第一单元第5课时：圆柱的体积（二）
年级：
六年级
教材版本：
北京版
一、教学背景简述
学生在圆柱的认识和体积的学习中，了解通过围绕长方形不同的轴旋转能够得到不同的圆柱体，会用“底面积乘高”计算圆柱的体积，在推导圆柱体积时积累了图形转化的活动经验。本节课学生在练习中对体积推导的学习方法进行迁移，通过观察发现形状变了，体积不变，并在解决问题中主动把图形前后的变化建立起联系，提高分析问题、解决问题的能力；以“面动成体”为探究活动，引导学生猜想与验证，巩固计算体积的方法，提高分析能力和推理能力。
学习目标
1.在解决问题中进一步巩固计算圆柱体积的方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.在观察与分析中体会形变体积不变的解题策略，在猜想与验证中对平面与立体建立联系，提高分析、抽象、概括和推理能力，积累数学活动经验。
3.通过主动参与学习活动获得探究数学乐趣，体会形变体积不变在解决实际问题中的作用。
三、教学过程
活动一：回顾经验，解决问题
1.复习圆柱体积的计算方法。
圆柱的体积=底面积×高
2.根据条件，提出并解决问题。
已知底面半径为3厘米，高10厘米，你能提出并解决什么数学问题？
预设学生提出的问题：
这个圆柱的侧面积是多少平方厘米？
这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
这个圆柱的体积是多少立方厘米？
（1）计算这个圆柱的表面积：
①两个底面积之和：3?×3.14×2=56.52（厘米?）
②圆柱的侧面积：
3×2×3.14×10=188.4（厘米?）
③圆柱的表面积：
56.52+188.4=244.92（厘米?）
答：这个圆柱的表面积是244.92厘米?。
（2）计算这个圆柱的体积：
3?×3.14×10=282.6（厘米?）
答：这个圆柱的体积是282.6厘米?。
3.观察图形，发现变化，解决问题。
仔细观察下图，你又能提出并解决什么数学问题呢？
预设学生提出的问题：
提问：（1）把圆柱转化为近似长方体后，什么变了？什么没变？
（2）近似长方体的体积是多少立方厘米？
（3）表面积怎样变的？近似长方体的表面积是多少平方厘米？
引导学生观察发现：体积不变，表面积增加了。近似长方体的左右2个面是新增加的面，所以计算近似长方体的左右2个面的面积，就是增加的表面积。
4.解决问题：数学书第12页第10题
把高是10厘米的圆柱按下图切开，并拼成近似的长方体，表面积增加了60平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？
学生交流解决问题的方法。
分析：“表面积增加了60平方厘米”就是圆柱拼成近似长方体后增加了左右2个面的面积，右面是一个长方形，长方形的长相当于圆柱的高，长方形的宽相当于圆柱的底面半径，由此可以计算出底面半径，再计算圆柱的体积。
教师小结：在观察与分析中学会沟通图形转化前和转化后的联系。
活动二：借助经验，猜想验证
1.猜想：
用同一个长方形围绕不同的轴“旋转”可以得到不同的圆柱，同学们大胆猜想：你能给它们按体积大小排排队吗？说清猜想的理由。
学生展开猜想。
2.验证与反馈：对长方形长与宽设成具体数据，求出体积，再比出大小。
3.教师小结:把形的比较变成数的比较，便于比较大小。
活动三：迁移经验，转化图形
1.不规则物体体积：数学书第11页第6题
一块石头完全浸没在一个底面半径是10厘米的圆柱形水箱中，水面上升了2厘米。这块石头的体积是多少？
学生交流解决问题的方法。
分析：石头完全浸没在水中，水面上升了2厘米，上升部分水的体积就是石头的体积，也就是圆柱的体积，这样就解决问题了。
列式：10?×3.14×2=628（厘米?）
答：这块石头的体积是628厘米?。
2．解决问题。
（1）观察下图（图①），你获取了哪些数学信息？
预设：
这个瓶子高16厘米，水面高度8厘米，水的形状是圆柱形的。
补充条件，提出问题：
瓶子内部的底面积是30平方厘米。你能提出并解决哪些数学问题？
预设学生提出的问题：
①瓶子里水的体积是多少立方厘米？
②瓶子的容积是多少立方厘米？
聚焦问题：瓶子里水的体积是多少立方厘米？
分析：用瓶子内部的底面积乘水的高度就是水的体积。
水的体积：30×8=240（厘米?）
（2）观察图②，说出你的新发现。
预设：把这个瓶子倒立，这时水面高12厘米。
观察这两幅图，你又能提出并解决什么数学问题？
预设学生提出的问题：
①空余部分的体积是多少？
②瓶子的容积是多少立方厘米？
引导学生在观察中发现：水的体积没有发生变化。
聚焦问题：空余部分的体积是多少？
分析：观察图①发现空余部分是不规则的图形，再观察图②，瓶子倒立后，空余部分的体积就转化为一个小圆柱的体积，这样就可以计算出空余部分的体积。
（3）解决瓶子容积的问题。
分析：通过把瓶子倒立，可以把图①瓶内空余部分的体积转化为图②圆柱的体积，把不规则图形的体积转化为圆柱的体积。
3.教师小结：
当信息较多时，可以一幅图一幅图地分析，在观察中联想，分析变化中的不变，从而解决问题。
四、回顾总结
我们在分析这些问题时学会了观察图形的前后变化，沟通图形转化前和转化后的联系，在变化中找不变，相信大家会把今天的学习经验应用到后面的学习中。
课后作业
1.数学书第11页第3题：
2.数学书第12页第12题：
3.结合本课的学习经验，寻找生活中的实际问题，并尝试解决。
例如：计算瓶子的容积（如图）《圆柱的体积（二）》学习任务单
【课前准备】
准备一张长方形硬纸板（或一张长方形的纸），回忆：同一个长方形围绕不同的轴旋转得到的不同圆柱。（可以试着画一画）
【课上活动】
活动一：回顾经验
解决问题
1.
已知底面半径为3厘米，高10厘米，你能提出并解决什么数学问题？
2.
仔细观察下图，你又能提出并解决什么数学问题呢？
（已知底面半径为3厘米，高10厘米。）
3.解决问题：数学书第12页第10题
10.把高是10厘米的圆柱按下图切开，并拼成近似的长方体，表面积增加了60平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？
活动二：借助经验
猜想验证
1.猜想：同一个长方形围绕不同的轴“旋转”可以得到不同的圆柱，你能给它们的体积大小排排队吗？
写出你的猜想，并说明理由。
2.想办法验证自己的猜想。
3.结论。
活动三：迁移经验
转化图形
1.数学书第11页第6题
一块石头完全浸没在一个底面半径是10厘米的圆柱形水箱中，水面上升了2厘米。这块石头的体积是多少？
2．解决问题。
（1）这个瓶子内部的底面积30平方厘米。你能提出并解决哪些数学问题？
（2）观察这两幅图，你又能提出并解决哪些数学问题？
【课后作业】
1.
数学书第11页第3题。
2.数学书第12页第12题。
3.结合本课的学习经验，寻找生活中的实际问题，并尝试解决。
例如：计算瓶子的容积（如图）
【参考答案】
1.数学书第11页第3题
分析：为了计算简便，可以带着“π”进行运算
甲杯：（6÷2）?×π×3=27π（厘米?）
乙杯：（4÷2）?×π×7=28π（厘米?）
27π＜28π
所以乙杯的果汁多。
或：
甲杯：（6÷2）?×3.14×3=84.78（厘米?）
乙杯：（4÷2）?×3.14×7=87.92（厘米?）
84.78厘米?＜87.92厘米?
所以乙杯的果汁多。
2.数学书第12页第12题
分析：要比较哪个水族箱中鱼的活动空间大，应先分别算出水族箱中水的体积，再比较。
甲：5×3×4=60（分米?）
60÷30=2（分米?）
乙：（6÷2）?×3.14×3=84.78（分米?）
84.78÷50=1.6956（分米?）
2分米?＞1.6956分米?
所以甲水族箱中鱼的活动空间大一些。
3.略。
