2020-2021学年苏科版初三下册数学第5章《二次函数》2020年中考真题汇编（Word版 含解析）

2020-2021学年苏科版初三数学《二次函数》2020年中考真题汇编
一、选择题
1、（2020.绥化）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2020.荆门）若抛物线经过第四象限的点（1，-1），则关于x的方程的根的情况是（
）
A.
有两个大于1的不相等实数根
B.
有两个小于1的不相等实数根
C.
有一个大于1另一个小于1的实数根
D.
没有实数根
3、（2020.鄂州）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
4、（2020.贵州遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5、（2020.河北）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（
）
A.
乙错，丙对
B.
甲和乙都错
C.
乙对，丙错
D.
甲错，丙对
6、（2020.鸡西）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0).
下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y1m(am+b)
(其中m≠)．其中说法正确的是（
）
A.
①②④⑤
B.
①②④
C.
①④⑤
D.
③④⑤
7、（2020.福建）已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，则
8、（2020.江西）6.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
9、（2020.滨州）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10、（2020.德州）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（
）
A.若，是图象上的两点，则
B.
C.方程有两个不相等的实数根
D.当时，随的增大而减小
11、（2020.菏泽）8.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A.
B.
C.
D.
12、（2020.成都）关于二次函数，下列说法正确的是（
）
A.
图象的对称轴在轴的右侧
B.
图象与轴的交点坐标为
C.
图象与轴的交点坐标为和
D.
的最小值为－9
二、填空题
1、（2020.哈尔滨）抛物线的顶点坐标为______________________________．
2、（2020.鸡西）将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．
3、（2020.淮安）二次函数的图像的顶点坐标是_________．
4、（2020.南京）下列关于二次函数（m为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0,1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是
．
5、（2020.无锡）写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________．
6、（2020.哈尔滨）抛物线的顶点坐标为______________________________．
7、（2020.上海）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　．
8、（2020.泰安）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
9、（2020.武汉）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．
其中正确的结论是________（填写序号）．
10、（2020.黔东南）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　
　．
三、解答题
1、（2020.黑龙江龙东）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
2、（2020.鸡西）已知抛物线y=a(x－2)2+c经过点A(－2,0)和点C(0,)，与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接写出线段BE的长．
3、（2020.贵州铜仁）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
4、（2020.黔西南）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
5、（2020.贵州遵义）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．
6、（2020.河南）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点G的坐标；
点为抛物线上两点(点在点的左侧)
，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
7、（2020.大庆）如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为1：7．点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）
8、（2020.绥化）如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且．
（1）求抛物线的解析式与k的值；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与相似，求出的长；
（3）如图2，过抛物线上的动点G作轴于点H，交直线于点Q，若点是点Q关于直线的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
9、（2020.鄂州）.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10、（2020.黄冈）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
11、（2020.常州）如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、．
（1）填空：________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q．若，求点P的坐标；
（3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接．当点F在x轴上时，直接写出的长．
12、（2020.恩施州）如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．
（3）在（2）的旋转变换下，若（如图）．
①求证：．
②当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．
2020-2021学年苏教版初三数学《一元二次函数》2020年中考真题汇编（答案与解析）
一、选择题
1、（2020.绥化）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
2、（2020.荆门）若抛物线经过第四象限的点），则关于x的方程的根的情况是（
）
A.
有两个大于1的不相等实数根
B.
有两个小于1的不相等实数根
C.
有一个大于1另一个小于1的实数根
D.
没有实数根
【答案】C
3、（2020.鄂州）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】B
4、（2020.贵州遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C．
5、（2020.河北）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（
）
A.
乙错，丙对
B.
甲和乙都错
C.
乙对，丙错
D.
甲错，丙对
【答案】C
6、（2020.鸡西）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0).
下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y1m(am+b)
(其中m≠)．其中说法正确的是（
）
A.
①②④⑤
B.
①②④
C.
①④⑤
D.
③④⑤
【答案】A
7、（2020.福建）已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，则
【答案】C
8、（2020.江西）6.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
9、（2020.滨州）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
10、（2020.德州）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（
）
A.若，是图象上的两点，则
B.
C.方程有两个不相等的实数根
D.当时，随的增大而减小
【答案】D
11、（2020.菏泽）8.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
12、（2020.成都）关于二次函数，下列说法正确的是（
）
A.
图象的对称轴在轴的右侧
B.
图象与轴的交点坐标为
C.
图象与轴的交点坐标为和
D.
的最小值为－9
【答案】D
二、填空题
1、（2020.哈尔滨）抛物线的顶点坐标为______________________________．
2、（2020.鸡西）将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．
3、（2020.淮安）二次函数的图像的顶点坐标是_________．
【答案】(-1,4)
4、（2020.南京）下列关于二次函数（m为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0,1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是
．
【答案】①②④
5、（2020.无锡）写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________．
【答案】（答案不唯一）
6、（2020.哈尔滨）抛物线的顶点坐标为______________________________．
【答案】(1，8)
7、（2020.上海）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　．
【答案】y＝x2+3
8、（2020.泰安）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
9、（2020.武汉）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
10、（2020.黔东南）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　
　．
【答案】﹣3＜x＜1
三、解答题
1、（2020.黑龙江龙东）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
（1）∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）存在，理由如下：
当点P在轴下方时，
如图，设AP与轴相交于E，
令，则，
∴点C的坐标为(0，3)，
∵A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴∠ABC=45，
∵∠PAB=∠ABC=45，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴OA=OE=1，
∴点E的坐标为(0，-1)，
设直线AE的解析式为，
把A(-1，0)代入得：，
∴直线AE的解析式为，
解方程组，
得：(舍去)或，
∴点P的坐标为(4，)；
当点P在轴上方时，
如图，设AP与轴相交于D，
同理，求得点D的坐标为(0，1)，
同理，求得直线AD的解析式为，
解方程组，
得：(舍去)或，
2、（2020.鸡西）已知抛物线y=a(x－2)2+c经过点A(－2,0)和点C(0,)，与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接写出线段BE的长．
（1）将点A(-2,0)，C(0,)代入
y
=
a(x
-
2)2
+
c，得：，解得：．
∴抛物线的解析式为y=(x－2)2+3
．
∴顶点D的坐标为(2,3)．
（2）∵A,B两点为抛物线与x轴两交点，D为坐标顶点，
∴DA=DB，故∠DAB=∠DBA，
∵DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD．
∵∠EFD=∠FEB+∠EBD，∠DEF=∠DAB，
∴∠EDF=∠FEB+∠DEF，
∴∠BDE=∠BED，
故BD=BE．
∵A(-2,0)，D(2,3)，
∴利用对称性可得B(6,0)，
经计算BD=5,
故BE=5．
3、（2020.贵州铜仁）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBC＝PF?OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC面积取最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝DM＝，
∴N（0，），
当时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴，
解得a＝，
∴M（，），
此时N（0，）．
如图3，当点M位于点C的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或＝2，△CMN与△OBC相似，
解得a＝或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．
综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
4、（2020.黔西南）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（，）；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD+PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，
∵A（6，0），C（0，6），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），
∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，
∴P（3，12）；
（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴，
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为，
设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），
∴﹣m2+5m+6＝，解得，m＝或m＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．
5、（2020.贵州遵义）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．
解：（1）把点A（﹣1，0）和点C
（0，3）代入y＝ax2+x+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）不存在，理由如下：
①当点Q在y轴右边时，如图1所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QH⊥OC于H，
∵点C
（0，3），
∴OC＝3，
则OH＝OC＝，tan60°＝，
∴QH＝OH?tan60°＝×＝，
∴Q（，），
把x＝代入y＝﹣x2+x+3，
得：y＝﹣≠，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；
②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QT⊥OC于T，
∵点C
（0，3），
∴OC＝3，
则OT＝OC＝，tan60°＝，
∴QT＝OT?tan60°＝×＝，
∴Q（﹣，），
把x＝﹣代入y＝﹣x2+x+3，
得：y＝﹣﹣≠，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；
（3）令﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设BC直线的解析式为：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入则，
解得：，
∴BC直线的解析式为：y＝﹣x+3，
当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，如图3所示：
延长PM交AB于点D，
则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，
设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），
则PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，
∴（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x+3，
解得：x1＝1，x2＝4（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：MD＝﹣+3＝；
当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，如图4所示：
延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），
则PD＝﹣x2+x+3，MD＝﹣x+3，
∴（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝x，
解得：x1＝，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM＝；
当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，如图5所示：
点P与A重合，
∴M的横坐标为﹣1，
∴⊙M的半径为：M的纵坐标的值，
即：﹣×（﹣1）+3＝；
当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，如图6所示：
延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，﹣x2+x+3），M（x，﹣x+3），
则PD＝x2﹣x﹣3，MD＝x﹣3，
∴（x2﹣x﹣3）﹣（x﹣3）＝x，
解得：x1＝，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM＝；
综上所述，⊙M的半径为或或或．
6、（2020.河南）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点G的坐标；
点为抛物线上两点(点在点的左侧)
，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
】解：（1）∵抛物线与轴正半轴分别交于点B，
∴B点坐标为（c，0），
∵抛物线经过点A，
∴﹣c2+2c+c=0，
解得c1=0（舍去），c2=3，
∴抛物线的解析式为
∵=﹣（x－1）2+4，
∴抛物线顶点G坐标为（1,4）．
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度
，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6，
点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21，
又∵点M在点N的左侧，
∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤4
当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤﹣5，
∴的取值范围为﹣21≤≤4．
6、（2020.大庆）如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为1：7．点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）
解：（1）把和点代入：，
解得：
所以：抛物线为：，
（2）,
令
则
解得：
过作轴于
过作于，则
的面积与的面积之比为1：7，
设为：
解得：
为：
解得：
过作轴于，交于
设
则
当最大，则的面积最大，
所以：当时，
所以的最大面积＝
（3）
令
记抛物线与轴的交点为
过作轴交抛物线于，
令
则
解得：
抛物线的顶点
当时，
当时，的取值范围是，
7、（2020.绥化）如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且．
（1）求抛物线的解析式与k的值；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与相似，求出的长；
（3）如图2，过抛物线上的动点G作轴于点H，交直线于点Q，若点是点Q关于直线的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
（1）当时，，
∴点C的坐标为
(0，4)，
∵点C
(0，4)在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵C
(0，4)，，
∴，
∴点N的坐标为
(，0)，
∵直线过N
(，0)，
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为，k的值为；
（2）连接，
令，则,
解得，
∴点A的坐标为
(，0)，点B的坐标为
(4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线．
∴点A的坐标为
(，0)，
∵C
(0，4)，
∴，，，
①当时，
，
∴，
∴；
②当时，
，
∴，
∴，
综上，的长为或10；
（3）如图，点是点Q关于直线的对称点，且点在y轴上时，
由轴对称性质可知，，，，
∵轴，∴轴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
作轴于点P，
设，
则，
∴，
，
∵，
∴，
令，则，令，则，
∴直线与坐标轴的交点分别为M
(0，3)，N(，0)，
∴OM=3，ON=4，
在中，，
∴，
∴，
解得，，，，
经检验，，，都是所列方程的解，
综上，点G的横坐标为或或或．
8、（2020.鄂州）.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2）
将B、C坐标代入抛物线得
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①∵，垂足为N．
∴P（m，），D（m，），
分以下几种情况：
M是PD的中点时，MD=PM，即0-（）=
解得，（舍去）；
P是MD的中点时，MD=2MP，即=2（）
解得，（舍去）；
D是MP的中点时，2MD=MP，即=2（）
解得，（舍去）；
∴符合条件的m的值有-2，，1；
②∵抛物线的解析式为：，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴AO=1，CO=2，BO=4，
∴，又=90°，
∴，
∴，
∵与相似
∴，
∴，
∴
，
∴点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得
解得：（舍去），，
∴点P的坐标为：（3，-2）
9、（2020.黄冈）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）方法1：设抛物线的解析式为
将点代入解析式中，则有．
∴抛物线的解析式为．
方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，
将代入解析式中，则有
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2），
．
．
．
．
的坐标为．
又点坐标为．
直线的解析式为．
（3）．
∴顶点D的坐标为．
①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：
，即．
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：
，即
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
∴综合得：点P的坐标为
（4）∵点A或点B关于对称轴对称
∴连接与直线交点即为F点．
∵点H的坐标为，点的坐标为，
∴直线BH的解析式为：．
令，则．
当点F的坐标为时，的值最小．11分
设抛物线上存在一点，使得的值最小．
则由勾股定理可得：．
又∵点K在抛物线上，
代入上式中，
．
如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为．
∴点S的坐标为．
则．
（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
．
当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小．
又∵点G的坐标为，
，将其代入抛物线解析式中可得：．
∴当点K的坐标为时，最小．
10、（2020.常州）如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、．
（1）填空：________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q．若，求点P的坐标；
解：（1）∵抛物线过点C（1，0），
∴将C（1，0）代入得0=1+b+3，
解得b=-4，
故答案为：-4；
（2）由（1）可得抛物线解析式为：，
当x=0时，y=3，
∴A的坐标为（0，3），
当y=3时得，
解得x1=0，x2=4，
∴点B的坐标为（4，3），
∵，
∴顶点D的坐标为（2，-1），
设BD与x轴的交点为M，作CH⊥AB于H，DG⊥CM于G，
∴tan∠ACH=
tan∠OAC=，
根据勾股定理可得BC=，CD=，BD=，
∴BD=，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD=，
∴∠ACH=∠CBM，
∵∠HCB=∠BCM=45°，
∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB，
即∠ACB=∠CMD，
Q在CD上方时：若，则Q与M点重合，
∵中，令y=0，解得：x=1或3，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
即此时P的坐标为（3，0）；
Q在CD下方时：过点Q作QK⊥x轴，过点C作CL⊥QM于点L，过点A作AN⊥BC于点N，
可得：AB=4，BC=，AC=，设CN=x，则BN=-x，
在△ABC中，，
即，解得：x=，
∴cos∠ACN==，
设直线BD的表达式为：y=mx+n，将B，D代入得：
，解得：，
∴直线BD的表达式为y=2m-5，
令y=0，则x=，即点M（，0），
设点Q坐标为（a，2a-5），
则QK=5-2a，CM=，QM=，
∵∠ACB=∠CMD，∠ACB=∠CQD，
∴∠CMD=∠CQD，即CQ=CM=,
∴cos∠CQD=cos∠ACB=,
∴QL=，QM=，CL=，
在△CQM中，，
即，解得：KQ=，
∴CK=,
∴Q（，），
设直线CQ表达式为：y=sx+t，将点C和点Q代入，
，解得：，
则CQ表达式：，联立：
，解得，
即点P坐标为（，），
综上：点P的坐标为（3，0）或（，）；
（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，
∴R（3，1），设C′（p，q），
由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3，
直线BD表达式为：y=2x-5，
直线BC的表达式为：y=x-1，
令-3x+3=2x-5，解得：x=，则y=，
∴点N′（，），
∵点C和C′关于直线BD对称，
∴CR=C′R=BD=，CN′=C′N′=，
则有，，
即，
①-②得：③，代入①，
解得：或0（舍），代入③中，得：，
解得：，即点C′（，），
∵N′（，），求得直线C′N′的表达式为：，
∵点F在x轴上，令y=0，则x=7，
∴点F（7，0），
又∵点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-1，连接CG，
可得∠BCF=45°=∠BCG，
∴∠FCG=90°，
∴CG=CF=6,
∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3），
∴AG的长为.
11、（2020.恩施州）如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．
（3）在（2）的旋转变换下，若（如图）．
①求证：．
②当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．
（1）∵点在抛物线上，
∴，
得到，
又∵对称轴，
∴，
解得，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）当点M在点C的左侧时，如下图：
∵抛物线的解析式为，对称轴为，
∴点A（2，0），顶点B（2，4），
∴AB=AC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=45°；
∵将逆时针旋转得到△MEF，
∴FM=CM，∠2=∠1=45°，
设点M的坐标为（m，0），
∴点F（m，6-m），
又∵∠2=45°，
∴直线EF与x轴的夹角为45°，
∴设直线EF的解析式为y=x+b，
把点F（m，6-m）代入得：6-m=m+b，解得：b=6-2m，
直线EF的解析式为y=x+6-2m，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
整理得：，
∴Δ=b2-4ac=0，解得m=，
点M的坐标为（，0）．
当点M在点C的右侧时，如下图：
由图可知，直线EF与x轴夹角仍是45°，因此直线与抛物线不可能只有一个交点．
综上，点M的坐标为（，0）．
（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵，由（2）知∠BCA=45°，
∴PG=GC=1，
∴点G（5，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵将逆时针旋转得到△MEF，
∴EM=PM，
∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH
=90°，
∴∠HEM=∠GMP，
在△EHM和△MGP中，
，
∴△EHM≌△MGP（AAS），
∴EH=MG=5-m，HM=PG=1，
∴点H（m-1，0），
∴点E的坐标为（m-1，5-m）；
∴EA==，
又∵为线段的中点，B（2，4），C（6，0），
∴点D（4，2），
∴ED==，
∴EA=
ED．
当点M在点C的右侧时，如下图：
同理，点E的坐标仍为（m-1，5-m），因此EA=
ED．
②当点在（1）所求的抛物线上时，
把E（m-1，5-m）代入，整理得：m2-10m+13=0，
解得：m=或m=，
∴=或=．