(共24张PPT)
章
末
归
纳
整
合
【知识构建】
专题一 命题及其关系
原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．
一般来说，命题p?q的四种形式之间有如下关系：
(1)互为逆否的两个命题是等价的(同真同假)．
因此，证明原命题也可以证明它的逆否命题．
(2)互逆或互否的两个命题是不等价的．
【思想方法专题】
【例1】判断下列命题的真假．
(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；
(2)“若0(3)“a，b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和否命题．
解：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”是假命题，故其逆否命题为假．逆命题为“若x∈B，则x∈A∪B”，为真命题．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
变式训练1.已知命题：当a＞b＞0，x＞0，y＞0时，若x＞y，则ax＞by.写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别证明它们的真假．
【解析】逆命题：当a＞b＞0，x＞0，y＞0时，若ax＞by，则x＞y，此命题为假．取a＝3，b＝1，x＝2，y＝4，则满足a＞b＞0，x＞0，y＞0，ax＞by，但x＜y.
专题二 充分条件与必要条件
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，因此是高考的热点，与函数、不等式等重要知识的联系密切，是历年命题者考虑的重要题型．
判断充分条件和必要条件的方法有：
①定义法；②等价法；③集合法；④传递性法．
【例2】(1)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B．p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
【解析】B选项中，当b＝1，a>1时，q推不出p成立，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，不能够推出p成立，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p，q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.
【答案】A
(2)不等式(2x＋5)2≥49成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≤－6
B．x≤－6或x≥1
C．－6≤x≤1
D．x<0或x>0
变式训练2.关于x的方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0
B．a>0
C．a<－1
D．a>1
【答案】C
专题三 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题真假的判定及含一个量词的命题的否定是高考的另一个重点，多以客观题为主．
全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只须举出一个反例即可．
特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可．否则，这一特称命题为假．
从近几年高考信息统计可以看出，命题是高考的考查热点之一，考查时题型以选择题、填空题为主，重点考查充分条件与必要条件、全称命题与特称命题．
【解读高考】
1．(2016年浙江)命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N
，使得nB．?x∈R，?n∈N
，使得nC．?x∈R，?n∈N
，使得nD．?x∈R，?n∈N
，使得n【答案】D
【解析】“?”的否定是“?”，“?”的否定是“?”，“n≥x2”的否定是“n，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N
，使得n【答案】B
3.(2019年新课标Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α，β平行于同一条直线
D.α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面ADD1A1为α，平面ABCD为β.平面ADD1A1内有无数条直线与平面ABCD平行，但平面ADD1A1与平面ABCD不平行，排除A；平面ADD1A1与平面ABCD都平行于B1C1，排除C；平面ADD1A1与平面ABCD都垂直于平面ABB1A1，排除D；由面面平行的性质及判定定理可知B正确.故选B.
4.(2020年新课标Ⅱ)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面；
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
p4：若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .
【答案】①③④
【解析】p1为真命题，p2为假命题，p3为假命题，p4为真命题，由复合命题的真假可判断①p1∧p4为真命题，②p1∧p2为假命题，③
为真命题,
为真命题.故真命题的序号是①③④.(共4张PPT)
本章主要内容有命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词．
在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题：
1．这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件．
2.对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，要求通过数学实例加以了解，正确表述相关的数学内容．
3.对于量词，重在理解它们的含义，不追求它们的形式化定义．
4.在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释.
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第一壹常用遇罪用语
章导学
内容概述
学法指导(共31张PPT)
1.4 全称量词与存在量词
目标定位
重点难点
1.理解全称量词、存在量词，会用符号语言表示全称命题、特称命题
2.能判断全称命题、特称命题的真假，掌握这两类命题的判定方法
3.能够对含有一个量词的命题进行正确的否定
重点：全称量词和存在量词
难点：对全称命题和特称命题真假的判定；对命题的否定
1．全称量词和全称命题
全称量词
______、____、___________、对一切
符号表示
____
全称命题
含有_________的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，
可简记为“_____________”
所有的
任给
对任意一个
?
全称量词
?x∈M，p(x)
2．存在量词和特称命题
存在量词
________、__________、________、________
符号表示
____
特称命题
含有________的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，
可用符号记为“_______________”
存在一个
至少有一个
有一个
对某个
?
存在量词
?x0∈M，p(x0)
3．含有一个量词的命题的否定
4.重要结论
(1)全称命题的否定是________；
(2)特称命题的否定是________．
命题
命题的表述
全称命题p
?x∈M，p(x)
全称命题的否定?p
?x0∈M，?p(x0)
特称命题p
?x0∈M，p(x0)
特称命题的否定?p
?x∈M，?p(x)
特称命题
全称命题
1．“a⊥平面α，则a垂直于平面α内任一条直线”是( )
A．否命题
B．假命题
C．全称命题
D．特称命题
【答案】C
【解析】考查全称命题的定义和判断．
3．下列命题的否定为真命题的是( )
A．有理数是实数
B．末位是0的整数，可以被2整除
C．?x0∈R,2x0＋3＝0
D．?x∈R，x2－2x>0
【答案】D
【解析】一个命题和它的否定真假性相反．
【例1】 判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)有一个实数α，tan
α无意义；
(2)任何一条直线都有斜率；
(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
(4)圆内接四边形，其对角互补；
(5)指数函数都是单调函数．
全称命题与特称命题的辨析
【解题探究】利用全称命题与特称命题的判断方法．
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，要根据命题涉及的意义去判断．
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；在限定集合M中，使p(x)成立的x不存在，则这一特称命题就是假命题．
1．判断下列命题是全称命题还是特称命题．
(1)所有的素数都是奇数；
(2)有一个实数x，使x2＋x＋1＝0；
(3)?x∈R，x2＋1≥1；
(4)有些三角形不是等腰三角形；
(5)正方形都是矩形．
【答案】(1)(3)(5)是全称命题；(2)(4)是特称命题．
【例2】 设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“?x∈S，p(x)”．
【解题探究】同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法．
【解析】依题意可得以下几种不同的表述．
对所有的四边形x，x的内角和为360°；
对一切四边形x，x的内角和为360°；
每一个四边形x的内角和为360°；
任一个四边形x的内角和为360°；
凡是四边形x，它的内角和为360°.
全称命题、特称命题的表述
全称命题与特称命题的常见表述方法如下：
命题
全称命题
特称命题
表述方法
①对所有的x∈M，p(x)成立
①存在x0∈M，使p(x0)成立
②对一切x∈M，p(x)成立
②至少有一个x0∈M，使p(x0)成立
③对每一个x∈M，p(x)成立
③有些x0∈M，使p(x0)成立
④任取一个x∈M，p(x)成立
④某个x0∈M，使p(x0)成立
⑤凡x∈M，都有p(x)成立
⑤有一个x0∈M，使p(x0)成立
2．设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出特称命题“?x0∈R，q(x0)”．
【例3】 写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)所有末位数字是5的整数都能被5整除；
(2)每一个非负数的平方都是正数；
(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(4)有的四边形没有外接圆；
(5)某些梯形的对角线互相平分．
【解题探究】先转化为“标准的”特称或全称命题，再对关键词语进行否定．
全称命题、特称命题的否定
【解析】(1)存在一个末位数字是5的整数不能被5整除，假命题．(2)存在一个非负数，它的平方不是正数，真命题．(3)任何一个三角形，它的内角和不大于180°，真命题．(4)所有四边形都有外接圆，假命题．(5)所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．
全称量词和特称量词的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，相应的存在量词变为全称量词，具有性质p变为具有性质?p.因此，写命题的否定时，一要注意确定量词的应用，二要明确量词的否定形式．写出否定形式后要注意辨别原命题与命题的否定是否真假相反，从而进一步验证命题正确与否．
【警示】若条件p是不等式时，应先将不等式转化为集合M的形式，再求?p，即集合M的补集．
1．判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
2．全(特)称命题真假的判断
(1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可．
(2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立．
【答案】C
2．下列命题是全称命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．存在一个实数x0，使不等式x－3x0＋6<0成立
【答案】B
【解析】A是全称命题，但是假命题；B是全称命题且是真命题；C，D是特称命题．故选B.
3．已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x＜3x；命题q：?x∈(0，π)，sin
x≤1，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∨(?q)
C．p∧(?q)
D．(?p)∧q
【答案】D
【解析】当x∈(－∞，0)时，2x＞3x恒成立，故命题p为假命题；当x∈(0，π)时，0＜sin
x≤1，故命题q为真命题．故命题p∧q，p∨(￢q)，p∧(￢q)均为假命题；(￢p)∧q为真命题．故选D．
4．已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“?x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．(共32张PPT)
1.3 简单的逻辑联结词
目标定位
重点难点
1.了解逻辑联结词“且”“或”
“非”的意义，能判断命题“且”“或”“非”的真假
2.通过实例体会逻辑联结词“且”“或”“非”在数学中的意义
3.能够进行文字语言与符号语言的相互转化
重点：了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义，能判断命题“且”“或”“非”的真假
难点：“或”的含意的理解，对命题的否定
1．用逻辑联结词构成新命题
(1)用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．
(2)用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”，读作“________”．
(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“____”，读作“____”或“________”．
p∧q
p且q
p或q
?p
非p
p的否定
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
?p
真
真
____
____
____
真
假
____
____
____
假
真
____
____
____
假
假
____
____
____
真
真
假
真
假
假
真
假
真
假
假
真
1．以下判断中正确的是( )
A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”为真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”为假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
【答案】B
【解析】当p，q中一个为假时，p∧q为假．
2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命题是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】C
【解析】若x>y，则－x<－y成立，即命题p正确；若x>y，则x2>y2不一定成立，即命题q不正确，则?p是假命题，?q是真命题，故p∨q与p∧(?q)是真命题．故选C．
3．设命题p：若y＝
f(x)的定义域为R且函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，则函数y＝
f(x)是奇函数，命题q：等腰三角形都是锐角三角形，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．(?p)∨q
C．p∧(?q)
D．(?p)∧(?q)
【答案】C
【解析】若y＝f(x)的定义域为R且函数y＝f(x－2)图象关于点(2,0)对称?函数y＝f(x)图象关于点(0,0)对称，则函数y＝f(x)是奇函数，故命题p为真命题；等腰三角形也可能是直角三角形、钝角三角形，故命题q是假命题．所以p∧(￢q)为真命题，故选C．
【答案】②④
【解析】p为真，q为假，故“p或q”“?q”为真命题．
【例1】 指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；
(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形；
(3)矩形不是平行四边形．
【解题探究】利用含逻辑联结词的词语确定命题的形式．
用逻辑联结词联结新命题
【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．
(3)这个命题是“?p”的形式，其中p：矩形是平行四边形．
用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义．通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词，如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．
1．用逻辑联结词“或”“且”“非”改写下列命题．
(1)96既是48的倍数，又是16的倍数；
(2)方程x2－3＝0没有有理根；
(3)2≥3.
【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式，即96是48的倍数且是16的倍数．
(2)这个命题是“?p”的形式，即方程x2－3＝0没有有理根．
(3)这个命题是“p∨q”的形式，即2＞3或2＝3.
【例2】 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”
“p∨q”“?p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos
x是周期函数，
q：函数y＝cos
x是奇函数．
【解题探究】利用含逻辑联结词命题用真值表进行判断．
判断含逻辑联结词的命题的真假
【解析】(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，?p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，?p为真命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，?p为假命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，?p为假命题．
1．命题结构的两种类型及判断方法：(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．
2．判断命题真假的三个步骤：(1)确定命题的构成形式．(2)判断命题p，q的真假．(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“?p”形式命题的真假．
2．分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“?p”形式，并判断真假．
(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数，q：2n－1(n∈Z)是偶数；
(2)p：集合中元素是确定的，q：集合中元素是无序的．
【解析】(1)“p∨q”：2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数；(真)
“p∧q”：2n－1(n∈Z)既是奇数又是偶数；(假)
“?p”：2n－1(n∈Z)不是奇数．(假)
(2)“p∨q”：集合中的元素是确定的或无序的；(真)
“p∧q”：集合中的元素是确定的且无序的；(真)
“?p”：集合中的元素是不确定的．(假)
【例3】 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
【解题探究】利用命题的真假解决含参数问题．
利用命题的真假求参数范围
利用命题的真假求参数范围，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用?p与p，?q与q不能同真同假的特点，先求?p，?q中参数的范围．
3．已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
【警示】在对命题的结论进行否定时，不能一概在表示判断的词语前面加“不”，应结合命题的特点，观察是否存在省略或隐含的关键词，若存在，将命题改写成容易判断的形式，再对命题进行否定．
1．判断一个复合命题真假的步骤：
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中各简单命题的真假；
(3)利用真值表判断“p∧q”“p∨q”“?p”命题的真假．
2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断：
当p，q都为真，p∧q才为真；
当p，q有一个为真，p∨q即为真；
?p与p的真假性相反且一定有一个为真．
1．“ab≠0”是指( )
A．a≠0且b≠0
B．a≠0或b≠0
C．a，b中至少有一个为0
D．a，b不都为0
【答案】A
【解析】∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.故选A.
2．若命题p：0是偶数，q：2是3的约数，则下列命题为真的是( )
A．p∧q
B．p∨q
C．?p
D．(?p)∧(?q)
【答案】B
【解析】∵p真，q假，∴p∨q为真．故选B.
3．若命题“p∨q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真且q真
B．p假且q假
C．p真且q假
D．p假且q真
【答案】B
【解析】∵命题“p∨q”的否定是真命题，
∴(?p)∧(?q)为真命题，即?p为真，?q为真．∴p假，q假．故选B.
4．已知p：点M(1,2)在不等式x－y＋m<0表示的区域内，q：直线2x－y＋m＝0与直线mx＋y－1＝0相交．若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为________．
【答案】(－∞，－2)∪(－2,1)
【解析】当p是真命题时，有1－2＋m<0，即m<1；当q是真命题时，有2＋m≠0，即m≠－2.又p∧q为真命题，所以p是真命题且q是真命题，所以m<1且m≠－2，所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)．(共31张PPT)
1.2 充分条件与必要条件
目标定位
重点难点
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义
2.会判断所给条件是否是充分条件、必要条件和充要条件
重点：理解充分条件、必要条件的意义
难点：充分条件、必要条件与充要条件的判定
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p____q
p____q
条件关系
p是q的______条件
q是p的______条件
p不是q的______条件
q不是p的______条件
?
充分
必要
充分
必要
2．充要条件的概念
(1)推出关系：p?q且q?p，记作________；
(2)简称：p是q的充分必要条件，简称________；
(3)意义：p?q，则p是q的________条件或q是p的________条件，即p与q____________.
3．充要条件的证明
证明充要条件应从两个方面证明，一是________，一是________．
p?q
充要条件
充要
充要
互为充要条件
充分性
必要性
1．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】|a＋b|＝|a－b|?|a＋b|2＝|a－b|2?a·b＝0.而由|a|＝|b|推不出a·b＝0，且由a·b＝0也推不出|a|＝|b|.故选D．
2.(2020年山东日照模拟)“m＜0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当m＜0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m＜0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件.故选A.
4．条件p：1－x<0，条件q：x>a.若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，1)
【解析】p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但q?/
p，即p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
【例1】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【解题探究】条件关系的判断，利用定义法、集合法、等价命题法．
充分、必要条件的判断方法．
(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．
(2)从集合的角度判断：若A?B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件．
(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠6，q：x≠2或y≠4；
(3)在△ABC中，p：sin
A>sin
B，q：tan
A>tan
B；
(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.
【例2】 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解题探究】利用条件关系的性质解决问题．
充分、必要条件的应用
充分条件与必要条件的应用技巧．
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【例3】 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.
【解题探究】充要条件的证明要从充分性和必要性两方面入手．
【证明】(充分性)因为A＝90°，所以a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
充要条件的证明
要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行证明．要证充分性，即证“若p，则q”为真；要证必要性，即证“若q，则p”为真．在证明的过程中，若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
3．求证：“a>1”是“不等式ax2＋2x＋1>0恒成立”的充要条件．
寻找充要条件出错
【示例】已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0的两根均大于1，求实数m的取值范围．
【警示】熟练掌握相关的数学知识和逻辑推理方法是正确求解充分条件、必要条件的基础和关键．
1．四种方法判定充分、必要条件，在不易判断p是q的充分条件(即p?q)时，可以转向判断?q??p；证明p是q的必要条件(即q?p)，可以证明?p??q.
2．求问题的充要条件(等价转化)．
3．证明p是q的充要条件，要证明充分性、必要性两个方面．
1.(2020年湖北八校联考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4时，a＋d＝b＋c，但此时a，b，c，d不成等差数列；而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件.故选B.
2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin
A≤sin
B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在△ABC中，由正弦定理可知a≤b?sin
A≤sin
B．故选C．
【答案】BCD
【答案】(－1,1] (共30张PPT)
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
目标定位
重点难点
1.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，能写出原命题的其他三种命题
2.能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假
重点：正确分析四种命题的相互关系
难点：正确写出原命题的否命题
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作___________；
互逆命题
如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作__________；如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫作______________．把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的___________、__________、__________.
互否命题
互为逆否命题
逆命题
否命题
逆否命题
2．四种命题结构
3．四种命题之间的关系
若q，则p
若?p，则?q
若?q，则?p
4．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性____________．
相同的
没有关系
1．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是( )
A．若a，b都是偶数，则a＋b不是偶数
B．若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数
C．若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数
D．若a，b不都是偶数，则a＋b是偶数
【答案】C
【解析】否命题是把原命题的条件和结论都否定，注意“都是”的否定为“不都是”．
2．与命题“若m∈M，则n?M”等价的命题是( )
A．若m∈M，则n?M
B．若n?M，则m∈M
C．若m?M，则n∈M
D．若n∈M，则m?M
【答案】D
【解析】写出等价命题就是写出原命题的逆否命题．
3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中( )
A．真命题的个数一定是奇数
B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D．上述判断都不正确
【答案】B
【解析】因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.
4．若a≠0，则ab≠0的逆命题是__________________．
【答案】若ab≠0，则a≠0
四种命题间的转换及真假性的判断
【解题探究】确定命题的条件与结论，利用相关知识判断．
【解析】(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线同垂直于平面α.假命题．
否命题：如果两条直线不同垂直于平面α，那么这两条直线不平行．假命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不同垂直于平面α.真命题．
1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
2．四种命题真假的判断关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．
1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a≤1，则方程x2－2x＋a＝0有实根；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧；
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(4)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0.
【解析】(1)逆命题：若方程x2－2x＋a＝0有实根，则a≤1.真命题．
否命题：若a>1，则方程x2－2x＋a＝0无实根．真命题．
逆否命题：若方程x2－2x＋a＝0无实根，则a>1.真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．
逆否命题：若一条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．
(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．
(4)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0.真命题．
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0.真命题．
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0.假命题．
【例2】 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，求证：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【解题探究】证明原命题等价于证明逆否命题．
【证明】(方法一)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，
若a＋b<0，则f(a)＋f(b)a＋b<0，即a<－b，b<－a.
等价命题的应用
∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)∴原命题为真命题．
(方法二)假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.
原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题来达到证明原命题的目的．此证法与反证法不同，反证法是通过否定结论的反面而达到目的，而逆否命题证法是证明原命题的等价命题成立．
2．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
关键词的否定易出错
【示例】x，y∈R，写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
【错解】逆命题为：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．否命题为：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．逆否命题为：若x，y全不为零，则x2＋y2≠0，是真命题．
【错因分析】错因是对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．
【正解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，是真命题．
【警示】在对命题的条件和结论进行否定时，不能一概在关键词前加“不”，应结合命题研究的对象进行分析．一些常见的词语与它的否定词对照表如下：
原词
语
等于
大于
小于
是
都是
至多n个
至少n个
能
否定
词语
不等
于
不大
于
不小
于
不是
不都
是
至少
n＋1个
至多
n－1个
不能
1．写出一个命题的其他三种形式，关键是正确地将原命题改写成“若p，则q”的形式及正确地对原命题的条件和结论进行否定．对存在大前提的命题注意在写其他三种命题时不要改变，另外在一个命题及其他三种形式中原命题是人为指定的，要注意它们之间的关系．
2．在判断命题的真假时，要注意互为逆否的两个命题的等价性．
1．命题“若a
＞
b，则a＋c
＞
b＋c”的否命题是( )
A．若a
≤
b，则a＋c
≤
b＋c
B．若a＋c
≤
b＋c，则a
≤
b
C．若a＋c
＞
b＋c，则a
＞
b
D．若a
＞
b，则a＋c
≤
b＋c
【答案】A
【解析】命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a
≤
b，则a
＋
c
≤
b
＋
c”．故选A．
2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
【答案】B
【解析】即写命题“若一个整数能被6整除，则这个整数一定能被3整除”的逆否命题．
3．(2019年广西玉林期末)若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
【答案】A
【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若?A，则?B”，r为“若?B，则?A”．故q与r为互逆命题．
4．给出命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．
【答案】3
【解析】原命题及逆命题都为真命题，故否命题、逆否命题也为真命题．(共24张PPT)
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题
目标定位
重点难点
1.了解命题的定义，能判定一个句子是不是命题
2.能够判断命题的真假
重点：了解命题的定义，判断命题的真假
难点：判定一个句子是不是命题
1．命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以______________________叫作命题．其中判断为真的语句叫作________，判断为假的语句叫作_________．
2．“若p，则q”是命题的一种表示形式，其中命题中的p叫作____________，q叫作____________．命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式．
判断真假的陈述句
真命题
假命题
命题的条件
命题的结论
1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”
( )
A．不是命题
B．是真命题
C．是假命题
D．不能判断真假
【答案】B
【解析】不等式两边同加上同一个数不等式仍然成立．
2．下列语句中不是命题的是( )
A．台湾是中国的领土
B．两军相遇勇者胜
C．学海无涯苦作舟
D．连接A，B两点
【答案】D
【解析】根据命题的定义判断．
3．下列命题中是假命题的是( )
A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．5>3
【答案】B
【解析】|a|＝|b|只能说明a与b长度一样．a＝b不一定成立．
4．命题“常数列是等比数列”的条件p为________，结论q为________，这个命题是______(填“真”或“假”)命题．
【答案】某数列为常数列 该数列为等比数列 假
【例1】 下列语句：
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
②一个数的算术平方根一定是非负数；
③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；
④请完成第九题；
⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．其中是命题的是________．
命题的判断
【解题探究】根据命题的定义逐个判断．
【答案】②③⑤
1．判断语句是否是命题的策略：(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题．
2．命题真假的判定方法：(1)真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)关于假命题的判定，可以通过举一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
解：(1)(2)(4)是能够判断真假的陈述句，所以是命题．(1)(4)是真命题．因为－1<0，但(－1)2>0，所以(2)是假命题．(3)是感叹句，所以不是命题．(5)是祈使句，所以不是命题．(6)中由于x是未知数，x可能大于15，也可能小于15，不能判断其真假，所以不是命题．
【例2】 将下列命题改成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
①6是12和18的公约数；
②当a＞－1时，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
③已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2；
④对顶角相等；
⑤负数的立方仍是负数．
【解题探究】找准命题的条件和结论，是解决这类问题的关键．
命题的结构形式
把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论有多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．改写后的命题仅是原命题的另一种叙述形式，并不改变原命题的真假性．
判断命题易出错
【示例】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)当m＞－4时，方程mx2－6x－9＝0有两个不等实根．
(2)垂直同一个平面的两个平面必平行吗？
(3)一个正整数不是合数就是质数．
(4)大角所对的边大于小角所对的边．
(5)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数．
(6)求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
【错解】(1)是真命题．
(2)不是命题．
(3)(4)(5)是假命题．
(6)是祈使句，不是命题．
【错因分析】只要举出一个反例就能判断命题为假命题．
1．并不是所有的语句都是命题，只有那些能够判断真假的陈述语句才是命题．
2．一个命题只能是真、假两种情形中的一种，即要么是真，要么是假，不能即是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断真假．
3．数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题．
1．下列语句：①白马不是马．②圆太美了！③y＝cos
x是偶函数吗？④请给我拿支笔．⑤π∈Z.其中是命题的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①⑤
【答案】D
【解析】①是陈述句，为假命题，所以①是命题；②是感叹句，不是命题；③是疑问句，不是命题；④是祈使句，不是命题；⑤是陈述句，为假命题，所以⑤是命题．故选D．
2．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sin
α＝sin
β，则α＝β；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin
30°＝sin
150°但30°≠150°，所以②错误；对于③，显然对．故正确的是①③，共2个，选C．
3．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】[－3,0]
4．把命题“当m>0时，方程x2＋x－m＝0有实根”改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
【解析】改写成“若p，则q”的形式为“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”．方程x2＋x－m＝0的判别式为Δ＝1＋4m.当m>0时，Δ>0，方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题为真命题.
