2020-2021学年北师大版八年级数学下册1.1.4等腰三角形 课件（21张ppt）

北师大版八年级数学下册
第一章：三角形的证明
1.1.4等腰三角形
1.等边三角形判定定理的证明及应用.
2.含30°角的直角三角形的性质定理的证明及应用.
学习目标
4、等边三角形是特殊的________三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是_____的特殊性质。
温故知新
等腰
60°
1、等腰三角形的判定：有_______相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）
2、等腰三角形的性质：等腰三角形两底角_____(简称“____________”)
3、三边都_________的三角形是等边三角形。
两个角
相等
等边对等角
相等
探究（一）等边三角形的判定
（1）三条边都_______的三角形是等边三角形 。
（2）三个_____都相等的三角形是等边三角形 。
（3）有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形。
自主探究
相等
角
60°
例题1.已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。
求证：△ADE 是等边三角形。

典型例题
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B=60°, ∠AED=∠C=60°
∴△ADE 是等边三角形(三个角都相等的三角形
是等边三角形）
1、填空：
（1）如图，BC = AC，若 ，则△ABC是等边三角形。
（2）如图，AB = AC，AD⊥BC，BD = 4，
若AB = ，则△ABC是等边三角形。
随堂练习
∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60° ）
AC=AB或 BC=AB
8
用两个含30°角的全等三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由。
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的__一半__。
含30°角的直角三角形的性质
探究（二）
30°
30°
30°
30°
30°
等边三角形
等腰三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC= 1/2 AB．
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)
∵∠BAC=30°
∴△ABD是等边三角形
∴BC= 1/2BD=1/2 AB．
∴∠B=60°
你有其他方法吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC= 1/2 AB．
证明：在BA上截取BD=BC连接CD
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
∴∠B=60°
∴△BCD是等边三角形
∴∠1=60°,BD=CD
∴∠2=30°
∴∠2= ∠A
∴CD=AD=DB
∴BC=BD=1/2AB
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
例题2.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
典型例题
已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，
CD是腰AB上的高.
求证：CD＝1/2AB
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°.
∵ CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝ 90°.
∴CD=1/2AC
∴CD =1/2AB
把命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的条件和结论反过来，可得：
.
此命题还成立吗？，请你利用课外时间证明它．
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
1.如图3，在Rt△ABC中，∠B = 30°，AC = 6cm，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。
随堂练习
12
3.5
2.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高CD的长为_________;
a
3.已知△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，∠B = 60°，BD = 1,则AD的长为_______.
3
4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,∠C＝30°,AB＝3,
则AC=____,BC=______．
A
B
C
3
30°
6
1、三条边都_______的三角形是等边三角形 。
2、三个_____都相等的三角形是等边三角形 。
3、有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形。
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的________。
5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 .
小结
相等
角
60°
一半
30°
课堂作业
课本12-13页
第1,2,3题
课外拓展
1.证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1/2AB．
求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC= 1/2BD．
1.证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
又∵BC= 1/2 AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
2.如图（1），ABCD是一张正方形纸片，E,F分别为AB,CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上（如图（2）的点A’）,折痕交AE于点G，那么∠ADG等于多少度？你能证明你的结论吗？
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠A=90°，AD=BC=CD=AB，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EA∥DF，AE=DF
∴四边形ADFE是矩形，
2.如图（1），ABCD是一张正方形纸片，E,F分别为AB,CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上（如图（2）的点A’）,折痕交AE于点G，那么∠ADG等于多少度？你能证明你的结论吗？
∴∠EFD=90°，FD=1/2CD=1/2AD
根据折叠的性质：A′D=AD，
∴在Rt△FAD中，FD=1/2A′D
∴∠FA′D=30°，
∴∠A′DA=∠FA′D=30°，
∴∠ADG=∠A′DG=1/2∠ADA′=15°