第3章 圆周运动 核心考点突破 Word版含解析

核心考点突破
一、圆周运动的临界极值问题
【典例1】长L=0.5 m、质量可忽略的杆,其一端固定于O点,另一端连有质量为m=2 kg的小球,它绕O点在竖直平面内做圆周运动,当通过最高点时,如图所示。求下列情况下杆对球的作用力大小,并说明是拉力还是支持力,g取10 m/s2。
(1)当速度为多少时,杆对球刚好没有作用力?
(2)当v1=1 m/s时。
(3)当v2=4 m/s时。
【解析】(1)重力等于向心力mg=m
解得:v0== m/s= m/s
(2)临界速度为v0= m/s
因为v1杆对小球是支持力,根据牛顿第二定律得:mg-F1=m,
解得:F1=16 N,
作用力表现为支持力,方向竖直向上。
(3)因为v2>v0,所以当v2=4 m/s时,杆对小球是拉力,设拉力为F2,小球受力如图所示,
根据牛顿第二定律得:mg+F2=m,
解得:F2=44 N,
作用力表现为拉力,方向竖直向下。
答案:(1) m/s　(2)16 N　支持力　(3)44 N　拉力
【方法技巧】
1.轻杆和轻绳模型的比较
轻绳模型 轻杆模型
常见 类型

安全 过最
高点
的临
界条
件 在最高点物体受到弹力方向向下。当弹力为零时,仅由重力提供向心力。由mg=m,得临界速度v0= 物体能运动即可,即v临=0
对最 高点
的分
析 ①v>时绳子或轨道对物体的弹力为F=m-G,方向竖直向下
②v=时绳子或轨道对物体的弹力为零
③v<时,物体将从轨道上掉下 ①v>时,轻杆或管道对物体的弹力为N=m-G,方向竖直向下
②v=时,轻杆或管道对物体的弹力为零
③v<时,轻杆或管道对物体的弹力为N=G-m,方向竖直向上
2.圆周运动的临界极值问题的解题思路
(1)轨道的确定
确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置,寻找与半径相关的已知量。
(2)明确运动的模型,是轻绳模型还是轻杆模型。明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解。
(4)从最高点到最低点,一般运用机械能守恒定律或动能定理,找到两个状态的联系。
【素养训练】
在2018年亚运会体操项目单杠比赛中,中国台北名将唐嘉鸿夺冠,若他的质量为60 kg,做“双臂大回环”,用双手抓住单杠,伸展身体,以单杠为轴做圆周运动。此过程中,运动员到达最低点时手臂受的总拉力至少约为(忽略空气阻力,g取
10 m/s2) (　　)
A.600 N B.2 400 N C.3 000 N D.3 600 N
【解析】选C。设运动员在最低点受的拉力至少为FN,此时运动员的重心的速度为v,设运动员的重心到手的距离为R,由牛顿第二定律得:FN-mg=m,又由机械能守恒定律得:mg·2R=mv2由以上两式代入数据得:FN=5mg,运动员的重力约为G=mg=600 N,所以FN=3 000 N,故选C。
【补偿训练】
　　轻质弹簧原长为2L,将弹簧竖直放置在地面上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度为L。现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5L的水平轨道,B端与半径为L的光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度L,然后放开,P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。
(1)若P的质量为m,求P到达与圆心等高处的C点时对轨道的作用力。
(2)P离开半圆轨道后落回到AB上的位置与A点之间的距离。
【解析】(1)依题意,当弹簧竖直放置,长度被压缩至L时,质量为5m的物体的动能为零,其重力势能转化为弹簧的弹性势能
由机械能守恒定律,弹簧长度为L时的弹性势能为Ep=5mgL ①
P运动到C的过程中,由能量守恒定律得
Ep=μmg·4L+mgL+m ②
P在C点由牛顿第二定律得N= ③
联立①②③式,得轨道对P的作用力N=4mg
由牛顿第三定律得知P到达C点时对轨道的作用力
N=4mg,方向水平向右
(2)若P能沿圆轨道运动到D点,其到达D点时的向心力不能小于重力,
即P此时的速度大小v应满足m-mg≥0 ④
P滑到D点的过程中,由机械能守恒定律得
Ep=μmg·4L+mg·2L+m ⑤
联立①⑤式得vD= ⑥
vD满足④式要求,故P能运动到D点,并从D点以速vD水平射出。
设P落回到轨道AB所需的时间为t,
由运动学公式得2L=gt2 ⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s=vDt ⑧
联立⑥⑦⑧式得s=2L
故P离开圆轨道后落回到AB上的位置与A点之间的距离为x=5L-2L
答案:(1)4mg　水平向右　(2)5L-2L
二、圆周运动与平抛综合应用
【典例2】如图所示,有一长为L的细线,细线的一端固定在O点,另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方,且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。
(1)求小球通过最高点A时的速度的大小;
(2)若小球通过最低点B时,细线对小球的拉力F1恰好为小球重力的6倍,且小球经过B点的瞬间细线断裂,求小球的落地点到C点的距离。
【解析】(1)小球恰好能做完整的圆周运动,则小球通过A点时细线的拉力为零,根据向心力公式有:mg=m
解得:vA=。
(2)小球在B点时根据牛顿第二定律有:
T-mg=,其中T=6mg,
所以vB=
小球运动到B点时细线断裂,小球做平抛运动,
有竖直方向:1.9L-L=gt2
水平方向:s=vBt=·=3L
答案:(1)　(2)3L
【方法技巧】圆周运动与平抛运动问题的解题技巧
(1)物体恰好通过最高点,即重力充当向心力,由向心力公式可求得最高点的速度。
(2)由向心力公式可求得小球的速度;细线断裂后,小球做平抛运动,由平抛运动的规律可得出小球落地点到C的距离。
【素养训练】
1.高明同学撑一把雨伞站在水平地面上,伞面边缘点所围圆形的半径为R,现将雨伞绕竖直伞杆以角速度ω匀速转动,伞边缘上的水滴落到地面,落点形成一个半径为r的圆形,伞边缘距离地面的高度为h,则当地重力加速度的大小为(　　)
A. B.
C. D.
【解题指南】解答本题应把握以下两点:
(1)物体做平抛运动,我们可以把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动来求解。
(2)两个分运动具有独立性且两个方向上运动的时间相同。
【解析】选A。
雨点甩出后做平抛运动,
竖直方向有:h=gt2得t=,
水平方向初速度为雨伞边缘的线速度,所以v0=ωR,
雨点甩出后水平方向做匀速直线运动,
x=v0t=ωR,
伞边缘上的水滴落到地面,落点形成一半径为r的圆形,
根据几何关系可知水平距离为:
x=
得=ωR
所以g=
故A正确,B、C、D错误。
【补偿训练】
　　如图所示,竖直平面内的圆弧形不光滑管道半径R=0.8 m,A端与圆心O等高,AD为水平面,B点为管道的最高点且在O的正上方。一小球质量m=0.5 kg,在A点正上方高h=2.0 m处的P点由静止释放,自由下落至A点进入管道并通过B点,过B点时小球的速度vB为4 m/s,小球最后落到AD面上的C点处。不计空气阻力,g取10 m/s2。求:
(1)小球过A点时的速度vA是多大?
(2)小球过B点时对管壁的压力为多大,方向如何?
(3)落点C到A点的距离为多少?
【解题指南】(1)小球从P到A做自由落体运动,根据运动学公式列式求解。
(2)在B点,重力和弹力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律列式求解即可。
(3)从B到C过程是平抛运动,根据平抛运动的分位移公式列式求解即可。
【解析】(1)对小球,由自由落体运动可得:2gh=
解得:vA== m/s=2 m/s
(2)小球过B点时,设管壁对其压力为F,方向竖直向下,根据牛顿第二定律,有:
F+mg=m
解得:F=5 N　方向竖直向下
(3)从B到C,由平抛运动可得:
水平分运动:x=vBt
竖直分运动:R=gt2
落点C到A点的距离xAC=x-R
联立解得:xAC=0.8 m
答案:(1)2 m/s
(2)5 N　方向竖直向下　(3)0.8 m
2.如图所示,一个质量为0.6 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出,恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力,进入圆弧时无机械能损失),已知圆弧的半径R=0.3 m,θ=60°,小球到达A点时的速度vA=4 m/s。(g取10 m/s2)试求:
(1)小球做平抛运动的初速度v0。
(2)P点与A点的水平距离和竖直高度。
(3)小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力。
【解析】(1)小球到A点的速度如图所示:
由图可知:v0=vx=vAcosθ=4×cos60° m/s=2 m/s
(2)由平抛运动规律得:
竖直方向有:=2gh
vy=gt
vy=vAsinθ=4×sin60° m/s=
2 m/s
水平方向有:x=v0t
解得:h=0.6 m
x=0.4 m≈0.69 m
(3)取A点为重力势能的零点,由机械能守恒定律得:
m=m+mg(R+Rcosθ)
代入数据得:vC= m/s
由圆周运动向心力公式得:NC+mg=m
代入数据得:NC=8 N
由牛顿第三定律得:小球对轨道的压力大小
N′C=NC=8 N,方向竖直向上
答案:(1)2 m/s　(2)0.69 m　0.6 m
(3)8 N　方向竖直向上