2020-2021学年山东省烟台市莱州高二下学期开学数学试卷 （Word解析版）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年山东省烟台市莱州高二下学期开学数学试卷 （Word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-10 09:24:45 | ||
图片预览
文档简介
2020-2021学年山东省烟台市莱州高二（下）开学数学试卷
一、单选题（共10小题）.
1．已知相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点在（ ）上
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
2．若抛物线x2＝my过点（1，﹣4），则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
3．一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（ ）
A．6 B．14 C．49 D．84
4．与双曲线有公共焦点且离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
6．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）
A．12 B．64 C．81 D．24
7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．13 C．16 D．22
8．将数列{2n+1}与{3n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，若an＝2019，则n＝（ ）
A．337 B．520 C．360 D．2020
9．椭圆＝1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差为d的取值集合为（ ）
A．{4，5，6，7} B．{4，5，6} C．{3，4，5，6} D．{3，4，5，6，7}
10．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点P、Q，若QP＝QF2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二.多选题（共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
11．已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝S9，则（ ）
A．a7＞0 B．S7最大 C．S14＞0 D．S13＞0
12．数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，下列说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．
C．数列{an}是递减数列
D．{an}的前n项和
13．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），A1，A2，B1，B2分别为左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（ ）
A．|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2
B．∠F1B1A2＝90°
C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1
D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
14．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，
以下运算和结论正确的是（ ）
A．
B．数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…，是等比数列
C．数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…，的前n项和为
D．若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则
15．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线D1P与AC所成的角可能是
B．平面D1A1P⊥平面A1AP
C．三棱锥D1﹣CDP的体积为定值
D．平面APD1截正方体所得的截面可能是直角三角形
三、填空题（共5小题，共25分）
16．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有，则等于 ．
17．已知M是抛物线y2＝4x上一点，F为其焦点，点A在圆（x﹣5）2+（y+1）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是 ．
18．学校食堂在某天中午备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐 种．
19．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为 ．
20．（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后共有 项．
四、解答题
21．动点与定点F1（3，0）的距离和M到定直线的距离的比是常数．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设F2（﹣3，0），点P为M轨迹上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
22．已知数列{an}的各项均为正数，{bn}为等比数列，an+12﹣2an+1＝an2+2an，a1＝b1＝1，b2＝a2﹣1．
①求数列{an}、{bn}的通项公式；
②求数列{anbn}的前n项和Sn．
23．（20分）平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点W在抛物线C上，且|FW|＝2|OF|，|OW|＝．F关于原点的对称点为F′，圆F的半径等于4，以Z为圆心的动圆过F′且与圆F相切．
（1）求动点Z的轨迹曲线E的标准方程；
（2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是k1，k2，且k1k2＝．
（ⅰ）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；
（ⅱ）证明：AB∥CD．
参考答案
一、单选题（共10小题）.
1．已知相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点在（ ）上
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，则A（﹣700，0）、B（700，0），
设M（x，y）为曲线上任一点，
则||MA|﹣|MB||＝340×3＝1020＜1400．
∴M点轨迹为双曲线，且a＝510，c＝700．
∴b2＝c2﹣a2＝（c+a）（c﹣a）＝1210×190．
∴M点轨迹方程为：．
故选：D．
2．若抛物线x2＝my过点（1，﹣4），则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
解：∵抛物线x2＝my经过点（1，﹣4），
∴﹣4m＝1，
∴抛物线标准方程为x2＝﹣y，
∴抛物线焦点坐标为（0，﹣）．
故选：A．
3．一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（ ）
A．6 B．14 C．49 D．84
解：根据分类分步计数原理可得（2+2+3）×（4+3）＝49种，
故选：C．
4．与双曲线有公共焦点且离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：双曲线与椭圆有公共焦点，可得c＝8，
椭圆的离心率为，可得a＝10，则b＝6，
则该椭圆方程为：＝1．
故选：C．
5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
解：根据题意，如图：
△ABF2的周长为16，则有|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，则a＝4，
又由其离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2﹣c2＝16﹣8＝8；
又由其焦点在x轴上，则其标准方程为+＝1；
故选：D．
6．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）
A．12 B．64 C．81 D．24
解：根据题意，先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法，
同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，
依此类推，每位同学都有3种安排方法，
因此，根据分步乘法计数原理共有34＝81种分配方法，
故选：C．
7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．13 C．16 D．22
解：由于a1＝1，所以a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝4，a4＝2a3﹣1＝7，a5＝2a4+2＝16．
故选：C．
8．将数列{2n+1}与{3n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，若an＝2019，则n＝（ ）
A．337 B．520 C．360 D．2020
解：根据题意，数列{2n+1}：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，…，
数列{3n}：3，6，9，12，15，18，21，…，
∴它们的公共项构成的数列{an}：3，9，15，21，…，
∴数列{an}是首项为3，公差为6的等差数列，则an＝6n﹣3，
若an＝2019，即6n﹣3＝2019，解可得n＝337，
故选：A．
9．椭圆＝1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差为d的取值集合为（ ）
A．{4，5，6，7} B．{4，5，6} C．{3，4，5，6} D．{3，4，5，6，7}
解：椭圆＝1的a＝，b＝，c＝＝，
右焦点为（，0），令x＝，代入椭圆方程可得y＝±×＝±2，
则过右焦点的最短弦的弦长为a1＝4，最长弦长为圆的直径长an＝5，
∴4+（n﹣1）d＝5，d＝，
∵d∈[，]，
∴≤≤，
∴4≤n≤7，n∈N，
故选：A．
10．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点P、Q，若QP＝QF2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
过点F1且斜率为的直线为：
y＝（x+c），QP＝QF2，
|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝，可得：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2ccos，
解得2b＝a，所以e2﹣e﹣3＝0，e＞1，
可得e＝
故选：C．
二.多选题（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
11．已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝S9，则（ ）
A．a7＞0 B．S7最大 C．S14＞0 D．S13＞0
解：∵递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝S9，
∴，
解得a1＝﹣，
故a7＞0，
S13＞0，S14＜0，
∴Sn＝na1+＝﹣+＝（n2﹣14n）＝（n﹣7）2﹣．
∴当n＝7时，Sn取最大值．
故选：ABD．
12．数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，下列说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．
C．数列{an}是递减数列
D．{an}的前n项和
解：∵数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，
∴an+1＝3an+1，∴an+1+＝3（an+），
∵＝，
∴数列为首项为，公比为3的等比数列，故A正确；
＝＝，∴，故B正确；
数列{an}是递增数列，故C错误；
数列的前n项和为：Sn′＝＝（3n﹣1）＝﹣，
∴{an}的前n项和Sn＝Sn'﹣＝﹣﹣，故D错误．
故选：AB．
13．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），A1，A2，B1，B2分别为左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（ ）
A．|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2
B．∠F1B1A2＝90°
C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1
D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
解：由椭圆C：＝1（a＞b＞0），可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），
对于A，|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2，即为（a﹣c）2＝（2c）2，所以a﹣c＝2c，即e＝＝，不符题意，A错误；
对于B，若∠F1B1A2＝90°，则|A2F1|2＝|B1F1|2+|B1A2|2，即（a+c）2＝a2+（a2+b2），所以c2+ac﹣a2＝0，
即有e2+e﹣1＝0，解得e＝（舍去），符合题意，B正确；
对于C，若PF1⊥x轴，且PO∥A2B1，所以P（﹣c，），
由kPO＝k，可得＝，解得b＝c，又a2＝b2+c2，所以e＝＝＝，不符题意，故C错误；
对于D，若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，
即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，则ab＝c，结合b2＝a2﹣c2，
所以c4﹣3a2c2+a4＝0，即e4﹣3e2+1＝0，解得e2＝（舍去）或e2＝，所以e＝，故D正确．
故选：BD．
14．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，
以下运算和结论正确的是（ ）
A．
B．数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…，是等比数列
C．数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…，的前n项和为
D．若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则
解：以2﹣7为分母的数共有1+2+3+…6＝21个，故，，，故A正确；
为等差数列，故B错误；
数列的前n项和为，故C正确；
根据（3）知：，
即S21＝10.5＞10；，此时，故D正确．
故选：ACD．
15．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线D1P与AC所成的角可能是
B．平面D1A1P⊥平面A1AP
C．三棱锥D1﹣CDP的体积为定值
D．平面APD1截正方体所得的截面可能是直角三角形
解：对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
D1（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），设P（1，a，b），（0＜a＜1，0＜b＜1），
＝（1，a，b﹣1），＝（﹣1，1，0），
cos＜，＞＝＝＜0，
∵0＜a＜1，0＜b＜1，
又当a＝1时，＜＞＝，
当a＝0，b＝1时，＜＞＝，
∴＜＜＞＜，
∴直线D1P与AC所成的角为（），故A错误；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1⊥AA1，A1D1⊥AB，
∵AA1∩AB＝A，∴A1D1⊥平面A1AP，
∵A1D1⊥平面D1A1P，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故B正确；
对于C，∵＝，P到平面CDD1的距离BC＝1，
∴三棱锥D1﹣CDP的体积：
＝，为定值，故C正确；
对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
16．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有，则等于 ．
解：因为等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且都有，
所以＝＝．
故答案为：．
17．已知M是抛物线y2＝4x上一点，F为其焦点，点A在圆（x﹣5）2+（y+1）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是 5 ．
解：M是抛物线y2＝4x上的，抛物线的准线方程为：x＝﹣1，
过点M作MN⊥准线与N，则|MN|＝|MF|，
∴|MA|+|MF|＝|MA|+|MN|，
∵A在圆C：（x﹣5）2+（y+1）2＝1上，圆心C（5，﹣1），半径r＝1，
∴当N，M，C三点共线时，
|MA|+|MF|的最小值为1+5﹣1＝5，
故答案为：5．
18．学校食堂在某天中午备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐 48 种．
解：根据题意，要配成一荤一素一汤的套餐，
有6种素菜，则素菜的选法有6种，
4种荤菜，则荤菜的选法有4种，
2种汤，则汤的选法有2种，
故可以配制6×4×2＝48种不同的套餐；
故答案为：48
19．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为 ．
解：∵数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，
∴bn＝＝＝，
∴{bn}的前10项之和为：
S10＝（）+（）+（）+…+（）＝．
故答案为：．
20．（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后共有 36 项．
解：（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后共有 3×3×4＝36项，
故答案为：36．
四、解答题
21．动点与定点F1（3，0）的距离和M到定直线的距离的比是常数．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设F2（﹣3，0），点P为M轨迹上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：（1）设d是点M到直线l的距离，则，即，
化简得16x2+25y2＝400，所以动点M的轨迹方程为．
（2）由（1）知，动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，所以|PF1|+|PF2|＝10，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
所以，整理得，
所以．
22．已知数列{an}的各项均为正数，{bn}为等比数列，an+12﹣2an+1＝an2+2an，a1＝b1＝1，b2＝a2﹣1．
①求数列{an}、{bn}的通项公式；
②求数列{anbn}的前n项和Sn．
解：①由an+12﹣2an+1＝an2+2an，
化简整理，可得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）＝0，
∵an+1+an＞0，
∴an+1﹣an﹣2＝0，即an+1﹣an＝2，
∵a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝1+2×（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，
又b2＝a2﹣1＝2×2﹣1﹣1＝2，
设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝2，
故bn＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*；
②∵anbn＝（2n﹣1）?2n﹣1，
∴Sn＝a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝1×1+3×21+5×22+…+（2n﹣1）?2n﹣1，
2Sn＝1×21+3×22+…+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）?2n，
两式相减，可得﹣Sn＝1+2×21+2×22+…+2×2n﹣1﹣（2n﹣1）?2n
＝1+2×（21+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）?2n
＝1+2×﹣（2n﹣1）?2n＝﹣（2n﹣3）?2n﹣3，
∴Sn＝（2n﹣3）?2n+3．
23．（20分）平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点W在抛物线C上，且|FW|＝2|OF|，|OW|＝．F关于原点的对称点为F′，圆F的半径等于4，以Z为圆心的动圆过F′且与圆F相切．
（1）求动点Z的轨迹曲线E的标准方程；
（2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是k1，k2，且k1k2＝．
（ⅰ）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；
（ⅱ）证明：AB∥CD．
解：（1）不妨设点W在第一象限，
由题知：，所以，所以W（），
所以|OW|＝＝，解得p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x，F（1，0），F′（﹣1，0），
设动圆Z的半径为r，由题意知：|ZF'|＝r，|ZF|＝4﹣r，
所以|ZF|+|ZF'|＝4＞|FF'|＝2，
所以Z点的轨迹是以F，F'为焦点的椭圆，
其长轴长2a＝4，焦距为2c＝2，所以，
所以曲线E的标准方程为：；
（2）（ⅰ）证明：设点G（x，y），由已知可得A（2，0），B（0，），
则设直线AC的方程为：y＝k1（x﹣2），所以，
设直线BD的方程为：，所以，
因为，所以，
整理得：
因为ABCD为四边形，所以，
所以点G在定直线上；
（ⅱ）证明：由题知：A（2，0），B（0，），
所以直线AB的方程为：y＝﹣，
设C（x1，y1），D（x2，y2），设直线CD的方程为：y＝kx+m，
将y＝kx+m 代入得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
所以，
所以＝，
所以，
所以，
所以，
解得，所以AB∥CD．
一、单选题（共10小题）.
1．已知相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点在（ ）上
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
2．若抛物线x2＝my过点（1，﹣4），则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
3．一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（ ）
A．6 B．14 C．49 D．84
4．与双曲线有公共焦点且离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
6．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）
A．12 B．64 C．81 D．24
7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．13 C．16 D．22
8．将数列{2n+1}与{3n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，若an＝2019，则n＝（ ）
A．337 B．520 C．360 D．2020
9．椭圆＝1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差为d的取值集合为（ ）
A．{4，5，6，7} B．{4，5，6} C．{3，4，5，6} D．{3，4，5，6，7}
10．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点P、Q，若QP＝QF2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二.多选题（共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
11．已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝S9，则（ ）
A．a7＞0 B．S7最大 C．S14＞0 D．S13＞0
12．数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，下列说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．
C．数列{an}是递减数列
D．{an}的前n项和
13．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），A1，A2，B1，B2分别为左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（ ）
A．|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2
B．∠F1B1A2＝90°
C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1
D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
14．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，
以下运算和结论正确的是（ ）
A．
B．数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…，是等比数列
C．数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…，的前n项和为
D．若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则
15．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线D1P与AC所成的角可能是
B．平面D1A1P⊥平面A1AP
C．三棱锥D1﹣CDP的体积为定值
D．平面APD1截正方体所得的截面可能是直角三角形
三、填空题（共5小题，共25分）
16．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有，则等于 ．
17．已知M是抛物线y2＝4x上一点，F为其焦点，点A在圆（x﹣5）2+（y+1）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是 ．
18．学校食堂在某天中午备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐 种．
19．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为 ．
20．（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后共有 项．
四、解答题
21．动点与定点F1（3，0）的距离和M到定直线的距离的比是常数．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设F2（﹣3，0），点P为M轨迹上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
22．已知数列{an}的各项均为正数，{bn}为等比数列，an+12﹣2an+1＝an2+2an，a1＝b1＝1，b2＝a2﹣1．
①求数列{an}、{bn}的通项公式；
②求数列{anbn}的前n项和Sn．
23．（20分）平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点W在抛物线C上，且|FW|＝2|OF|，|OW|＝．F关于原点的对称点为F′，圆F的半径等于4，以Z为圆心的动圆过F′且与圆F相切．
（1）求动点Z的轨迹曲线E的标准方程；
（2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是k1，k2，且k1k2＝．
（ⅰ）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；
（ⅱ）证明：AB∥CD．
参考答案
一、单选题（共10小题）.
1．已知相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点在（ ）上
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，则A（﹣700，0）、B（700，0），
设M（x，y）为曲线上任一点，
则||MA|﹣|MB||＝340×3＝1020＜1400．
∴M点轨迹为双曲线，且a＝510，c＝700．
∴b2＝c2﹣a2＝（c+a）（c﹣a）＝1210×190．
∴M点轨迹方程为：．
故选：D．
2．若抛物线x2＝my过点（1，﹣4），则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
解：∵抛物线x2＝my经过点（1，﹣4），
∴﹣4m＝1，
∴抛物线标准方程为x2＝﹣y，
∴抛物线焦点坐标为（0，﹣）．
故选：A．
3．一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（ ）
A．6 B．14 C．49 D．84
解：根据分类分步计数原理可得（2+2+3）×（4+3）＝49种，
故选：C．
4．与双曲线有公共焦点且离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：双曲线与椭圆有公共焦点，可得c＝8，
椭圆的离心率为，可得a＝10，则b＝6，
则该椭圆方程为：＝1．
故选：C．
5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
解：根据题意，如图：
△ABF2的周长为16，则有|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，则a＝4，
又由其离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2﹣c2＝16﹣8＝8；
又由其焦点在x轴上，则其标准方程为+＝1；
故选：D．
6．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）
A．12 B．64 C．81 D．24
解：根据题意，先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法，
同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，
依此类推，每位同学都有3种安排方法，
因此，根据分步乘法计数原理共有34＝81种分配方法，
故选：C．
7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．13 C．16 D．22
解：由于a1＝1，所以a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝4，a4＝2a3﹣1＝7，a5＝2a4+2＝16．
故选：C．
8．将数列{2n+1}与{3n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，若an＝2019，则n＝（ ）
A．337 B．520 C．360 D．2020
解：根据题意，数列{2n+1}：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，…，
数列{3n}：3，6，9，12，15，18，21，…，
∴它们的公共项构成的数列{an}：3，9，15，21，…，
∴数列{an}是首项为3，公差为6的等差数列，则an＝6n﹣3，
若an＝2019，即6n﹣3＝2019，解可得n＝337，
故选：A．
9．椭圆＝1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差为d的取值集合为（ ）
A．{4，5，6，7} B．{4，5，6} C．{3，4，5，6} D．{3，4，5，6，7}
解：椭圆＝1的a＝，b＝，c＝＝，
右焦点为（，0），令x＝，代入椭圆方程可得y＝±×＝±2，
则过右焦点的最短弦的弦长为a1＝4，最长弦长为圆的直径长an＝5，
∴4+（n﹣1）d＝5，d＝，
∵d∈[，]，
∴≤≤，
∴4≤n≤7，n∈N，
故选：A．
10．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点P、Q，若QP＝QF2，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
过点F1且斜率为的直线为：
y＝（x+c），QP＝QF2，
|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝，可得：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2ccos，
解得2b＝a，所以e2﹣e﹣3＝0，e＞1，
可得e＝
故选：C．
二.多选题（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
11．已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝S9，则（ ）
A．a7＞0 B．S7最大 C．S14＞0 D．S13＞0
解：∵递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝S9，
∴，
解得a1＝﹣，
故a7＞0，
S13＞0，S14＜0，
∴Sn＝na1+＝﹣+＝（n2﹣14n）＝（n﹣7）2﹣．
∴当n＝7时，Sn取最大值．
故选：ABD．
12．数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，下列说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．
C．数列{an}是递减数列
D．{an}的前n项和
解：∵数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，
∴an+1＝3an+1，∴an+1+＝3（an+），
∵＝，
∴数列为首项为，公比为3的等比数列，故A正确；
＝＝，∴，故B正确；
数列{an}是递增数列，故C错误；
数列的前n项和为：Sn′＝＝（3n﹣1）＝﹣，
∴{an}的前n项和Sn＝Sn'﹣＝﹣﹣，故D错误．
故选：AB．
13．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），A1，A2，B1，B2分别为左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是（ ）
A．|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2
B．∠F1B1A2＝90°
C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1
D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
解：由椭圆C：＝1（a＞b＞0），可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），
对于A，|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2，即为（a﹣c）2＝（2c）2，所以a﹣c＝2c，即e＝＝，不符题意，A错误；
对于B，若∠F1B1A2＝90°，则|A2F1|2＝|B1F1|2+|B1A2|2，即（a+c）2＝a2+（a2+b2），所以c2+ac﹣a2＝0，
即有e2+e﹣1＝0，解得e＝（舍去），符合题意，B正确；
对于C，若PF1⊥x轴，且PO∥A2B1，所以P（﹣c，），
由kPO＝k，可得＝，解得b＝c，又a2＝b2+c2，所以e＝＝＝，不符题意，故C错误；
对于D，若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，
即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，则ab＝c，结合b2＝a2﹣c2，
所以c4﹣3a2c2+a4＝0，即e4﹣3e2+1＝0，解得e2＝（舍去）或e2＝，所以e＝，故D正确．
故选：BD．
14．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，
以下运算和结论正确的是（ ）
A．
B．数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…，是等比数列
C．数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…，的前n项和为
D．若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则
解：以2﹣7为分母的数共有1+2+3+…6＝21个，故，，，故A正确；
为等差数列，故B错误；
数列的前n项和为，故C正确；
根据（3）知：，
即S21＝10.5＞10；，此时，故D正确．
故选：ACD．
15．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线D1P与AC所成的角可能是
B．平面D1A1P⊥平面A1AP
C．三棱锥D1﹣CDP的体积为定值
D．平面APD1截正方体所得的截面可能是直角三角形
解：对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
D1（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），设P（1，a，b），（0＜a＜1，0＜b＜1），
＝（1，a，b﹣1），＝（﹣1，1，0），
cos＜，＞＝＝＜0，
∵0＜a＜1，0＜b＜1，
又当a＝1时，＜＞＝，
当a＝0，b＝1时，＜＞＝，
∴＜＜＞＜，
∴直线D1P与AC所成的角为（），故A错误；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1⊥AA1，A1D1⊥AB，
∵AA1∩AB＝A，∴A1D1⊥平面A1AP，
∵A1D1⊥平面D1A1P，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故B正确；
对于C，∵＝，P到平面CDD1的距离BC＝1，
∴三棱锥D1﹣CDP的体积：
＝，为定值，故C正确；
对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
16．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有，则等于 ．
解：因为等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且都有，
所以＝＝．
故答案为：．
17．已知M是抛物线y2＝4x上一点，F为其焦点，点A在圆（x﹣5）2+（y+1）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是 5 ．
解：M是抛物线y2＝4x上的，抛物线的准线方程为：x＝﹣1，
过点M作MN⊥准线与N，则|MN|＝|MF|，
∴|MA|+|MF|＝|MA|+|MN|，
∵A在圆C：（x﹣5）2+（y+1）2＝1上，圆心C（5，﹣1），半径r＝1，
∴当N，M，C三点共线时，
|MA|+|MF|的最小值为1+5﹣1＝5，
故答案为：5．
18．学校食堂在某天中午备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐 48 种．
解：根据题意，要配成一荤一素一汤的套餐，
有6种素菜，则素菜的选法有6种，
4种荤菜，则荤菜的选法有4种，
2种汤，则汤的选法有2种，
故可以配制6×4×2＝48种不同的套餐；
故答案为：48
19．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为 ．
解：∵数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2+5n+6，n∈N*，
∴bn＝＝＝，
∴{bn}的前10项之和为：
S10＝（）+（）+（）+…+（）＝．
故答案为：．
20．（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后共有 36 项．
解：（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后共有 3×3×4＝36项，
故答案为：36．
四、解答题
21．动点与定点F1（3，0）的距离和M到定直线的距离的比是常数．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设F2（﹣3，0），点P为M轨迹上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：（1）设d是点M到直线l的距离，则，即，
化简得16x2+25y2＝400，所以动点M的轨迹方程为．
（2）由（1）知，动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，所以|PF1|+|PF2|＝10，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
所以，整理得，
所以．
22．已知数列{an}的各项均为正数，{bn}为等比数列，an+12﹣2an+1＝an2+2an，a1＝b1＝1，b2＝a2﹣1．
①求数列{an}、{bn}的通项公式；
②求数列{anbn}的前n项和Sn．
解：①由an+12﹣2an+1＝an2+2an，
化简整理，可得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）＝0，
∵an+1+an＞0，
∴an+1﹣an﹣2＝0，即an+1﹣an＝2，
∵a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝1+2×（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，
又b2＝a2﹣1＝2×2﹣1﹣1＝2，
设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝2，
故bn＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*；
②∵anbn＝（2n﹣1）?2n﹣1，
∴Sn＝a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝1×1+3×21+5×22+…+（2n﹣1）?2n﹣1，
2Sn＝1×21+3×22+…+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）?2n，
两式相减，可得﹣Sn＝1+2×21+2×22+…+2×2n﹣1﹣（2n﹣1）?2n
＝1+2×（21+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）?2n
＝1+2×﹣（2n﹣1）?2n＝﹣（2n﹣3）?2n﹣3，
∴Sn＝（2n﹣3）?2n+3．
23．（20分）平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点W在抛物线C上，且|FW|＝2|OF|，|OW|＝．F关于原点的对称点为F′，圆F的半径等于4，以Z为圆心的动圆过F′且与圆F相切．
（1）求动点Z的轨迹曲线E的标准方程；
（2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是k1，k2，且k1k2＝．
（ⅰ）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；
（ⅱ）证明：AB∥CD．
解：（1）不妨设点W在第一象限，
由题知：，所以，所以W（），
所以|OW|＝＝，解得p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x，F（1，0），F′（﹣1，0），
设动圆Z的半径为r，由题意知：|ZF'|＝r，|ZF|＝4﹣r，
所以|ZF|+|ZF'|＝4＞|FF'|＝2，
所以Z点的轨迹是以F，F'为焦点的椭圆，
其长轴长2a＝4，焦距为2c＝2，所以，
所以曲线E的标准方程为：；
（2）（ⅰ）证明：设点G（x，y），由已知可得A（2，0），B（0，），
则设直线AC的方程为：y＝k1（x﹣2），所以，
设直线BD的方程为：，所以，
因为，所以，
整理得：
因为ABCD为四边形，所以，
所以点G在定直线上；
（ⅱ）证明：由题知：A（2，0），B（0，），
所以直线AB的方程为：y＝﹣，
设C（x1，y1），D（x2，y2），设直线CD的方程为：y＝kx+m，
将y＝kx+m 代入得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
所以，
所以＝，
所以，
所以，
所以，
解得，所以AB∥CD．
同课章节目录