第4章数列 章末复习2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

知识系统整合
规律方法收藏
1．由数列的前n项和求an时，应注意是
an＝若an＝Sn－Sn－1(n≥2)对于n＝1也成立，则合并写成一个an的式子，否则分段表示an.
2．使用an－an－1＝d(常数)或＝q(常数)证明等差或等比数列时，以上两式中均应注明(n≥2，n∈N*)，否则，数列不是等差数列或等比数列．
3．牢记等差、等比数列的一些重要性质并应用，往往能迅速地解决问题，但是不要忘记解等差、等比数列问题常用的基本量法，才是通用方法．
4．使用等比数列前n项和公式时，应注意公比q是否等于1.
5．等差、等比数列的通项公式和前n项和公式是它们的重要基本公式，对这两个公式要用方程思想、函数思想并从变形与发展的角度去深刻认识．
6．解等差、等比数列的综合题必须牢固掌握基础知识、基本技能和基本题型，并且要灵活运用这些知识，善于将综合题分解为几个基本题．解等差、等比数列的应用题，关键是将抽象的文字语言转化为数学语言，应用数列的定义、公式及性质加以解决．这就要求能真正理解题意、理清其脉络，从纷繁复杂的实际问题中发掘出其本质特征．
7．应用数列知识解应用题，应首先读懂题意，然后建立数学模型，最后求解、回答．
8．判断数列{an}为等差数列的充要条件
(1)数列{an}是等差数列?an－an－1＝d(n≥2)．
(2)数列{an}是等差数列?2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
(3)数列{an}是等差数列?an＝pn＋q(p，q是与n无关的常数)．
(4)数列{an}是等差数列?a1＋a2＋…＋an＝An2＋Bn(A，B为常数)．
9．等差数列与等比数列的转换
(1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}(a>0，a≠1)是等比数列．
(2)若数列{an}是等比数列，则数列{lg |an|}是等差数列．
10．数学归纳法的运用关键在于对归纳原理的深刻理解．
学科思想培优
一、数列通项公式的求法
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：
1 观察归纳法求数列的通项公式
就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．
2 利用公式法求数列的通项公式
数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a1与d或a1与q，再代入公式an＝a1＋(n－1)d或an＝a1qn－1中即可．
3 利用an与Sn的关系求数列的通项公式
如果给出的条件是an与Sn的关系式，可利用an＝先求出a1＝S1，再通过计算求出an(n≥2)的关系式，检验当n＝1时，a1是否满足该式，若不满足该式，则an要分段表示．
4 利用累加法、累乘法求数列的通项公式
形如：已知a1，且an＋1－an＝f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法；
形如：已知a1，且＝f(n)(f(n)是可求积数列)的形式均可用累乘法．
5 构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)
若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．
[典例1]　数列{an}中，an＋1＝2an＋1，且a1＝1，求通项公式an.
[典例2]　在数列{an}中，已知a1＝2且an＋1＝4an－3n＋1，求通项公式an.
[典例3]　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝2，求数列{an}的通项公式．
[典例4]　已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
[典例5]　设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
[典例6]　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求通项公式an.
二、以数阵为背景的数列问题
1 数阵的特点
所谓数阵是指将某些数，按一定的规律排成若干行和列，形成图表，也称之为数表，例如大家都非常熟悉的“杨辉三角”．数阵不仅有正方形、三角形，还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至几种图形的组合，变幻多样、对称性强，很能吸引人．在我们平常解题中最常见的是前两种．
2 以数阵为背景的数列问题
数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列，比较多见的是排成等差或等比数列，它重点考查等差、等比数列的相关知识，有时也会出现其他类型的数列，解决此类问题的关键是找出其中的规律，这就要求考生要有较强的观察、归纳、猜想能力以及对数列知识的融合迁移能力，下面例谈一下它的几种题型．
题型一　求数阵所暗示的规律(即通项公式)
[典例7]　如下图的数阵，则第n行的数从左到右依次是__________.
[典例8]　把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵.
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
…　…　…　…　…
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________.
题型二　求数阵中指定的某些项
[典例9]　在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，则标有*号的空格应填的数是__________.


*
74


2y


186
y
103

0 x 2x

[典例10]　在右表所示的3×3正方形的9个空格中填入正整数，使得每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，则标有*号的空格应填的数是________.
1
3


*
12
题型三　求数阵中某指定项的位置
[典例11]　自然数按下图所示规律排列，问2020是第几行第几个数？
题型四　求数阵中所有项或某些指定项的和
[典例12]　给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数a55＝5，则此数阵中所有数之和为__________.
三、数列中的数学思想与方法
1 函数与方程思想
由于数列可以看作定义域为正整数集或正整数集的有限子集的函数an＝f(n)，数列中的项是自变量从小到大取值时对应的一列函数值，因此在研究某些数列问题时，利用函数思想既有利于理解问题的本质，又简化了运算，如求等差数列前n项和的最值时，构建二次函数则简洁明了，求数列的最大项或最小项，可以根据函数的单调性求出最值．
[典例13]　设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn为数列的前n项和，求Tn的最大值．
2 化归、转化思想
等差数列、等比数列的计算，一般先求a1，公差d或公比q；遇到an与Sn的关系时，可以利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)都转化为an或Sn，再转化为等差数列或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求出．其中合理的转化是解题的关键．
[典例14]　设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t(t>0，n＝2,3,4，…)．
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f(n＝2,3,4，…)，求数列{bn}的通项bn；
(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1.
3 整体思想
解决某些数列问题时，往往要将其中的某一局部结构视为一个整体，利用整体思想简化结构，从而简化数列的运算．
[典例15]　已知等差数列{an}的前四项之和为－4，最后四项之和为36，且所有项之和为36，求其项数．
4 分类讨论思想
数列中某些问题往往需利用分类讨论思想来解决，如等比数列的前n项和公式中，若公比q的取值未知，则需要对q＝1与q≠1分类求解；由Sn求an时应分n＝1和n≥2两种情况讨论；某些数列的前n项和也需要讨论，通过分类讨论可以将复杂问题简单化，解题时要注意分类讨论标准的确定，做到不重不漏．
[典例16]　已知等比数列{an}的各项均为正数，2a5，a4,4a6成等差数列，且满足a4＝4a，数列{bn}的前n项和Sn＝bn，n∈N*，且b1＝1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝求数列{cn}的前n项和Pn；
(3)设dn＝an，n∈N*，数列{dn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.
5 由有限到无限的思想
数学归纳法的基本原理，即归纳原理(也称多米诺骨牌效应)通过研究有限来洞察无限，实现了由有限到无限的数学飞跃．
[典例17]　已知数列{an}满足a2＝6，＝(n∈N*)．
(1)求a1，a3，a4，a5的值；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
知识系统整合
规律方法收藏
1．由数列的前n项和求an时，应注意是
an＝若an＝Sn－Sn－1(n≥2)对于n＝1也成立，则合并写成一个an的式子，否则分段表示an.
2．使用an－an－1＝d(常数)或＝q(常数)证明等差或等比数列时，以上两式中均应注明(n≥2，n∈N*)，否则，数列不是等差数列或等比数列．
3．牢记等差、等比数列的一些重要性质并应用，往往能迅速地解决问题，但是不要忘记解等差、等比数列问题常用的基本量法，才是通用方法．
4．使用等比数列前n项和公式时，应注意公比q是否等于1.
5．等差、等比数列的通项公式和前n项和公式是它们的重要基本公式，对这两个公式要用方程思想、函数思想并从变形与发展的角度去深刻认识．
6．解等差、等比数列的综合题必须牢固掌握基础知识、基本技能和基本题型，并且要灵活运用这些知识，善于将综合题分解为几个基本题．解等差、等比数列的应用题，关键是将抽象的文字语言转化为数学语言，应用数列的定义、公式及性质加以解决．这就要求能真正理解题意、理清其脉络，从纷繁复杂的实际问题中发掘出其本质特征．
7．应用数列知识解应用题，应首先读懂题意，然后建立数学模型，最后求解、回答．
8．判断数列{an}为等差数列的充要条件
(1)数列{an}是等差数列?an－an－1＝d(n≥2)．
(2)数列{an}是等差数列?2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
(3)数列{an}是等差数列?an＝pn＋q(p，q是与n无关的常数)．
(4)数列{an}是等差数列?a1＋a2＋…＋an＝An2＋Bn(A，B为常数)．
9．等差数列与等比数列的转换
(1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}(a>0，a≠1)是等比数列．
(2)若数列{an}是等比数列，则数列{lg |an|}是等差数列．
10．数学归纳法的运用关键在于对归纳原理的深刻理解．
学科思想培优
一、数列通项公式的求法
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：
1 观察归纳法求数列的通项公式
就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．
2 利用公式法求数列的通项公式
数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a1与d或a1与q，再代入公式an＝a1＋(n－1)d或an＝a1qn－1中即可．
3 利用an与Sn的关系求数列的通项公式
如果给出的条件是an与Sn的关系式，可利用an＝先求出a1＝S1，再通过计算求出an(n≥2)的关系式，检验当n＝1时，a1是否满足该式，若不满足该式，则an要分段表示．
4 利用累加法、累乘法求数列的通项公式
形如：已知a1，且an＋1－an＝f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法；
形如：已知a1，且＝f(n)(f(n)是可求积数列)的形式均可用累乘法．
5 构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)
若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．
[典例1]　数列{an}中，an＋1＝2an＋1，且a1＝1，求通项公式an.
[解]　解法一：(迭代法)
an＝2an－1＋1＝2(2an－2＋1)＋1＝22an－2＋2×1＋1＝23an－3＋22×1＋2×1＋1＝…＝2n－1a1＋(2n－2＋2n－3＋…＋2＋1)＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1.
解法二：(待定系数法)
由an＋1＝2an＋1，
设an＋1＋k＝2(an＋k)，∴an＋1＝2an＋k，∴k＝1，
∴{an＋1}为等比数列，∴a1＋1＝2，公比为2，
∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.
解法三：(累加法)
由an＋1＝2an＋1，an＝2an－1＋1，得
an＋1－an＝2(an－an－1)(n≥2)．
故{an＋1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列，即an＋1－an＝2·2n－1＝2n，
利用累加得an＝2n－1.
[典例2]　在数列{an}中，已知a1＝2且an＋1＝4an－3n＋1，求通项公式an.
[解]　令an＋1－A(n＋1)－B＝4(an－An－B)，
则an＋1＝4an－3An＋A－3B.
由条件得解得
即an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，故数列{an－n}是首项为a1－1＝1，公比为4的等比数列，从而an－n＝4n－1，故an＝4n－1＋n.
[典例3]　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝2，求数列{an}的通项公式．
[解]　两边同除以5n＋1，得＝×＋，
可得－1＝.
由于－1＝－≠0，所以数列是以－为首项，为公比的等比数列，从而－1＝－×n－1，故数列{an}的通项公式为an＝5n－3×2n－1.
[典例4]　已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
[解]　由题意，可得＝＝＋2，
又＝，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，故＝＋2(n－1)＝，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
[典例5]　设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
[解]　∵Sn＝(an－1)，
∴当n＝1时，S1＝a1＝(a1－1)，解得a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝3，∴数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a1＝3.故数列的通项公式为an＝3n(n∈N*)．
[典例6]　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求通项公式an.
[解]　∵a1＝2，an＋1＝an，
∴＝，＝，…，＝，
以上n－1个等式左右两边分别相乘得＝n·2n－1，即an＝n·2n，且n＝1时，a1＝2也适合上式，
∴an＝n·2n.
二、以数阵为背景的数列问题
1 数阵的特点
所谓数阵是指将某些数，按一定的规律排成若干行和列，形成图表，也称之为数表，例如大家都非常熟悉的“杨辉三角”．数阵不仅有正方形、三角形，还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至几种图形的组合，变幻多样、对称性强，很能吸引人．在我们平常解题中最常见的是前两种．
2 以数阵为背景的数列问题
数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列，比较多见的是排成等差或等比数列，它重点考查等差、等比数列的相关知识，有时也会出现其他类型的数列，解决此类问题的关键是找出其中的规律，这就要求考生要有较强的观察、归纳、猜想能力以及对数列知识的融合迁移能力，下面例谈一下它的几种题型．
题型一　求数阵所暗示的规律(即通项公式)
[典例7]　如下图的数阵，则第n行的数从左到右依次是__________.
[解析]　设第n行左边第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝a1＋2×1，a3＝7＝a2＋2×2，…，an＝an－1＋2(n－1)．叠加得an＝n2－n＋1，故第n行的数从左到右依次是n2－n＋1，n2－n＋3，n2－n＋5，…，n2－n＋(2n－1)．
[答案]　n2－n＋1，n2－n＋3，n2－n＋5，…，n2－n＋(2n－1)
[典例8]　把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵.
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
…　…　…　…　…
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________.
[解析]　该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.
[答案]　－＋3
题型二　求数阵中指定的某些项
[典例9]　在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，则标有*号的空格应填的数是__________.


*
74


2y


186
y
103

0 x 2x

　　[解析]　记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52＝x，a41＝y.
由第3行得a33＝，由第3列得a33＝2×103－2x，所以2x＋y＝113.①
由第1列得a21＝3y，则由第2行得a23＝2×74－3y，由第3列得a33＋103＝a23＋2x，所以a23＝3×103－4x.所以2×74－3y＝3×103－4x，即4x－3y＝161，②
解①②，得x＝50，y＝13.所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＝2a33－a53＝112，a14＝＝142，故标有*号的空格应填142.
[答案]　142
[典例10]　在右表所示的3×3正方形的9个空格中填入正整数，使得每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，则标有*号的空格应填的数是________.
1
3


*
12
[解析]　设标有*号的空格应填a，根据中间空格列方程，得×2＝2，解得a＝4，故标有*号的空格应填4.
[答案]　4
题型三　求数阵中某指定项的位置
[典例11]　自然数按下图所示规律排列，问2020是第几行第几个数？
[解]　设2020在第m行，则m是满足>2020的最小正整数，解得m＝64.经分析知第64行左边第一个数是2017，则2020－2017＋1＝4，故2020是第64行第4个数．
题型四　求数阵中所有项或某些指定项的和
[典例12]　给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数a55＝5，则此数阵中所有数之和为__________.
[解析]　S＝(a11＋a12＋…＋a19)＋(a21＋a22＋…＋a29)＋…＋(a91＋a92＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.故此数阵中所有数之和为405.
[答案]　405
三、数列中的数学思想与方法
1 函数与方程思想
由于数列可以看作定义域为正整数集或正整数集的有限子集的函数an＝f(n)，数列中的项是自变量从小到大取值时对应的一列函数值，因此在研究某些数列问题时，利用函数思想既有利于理解问题的本质，又简化了运算，如求等差数列前n项和的最值时，构建二次函数则简洁明了，求数列的最大项或最小项，可以根据函数的单调性求出最值．
[典例13]　设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn为数列的前n项和，求Tn的最大值．
[解]　设等差数列{an}的公差为d，则
Sn＝na1＋d，因为S7＝21，S15＝－75，
所以
解得
所以Sn＝9n－(n2－n)＝10n－n2，
所以＝10－n.
因为－＝－1，＝9，所以数列是首项为9，公差为－1的等差数列，所以Tn＝＝－n2＋n＝－2＋.
因为n∈N*，所以当n＝9或10时，Tn有最大值为45.
2 化归、转化思想
等差数列、等比数列的计算，一般先求a1，公差d或公比q；遇到an与Sn的关系时，可以利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)都转化为an或Sn，再转化为等差数列或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求出．其中合理的转化是解题的关键．
[典例14]　设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t(t>0，n＝2,3,4，…)．
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f(n＝2,3,4，…)，求数列{bn}的通项bn；
(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1.
[解]　(1)证明：∵a1＝S1＝1，S2＝1＋a2，
∴a2＝，＝.
又3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t，①
∴3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t(n≥3)，②
①－②，得3tan－(2t＋3)an－1＝0，
∴＝(n＝2,3，…)，
∴数列{an}是一个首项为1，公比为的等比数列．
(2)由f(t)＝＝＋，得
bn＝f＝＋bn－1.
∴数列{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．
∴bn＝1＋(n－1)＝.
(3)由bn＝，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，
于是b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b5)＋b6(b5－b7)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1)＝－(b2＋b4＋…＋b2n)＝－×n×＝－(2n2＋3n)．
3 整体思想
解决某些数列问题时，往往要将其中的某一局部结构视为一个整体，利用整体思想简化结构，从而简化数列的运算．
[典例15]　已知等差数列{an}的前四项之和为－4，最后四项之和为36，且所有项之和为36，求其项数．
[解]　由题意，得
①＋②，得a1＋a2＋a3＋a4＋an＋an－1＋an－2＋an－3＝32，
∴4(a1＋an)＝32，∴a1＋an＝8.
又Sn＝＝×8＝36，∴n＝9，
即该数列的项数为9.
4 分类讨论思想
数列中某些问题往往需利用分类讨论思想来解决，如等比数列的前n项和公式中，若公比q的取值未知，则需要对q＝1与q≠1分类求解；由Sn求an时应分n＝1和n≥2两种情况讨论；某些数列的前n项和也需要讨论，通过分类讨论可以将复杂问题简单化，解题时要注意分类讨论标准的确定，做到不重不漏．
[典例16]　已知等比数列{an}的各项均为正数，2a5，a4,4a6成等差数列，且满足a4＝4a，数列{bn}的前n项和Sn＝bn，n∈N*，且b1＝1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝求数列{cn}的前n项和Pn；
(3)设dn＝an，n∈N*，数列{dn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.
[解]　(1)因为an>0，所以q>0.
?
解得
所以an＝n，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝bn－，即＝，
所以数列是首项为1的常数列，＝1.
所以bn＝n.
(2)由(1)可得cn＝
当n为偶数时，Pn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(a2＋a4＋…＋an)
＝[1＋3＋…＋(n－1)]＋
＝(1＋n－1)＋
＝＋－·n；
当n为奇数时，Pn＝Pn－1＋bn＝＋－·n－1＋n
＝＋－·n－1.
(3)证明：因为dn＝·
＝－，
所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－<.
5 由有限到无限的思想
数学归纳法的基本原理，即归纳原理(也称多米诺骨牌效应)通过研究有限来洞察无限，实现了由有限到无限的数学飞跃．
[典例17]　已知数列{an}满足a2＝6，＝(n∈N*)．
(1)求a1，a3，a4，a5的值；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
[解]　(1)∵a2＝6，＝，
当n＝1时，＝1，∴a1＝1，
当n＝2时，＝，∴a3＝15，
当n＝3时，＝，∴a4＝28，
当n＝4时，＝，∴a5＝45.
(2)由(1)猜想an＝n(2n－1)，证明如下：
①当n＝1时，a1＝1成立；
②假设n＝k时，猜想成立，即ak＝k(2k－1)，
则当n＝k＋1时，有＝，
化简，得ak＋1＝(k＋1)(2k＋1)，
即当n＝k＋1时，猜想成立．
由①②可知，猜想对任意n∈N*都成立．