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17.2
勾股定理的逆定理（第2课时
）同步练习
一、选择题
1．（2020·重庆市实验中学初二期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2．（2020·广东广雅中学初二期中）如图，中俄“海上联合—2020”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A,B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（
）
A．南偏东30°
B．北偏东30°
C．南偏东
60°
D．南偏西
60°
3．（2020·鞍山市期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米
B．15平方千米
C．75平方千米
D．750平方千米
4．（2020·南阳市期末）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（
）
A．24米2
B．36米2
C．48米2
D．72米2
二、填空题
5．（2020·淄博市期末）若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是_____.
6．（2020秋?和平区校级期末）如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为_____．
7．（2020·高邮市朝阳中学初二期中）如图，有一块四边形田地ABCD，∠D=90°，AB=13m，BC=12m，CD=3m，DA=4m，则该四边形田地ABCD的面积为_____．
8．（2020·连云港市期中）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入_____元．
三、解答题
9．（2020秋?南安市期末）有一块四边形草地（如图），测得，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形草地的面积．
10．（2020秋?兰州期末）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米．
（1）求出空地的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
11．（2020秋?东台市期末）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
（1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．
（2）岛在港的什么方向？
12．（2020秋?开福区期末）笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点．．其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点，，在一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米，
（1）问是否为从旅游地到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线的长．
13．（2020·黄冈市期末）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向．
17.2
勾股定理的逆定理（第2课时
）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020·重庆市实验中学初二期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解析】解：原式＝(a2?b2)(a2＋b2)＋c2(b2?a2)＝(a2?b2)(a2＋b2?c2)＝0，
当a2?b2＝0时
此时△ABC是等腰三角形，
当a2＋b2?c2＝0，
此时△ABC是直角三角形
故答案选D.
2．（2020·广东广雅中学初二期中）如图，中俄“海上联合—2020”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A,B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（
）
A．南偏东30°
B．北偏东30°
C．南偏东
60°
D．南偏西
60°
【解析】解：如图，
由题意得：OA=12×1.5=18，OB=16×1.5=24，
∵AB=30，
∴OA2+OB2=182+242=900=302=AB2，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，
∴二号舰航行的方向是南偏东
60°，
故选C.
3．（2020·鞍山市期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米
B．15平方千米
C．75平方千米
D．750平方千米
【解析】解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选：A．
4．（2020·南阳市期末）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（
）
A．24米2
B．36米2
C．48米2
D．72米2
【解析】解：连接AC，
则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB?BC+AC?DC=（3×4+5×12）=36米2．
故选B．
二、填空题
5．（2020·淄博市期末）若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是_____.
【解析】解：∵，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，．
∴以a，b，c为三边的三角形的面积=.
6．（2020秋?和平区校级期末）如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为 36 ．
【解析】解：如图，连接，
在中，，，，
根据勾股定理得，，
在中，，，，
，
为直角三角形，
．
故答案为：36．
7．（2020·高邮市朝阳中学初二期中）如图，有一块四边形田地ABCD，∠D=90°，AB=13m，BC=12m，CD=3m，DA=4m，则该四边形田地ABCD的面积为_____．
【解析】解：如图，连接AC．
∵DA=4m，CD=3m，∠D=90°，∴AC===5m，∴S△ACD=6（m2）．
在△ABC中，∵AC=5m，BC=12m，AB=13m，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∴Rt△ABC的面积=30（m2），∴四边形ABCD的面积=30﹣6=24（m2）．
故答案为：24m2．
8．（2020·连云港市期中）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入_____元．
【解析】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，
＝＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．
故答案为：7200.
三、解答题
9．（2020秋?南安市期末）有一块四边形草地（如图），测得，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形草地的面积．
【解析】解：（1）连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
，
四边形草地的面积
，
答：四边形草地的面积为．
10．（2020秋?兰州期末）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米．
（1）求出空地的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【解析】解：（1）连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
．
（2）需费用（元，
答：总共需投入4800元．
11．（2020秋?东台市期末）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
（1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．
（2）岛在港的什么方向？
【解析】解：（1）由题意，
中，，得．
．
．
．
（小时）．
答：从岛返回港所需的时间为3小时．
（2），，
．
．
．
岛在港的北偏西．
12．（2020秋?开福区期末）笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点．．其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点，，在一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米，
（1）问是否为从旅游地到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线的长．
【解析】解：（1）是从旅游地到河的最近的路线，
理由是：在中，
，
，
是直角三角形且，
，
所以是从旅游地到河的最近的路线；
（2）设千米，则千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
13．（2020·黄冈市期末）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向．
【解析】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得：
4x﹣3x=5．
解得：x=5，∴4x=20，3x=15．
答：两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；
（2）由题可得：AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．
又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴∠1=10°．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1=10°，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．
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