2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明 单元测试卷 （Word版 含答案）

1196340010642600　2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明 单元测试卷
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB.若CD＝4，则点D到AB的距离是( )
A．4 B．3 C．2 D．5
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，还需要添加一个条件是( )
A．AE＝CF B．AB＝DC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠D
　　　　
3．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝80° D．∠A＝20°，∠B＝80°
4．在线段AB上，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF与AB交于点C，连接AE，BE，则以下结论不一定成立的是( )
A．AC＝BC B．AE＝BE C．△ABE是等边三角形 D．∠AEC＝∠BEC
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E.若ED＝3，则AC的长为( )
A．3 B．3 C．6 D．9
　　
6．等边三角形的边长为6，则它的面积为（ ）
A．false B．18 C．36 D．18false
7．观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．其中逆命题为假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )
A. B．2 C. D．2
　　　
9．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若AD＝8，则PE的最小值为( )
A．8 B．6 C．5 D．4
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为( )
A．4 B．2 C．3 D.
　　　
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为_________km.
12．已知Rt△ABC的两条边长分别为3和5，则它的另一条边长为_______．
13．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到D，则橡皮筋被拉长了_______cm.
　　　　　
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°.∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是_______．
　　
三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE.
16．(8分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.判断△CED的形状，并说明理由．
17．(9分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD.
18．(9分)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B；
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
19．(10分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)2CD2＝AD2＋BD2.
20．(10分)小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F(点F不与点A，C重合)，过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I.
(1)若AC＝10，则HI的长度为__________；
(2)延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC.求证：∠ECD＝∠EDC.
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)
21．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________．
22．如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝________．
　　
23．如图，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC.若S△CDE＝S△ABE，则S△DEC∶S△ADE＝________．
　　　　　　
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是________．
　
25．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE，DE＝2.5 cm，AB＝4 cm，则BC的长为________cm.
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，求证：
(1)AD∥FG；
(2)△AEF是等腰三角形．
27．(10分)在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.
(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：
①△ABE≌△ACF；
②△AEF是等边三角形；
(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．
28．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠EAF＝∠BAC，BF⊥AE于点E，交AF于点F，连接CF.
(1)如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE＋CF；
(2)如图2所示，当∠EAF的边AE，AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF＋2BE.
参考答案
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
D
A
A
A
D
B
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB.若CD＝4，则点D到AB的距离是(A)
A．4 B．3 C．2 D．5
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，还需要添加一个条件是(B)
A．AE＝CF B．AB＝DC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠D
　　　　
3．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(D)
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝80° D．∠A＝20°，∠B＝80°
4．在线段AB上，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF与AB交于点C，连接AE，BE，则以下结论不一定成立的是(C)
A．AC＝BC B．AE＝BE C．△ABE是等边三角形 D．∠AEC＝∠BEC
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E.若ED＝3，则AC的长为(D)
A．3 B．3 C．6 D．9
　　
6．等边三角形的边长为6，则它的面积为（ ）
A．false B．18 C．36 D．18false
7．观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．其中逆命题为假命题的个数是(A)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝(A)
A. B．2 C. D．2
　　　
9．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若AD＝8，则PE的最小值为(D)
A．8 B．6 C．5 D．4
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(B)
A．4 B．2 C．3 D.
　　　
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为1_000km.
12．已知Rt△ABC的两条边长分别为3和5，则它的另一条边长为4或．
13．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到D，则橡皮筋被拉长了2cm.
　　　　　
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°.∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是108°．
　　
三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE.
证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F.
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
16．(8分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.判断△CED的形状，并说明理由．
解：△CED是等边三角形，理由如下：
∵OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠COE＝30°.
∵CE∥OA，
∴∠AOB＝∠CED＝60°.
∵CD⊥OC，∴∠OCD＝90°.
∴∠EDC＝60°.
∴△CED是等边三角形．
17．(9分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD.
证明：连接AC，
在△AEC和△AFC中，
∴△AEC≌△AFC(SSS)．
∴∠CAE＝∠CAF.
∵∠B＝∠D＝90°，
∴CB＝CD.
18．(9分)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B；
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
解：(1)证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB.
∴∠B＝∠BAP.
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
∴∠APC＝2∠B.
(2)根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA.
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，
∴∠BAQ＝∠BQA＝2∠B.
∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，
∴5∠B＝180°.
∴∠B＝36°.
19．(10分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)2CD2＝AD2＋BD2.
证明：(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD.
∴∠ACE＝∠BCD.
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°.
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B＝∠CAE＝45°，AE＝BD.
∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.
∴AD2＋AE2＝DE2，即AD2＋BD2＝DE2.
又∵在Rt△DEC中，DE2＝CE2＋CD2＝2CD2，
∴2CD2＝AD2＋BD2.
20．(10分)小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F(点F不与点A，C重合)，过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I.
(1)若AC＝10，则HI的长度为5；
(2)延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC.求证：∠ECD＝∠EDC.
证明：延长CD至P，使BC＝DP，连接AP，EP，
∴BD＝CP.
∵AE＝BD，
∴AE＝CP.
在△ACP和△CAE中，
∴△ACP≌△CAE(SAS)．∴AP＝CE.
∵BE＝AB＋AE，BP＝BC＋CP，
∴BE＝BP.
∵∠ABC＝60°，
∴△EBP是等边三角形．∴BP＝EP，∠EPD＝60°.
∴∠EPD＝∠ABC.
在△ABP和△DPE中，
∴△ABP≌△DPE(SAS)．∴AP＝ED＝EC.
∴∠ECD＝∠EDC.
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)
21．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15°．
22．如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝．
　　
23．如图，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC.若S△CDE＝S△ABE，则S△DEC∶S△ADE＝2∶5．
　　　　　　
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是．
　
25．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE，DE＝2.5 cm，AB＝4 cm，则BC的长为9cm.
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，求证：
(1)AD∥FG；
(2)△AEF是等腰三角形．
证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°.
∴∠ADC＝∠FGC.
∴AD∥FG.
(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.
∴∠F＝∠AEF.
∴AF＝AE.
∴△AEF是等腰三角形．
27．(10分)在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.
(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：
①△ABE≌△ACF；
②△AEF是等边三角形；
(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．
解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝AC.
同理，△ADC也是等边三角形，
∴∠B＝∠ACF＝60°.
又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．
②∵△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∵∠BAE＋∠CAE＝60°，
∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.
∴△AEF是等边三角形．
(2)存在．
证明：在CD的延长线上取点F，在BC的延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.
与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.
∴∠BAC＝∠EAF＝60°.
∴△AEF是等边三角形．
(注：若在CD的延长线上取点F，使CE＝DF也可)
28．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠EAF＝∠BAC，BF⊥AE于点E，交AF于点F，连接CF.
(1)如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE＋CF；
(2)如图2所示，当∠EAF的边AE，AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF＋2BE.
证明：(1)在EF上截取EH＝BE，连接AH，
∵EB＝EH，AE⊥BF，
∴AB＝AH.
∵AB＝AH，AE⊥BH，
∴∠BAE＝∠EAH.
∵AB＝AC.
∴AC＝AH.
∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠BAE＋∠CAF＝∠EAF.
∴∠BAE＋∠CAF＝∠EAH＋∠FAH.
∴∠CAF＝∠HAF.
在△ACF和△AHF中，
∴△ACF≌△AHF(SAS)．
∴CF＝HF.
∴EF＝EH＋HF＝BE＋CF.
(2)在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，
∵AE⊥BF，BE＝EN，AB＝AC，
∴AN＝AB＝AC.
∵AN＝AB，AE⊥BN，
∴∠BAE＝∠NAE.
∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF＋∠NAE＝(∠BAC＋2∠NAE)．
∴∠FAN＝∠CAN.
∴∠FAN＝∠CAF.
在△ACF和△ANF中，
∴△ACF≌△ANF(SAS)．
∴CF＝NF.
∴CF＝BF＋2BE.