D．
解：曲线表示以原点为圆心，半径为2的上半个圆，
的几何意义是半圆上的点与P（3，2）连线的斜率，如图：
A（0，2），B（2，0），kPA＝0，kPB＝＝2，
所以的取值范围是[0，2]．
故选：B．
12．已知A（﹣4，0），B是圆（x﹣1）2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9 B． C．10 D．12
解：设点C（1，4），点B在圆上，则|PB|≥|PC|﹣r＝|PC|﹣1，由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A'为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知：|PA|＝|PA′|+2a＝|PA′|+6，
所以|PA|+|PB|＝|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6﹣1≥|A'C|+5＝5+5＝10，
故选：C．
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“若x＞y，则x＞y﹣1”的否定是 若x＞y，则x≤y﹣1 ．
解：根据命题的否定的方法：条件不变，否定结论，
所以命题“若x＞y，则x＞y﹣1”的否定是“若x＞y，则x≤y﹣1”．
故答案为：若x＞y，则x≤y﹣1．
14．明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象．他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为 ．
解：设大圆的面积为S1，小圆的面积为S2，
则S1＝36π，S2＝4π，
∴黑色区域的面积为（S1﹣S2）＝16π，
∴点落在白色区域的概率为 1﹣＝．
故答案为：．
15．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率是，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则：
（1）其渐近线方程是 y＝±x ；
（2）tan∠AF1F2＝ ．
解：设双曲线的半焦距为c，可得e＝＝，即＝，
所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x；
当x＝c时，y＝±b＝±，
则tan∠AF1F2＝＝＝＝．
故答案为：y＝±x；．
16．若点（3，1）是抛物线y2＝2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝ 2 ．
解：过点（3，1）且斜率为2的直线方程为y＝2x﹣5
代入抛物线y2＝2px，可得（2x﹣5）2＝2px，即4x2﹣（20+2p）x+25＝0
∴
∴p＝2
故答案为：2
三．解答题（共6小题，共70分）
17．（1）若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4＝0上，求此抛物线的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆+＝1共焦点，且以y＝±x为渐近线，求此双曲线的标准方程．
解：（1）直线x﹣2y﹣4＝0与坐标轴的交点分别为（4，0），（0，﹣2），
若焦点为（4，0），可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），由＝4，即p＝8，
抛物线的方程为y2＝16x；
若焦点为（0，﹣2），可设抛物线的方程为x2＝﹣2py（p＞0），由﹣＝﹣2，即p＝4，
抛物线的方程为x2＝﹣8y，
综上可得，所求抛物线的方程为y2＝16x或x2＝﹣8y；
（2）椭圆+＝1的焦点为（±4，0），
设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），则a2+b2＝48，
由渐近线y＝±x，可得＝，
解得a＝2，b＝6，
可得双曲线的方程为﹣＝1．
18．已知a∈R，命题p：?x∈[1，2]，a≤x2；命题q：?x0∈R，x02+2ax0﹣（a﹣2）＝0．
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求a的取值范围．
解：（1）?x∈[1，2]，a≤x2，则a≤1．即p：a≤1，
若：?x0∈R，x02+2ax0﹣（a﹣2）＝0为真命题，则判别式△＝4a2+4（a﹣2）≥0，
即a2+a﹣2≥0，得a≥1或a≤﹣2，即q：a≥1或a≤﹣2，
若p是真命题，则a≤1，即a的最大值是1．
（2）若p∨q是真命题，p∧q是假命题，
则p，q一个为真命题，一个为假命题，
若p真q假，则，得﹣2＜a＜1，
若p假q真，则，得a＞1，
综上实数a的取值范围是﹣2＜a＜1或a＞1．
19．某商场在“五一”促销活动中，为了了解消费额在5千元以下（含5千元）的顾客的消费分布情况，从这些顾客中随机抽取了100位顾客的消费数据（单位：千元），按（0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）消费在4千元以上为高消费，求高消费的人数；
（2）现采用分层抽样的方法从（0，1）和[2，3）两组顾客中抽取4人进行满意度调查，再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客，求所抽取的2位幸运顾客都来自[2，3）组的概率．
解：（1）由频率分布直方图得消费在4千元以上的频率为0.10，
∴高消费的人数为100×0.10＝10（人）．
（2）现采用分层抽样的方法从（0，1）和[2，3）两组顾客中抽取4人进行满意度调查，
则从（0，1）中抽取：4×＝1人，从[2，3）中抽取：4×＝3人，
再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客，
基本事件总数n＝＝6，
所抽取的2位幸运顾客都来自[2，3）组包含的基本事件人数m＝＝3，
∴所抽取的2位幸运顾客都来自[2，3）组的概率P＝＝＝．
20．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
月份i 7 8 9 10 11 12
销售单位xi（元） 9 9.5 10 10.5 11 8.5
销售量yi（件） 11 10 8 6 5 14
（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入﹣成本）．参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：，．
解：（1）∵，，
∴，则，
于是y关于x的回归直线方程为；
（2）当x＝8.5时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的；
（3）令销售利润为W，则W＝（x﹣2.5）（﹣3.2x+40）＝﹣3.2x2+48x﹣100＝﹣3.2（x﹣7.5）2+80，
∴当x＝7.5时，W取最大值．
则该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．
21．在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1（y＞0）．
（1）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求线段AB的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标；
（3）如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值．
解：（1）设点B的坐标为（x0，y0），则y0＞0，设线段AB的中点为点M（x，y），
由于点B在曲线Γ上，则 x02+y02＝1，①
因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得 x0＝2x﹣2，y0＝2y，
代入①式得（2x﹣2）2+y2＝1，化简得（x﹣1）2+y2＝，其中y＞0；
（2）设B（x0，y0），0＜y0≤1，
三角形OAB的面积为?2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B（0，1）；
（3）如下图所示，易知点D（2，2），
结合图形可知，点C在右半圆D：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上运动，
问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，
连接OD并延长交右半圆D于点C'，当点C与点C'重合时，|OC|取最大值，
且|OC|max＝|OD|+1＝2+1．
22．已知圆，动圆M与圆F外切，且与直线相切，该动圆圆心M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F（0，1）作斜率为k的直线l与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与直线y＝﹣1交于点N，求△ABN面积S的表达式（用k表示）．
解：（1）设M（x，y），动圆半径为r，因为动圆M与圆外切，
所以，又动圆M与直线相切，所以由题意可得：，
即|MF|＝y+1，即x2+（y﹣1）2＝（y+1）2，整理得：x2＝4y；
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y＝kx+1，
联立，
消去y可得，x2﹣4kx﹣4＝0，
由韦达定理有
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．
所以．
由，得，
所以过A点的切线方程为，又，
所以切线方程可化为．令y＝﹣1，
可得，
所以点N（2k，﹣1），
所以点N到直线l的距离，
所以．
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