《正比例的意义》学习任务单
【课上活动】
活动一：观察图表
发现规律
1.这是乐乐在“泡大蒜”的实验中拍的照片和记录的数据。
请大家仔细观察，你能试着说说有几种变化的量吗？
2.观察大小不同的正方形画框，有哪些发现呢？
3.观察下图，你能提出并解决什么数学问题？
6个完全相同的圆柱形水杯，内部的底面积是40平方厘米。
4.
有360块月饼，如果选择不同规格的盒子包装。分别需要多少个包装盒？
说说你的发现。（可以用不同方式表达吗？）
5.
乐乐、芳芳、圆圆、冬冬都在看《快乐童年》，情况如下表。把表填写完整。
?
乐乐
芳芳
圆圆
冬冬
看了的页数
40
24
50
75
剩下的页数
60
?
?
?
6.
先试着用一种更加直观地方式表示出每个情境中两种相关联的量的变化规律，再对比观察，你有哪些发现？
活动二：分析规律
理解意义
1.仔细观察，你有哪些新发现？
水面高度/厘米
2
4
6
9
15
20
水的体积/立方厘米
80
160
240
360
600
800
2.正方形的边长与周长是两种相关联的量，这两种量是怎样变化的？
3.
这是某汽车行驶的时间和路程的统计表，我们仔细观察表格中的信息，你能提出并解决哪些数学问题呢？
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
……
路程/千米
90
180
270
360
450
540
630
……
4.每个情境中的两种相关联的量有什么共同特点吗？
活动三：联系生活
理解意义
1.观察图表，解决问题
佳佳陪妈妈去买菜，这是佳佳记录人们购买土豆的数量和总价的情况，如下表。大家仔细观察佳佳的这张统计表，结合这节课的内容，说说你的发现。
（你能用不同的方式表达吗？）
你能试着画图吗？再观察，有哪些新发现？
2.举例：生活中还有哪些成正比例的量？
【课后作业】
1.
数学书第38页练一练第1题
2.
数学书第40页第2题
3.结合本课的相关内容，寻找生活中还有哪些成正比例的量？并说明理由。
【参考答案】
1.数学书第38页练一练第1题
（1）
（2）比值表示的是速度，比值相等说明比值一定。
（3）这架飞机的航程和飞行时间是成正比例的量。航程和飞行时间是两种相关联的量。当速度不变时，航程是随着时间的变化而变化的：时间扩大，航程就随着扩大；时间缩小，航程就随着缩小。航程与时间这两种相关量的量相对应的比值一定（也就是速度一定），我们就说，航程和时间是成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系。
2.
数学书第40页第2题
（1）平行四边形的高与面积是两种相关联的量。当平行四边形的底不变时，平行四边形的面积随着高的变化而变化：平行四边形的高扩大，面积就随着扩大；平行四边形的高缩小，面积就随着缩小。平行四边形的面积与高这两种相关联的量相对应的比值一定（也就是平行四边形的底一定），我们就说，平行四边形的高和面积是成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系。
（2）因为小明的年龄与他的身高的比值不一定，所以不成正比例。
（3）订阅《儿童画报》花费的总钱数和份数是两种相关联的量。当单价一定时，订阅《儿童画报》花费的总钱数随着份数的变化而变化：份数扩大，总钱数就随着扩大；份数缩小，总钱数就随着缩小。订阅《儿童画报》花费的总钱数与份数这两种相关联的量相对应的比值一定（也就是单价一定），我们就说，订阅《儿童画报》花费的总钱数和份数是成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系。
（4）正方形的周长和边长是两种相关联的量。它们的比值是4，正方形的周长随着边长的变化而变化：正方形的边长扩大，周长就随着扩大；正方形的边长缩小，周长就随着缩小。正方形的周长与边长这两种相关联的量相对应的比值一定（都是4），我们就说正方形的周长和边长是成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系。
（5）织布的总长度和所用的时间是两种相关联的量。当每小时织布的长度一定时，织布的总长度随着所用的时间的变化而变化：所用的时间扩大，织布的总长度就随着扩大；所用的时间缩小，织布的总长度就随着缩小。织布的总长度与所用的时间这两种相关联的量相对应的比值一定（也就是每小时织布的长度一定），我们就说，织布的总长度和所用的时间是成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系。
3.
结合本课的相关内容，寻找生活中还有哪些成正比例的量？并说明理由。
答案略第二单元第9课时：正比例的意义
年级：六年级
教材版本：北京版
一、教学背景简述
《正比例的意义》是学生在已经学习了比和比例的基础上进行学习的，可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识，使学生初步学会从变量的角度来认识两种量之间的关系。
学生对于比较抽象的内容不易理解，本课通过丰富具体的情境进一步认识相关联的量，经历观察、分类等活动理解相关联的量的变化规律，理解正比例的意义，并能够根据给出的正比例关系的数据在方格纸上画图，经历从实际问题抽象出数量关系的过程，为后面《反比例的意义》的学习积累活动经验及思考的方法。
二、学习目标
1.通过实例发现生活中两种相关联的量，经历观察、分类等活动发现相关联的量的变化规律，理解正比例的意义，并依据正比例的意义判断两种量是否成正比例。
2.经历观察、分类、交流等数学活动，初步感受图像、表格、关系式之间的联系，体会数形结合的思想，发展推理能力。
3.初步感受到事物是普遍联系的，尝试用联系的眼光观察、分析生活中的数学现象。
三、教学过程
活动一：观察图表，发现规律
1.情境1：观察大蒜的浸泡时间和蒜苗高度的变化。
提问：这是乐乐在“泡大蒜”的实验中拍的照片和记录的数据。请大家仔细观察，你能试着说一说有几种变化的量吗？
预设：
我发现：蒜苗的高度是随着浸泡时间的变化而变化的，蒜苗高度和浸泡时间是两种相关联的量。时间越长，蒜苗长的就越高，不过我们都有经验，泡到一定程度蒜苗就不长了，也会变黄。
2.情境2：观察大小不同的正方形画框，有哪些发现呢？
预设：正方形的周长是随着边长的变化而变化的，正方形的边长和周长是两种相关联的量。在观察中还会发现：正方形边长越长，周长就越长；正方形的边长越短，周长就越短。
3.情境3：观察下图，你能提出并解决什么数学问题？
6个完全相同的圆柱形水杯，内部的底面积是40平方厘米。
预设：
每个杯子里分别装了多少立方厘米的水？（列式解答）
有哪些新发现？
①水杯内部底面积相同，水的体积随着水面高度的变化而变化，水的体积和水面高度是两种相关联的量。
②从左到右观察：底面积相同时，发现水面高度越高，水的体积就越大；从右到左观察，水面高度越低，水的体积就越小。
4.情境4：有360块月饼，如果选择不同规格的盒子包装。分别需要多少个包装盒？说说你的发现。
预设：
列式计算：
360÷4=90（个）
360÷6=60（个）
360÷9=40（个）
……
列表观察：
每盒块数
4
6
9
10
12
……
包装盒的个数
90
60
40
36
30
……
因为总块数是360块不变，每盒装的块数变化了，需要的包装盒的个数也就变化了，所以每盒的块数和包装盒的个数是两种相关联的量。从左到右观察，发现：总块数不变，每盒装的块数越多，需要的包装盒的个数反而越少；从右到左观察，每盒装的块数越少，需要包装盒的个数反而越多。
5.情境5：乐乐、芳芳、圆圆、冬冬都在看《快乐童年》，情况如下表。请把表填写完整。
?
乐乐
芳芳
圆圆
冬冬
看了的页数
40
24
50
75
剩下的页数
60
?
?
?
预设：
列式计算：
总页数：40+60=100（页）
芳芳：100-24=76（页）
圆圆：100-50=50（页）
冬冬：100-75=25（页）
把表填写完整，有哪些发现？
?
乐乐
芳芳
圆圆
冬冬
看了的页数/页
40
24
50
75
剩下的页数/页
60
76
50
25
总页数不变，看了的页数越多，剩下的页数就越少；看了的页数越少，剩下的页数反而越多。所以看了的页数和剩下的页数是两种相关联的量。
6.先试着用一种更加直观地方式表示出每个情境中两种相关联的量的变化规律，再对比观察，你有哪些发现？
活动二：分析规律，理解意义
1.仔细观察，你有哪些新发现？
水面高度/厘米
2
4
6
9
15
20
水的体积/立方厘米
80
160
240
360
600
800
预设：
①底面积是不变的，水的体积是随着水面的高度变化而变化的，我们从左到右观察发现：水面高度越高，水的体积就越大；从右到左观察：水面高度越低，水的体积越小。
②底面积不变时，水面高度扩大，水的体积也随着扩大；水面高度缩小，水的体积也随着缩小。
③用关系式表达：=底面积（不变），也就是底面积一定。
2.正方形的边长与周长是两种相关联的量，这两种量是怎样变化的？
预设：
①可以列表举例子进行分析。
正方形周长
边长
比值
8
2
4
16
4
4
20
5
4
32
8
4
……
……
……
发现：正方形的周长随着边长的变化而变化，正方形的边长和周长是两种相关联的量。从上往下看，边长越长，周长就越长；边长越短，周长也越短。
②通过计算发现：正方形的边长扩大，周长就随着扩大；正方形的边长缩小，周长也随着缩小。
③=4（一定）
④在观察中发现正方形的周长与边长的变化规律，在计算中还发现一种不变的量。
3.这是某汽车行驶的时间和路程的统计表，仔细观察表格中的信息，你能提出并解决哪些数学问题呢？
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
……
路程/千米
90
180
270
360
450
540
630
……
预设提出的问题：
表中有哪两种量？它们是相关联的量吗？
用自己的话说说路程和时间这两种量是怎样变化的？
在变化的过程中什么没有变？
预设解答：
①观察上面的表格，我发现有路程和时间两种量，因为时间在变化，路程也随着变化，所以路程和时间是两种相关联的量。
②从左到右看：时间越长，行驶的路程就越远；从右到左观察，时间越短，行驶的路程就越近。
③速度不变时，时间扩大，路程就随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小。
④计算发现：比值是不变的，这个比值就是速度。
同学们，真善于观察与思考，希望大家后面的学习中也可以从这几方面进行分析。
4.观察相同点，理解正比例意义。
有两种相关联的量；一种量扩大或缩小，另一种量也随着扩大或缩小；两种量中相对应的两个数的比值一定。具有这些特点的两种量，我们就说它们是成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系。
如果用字母x、y分别表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值，上面的数量关系可以用下面的式子表示：=k（一定）
活动三：联系生活，理解意义
1.观察图表，解决问题
佳佳陪妈妈去买菜，这是佳佳记录人们购买土豆的数量和总价的情况，如下表。大家仔细观察佳佳的这张统计表，结合这节课的内容，说说你的发现。
预设：
从表中发现有数量和总价两种量，因为总价是随着数量的变化而变化的，所以数量和总价是两种相关联的量。
购买苹果的单价是不变的，计算后知道是5元。
当单价一定时，购买苹果的数量扩大，总价也随着扩大；数量缩小，总价也随着缩小。总价与数量是成正比例关系的量，它们的关系是正比例关系。
用关系式表示：=单价（一定）
教师：我们可以用自己的话表达它们的变化规律，也可以用关系式来表达。那能不能用图来表达呢？
2.画图分析，理解意义
把每组数相对应的点描出来，观察图，再次说说自己的发现，理解意义。
（1）描点
（2）如果没有买土豆，是多少千克？多少元？0千克，0元。找到这个点。
想象：把这些点连起来是什么样？购买的数量和总价对应的点在一条直线上。
（3）新发现：
①如果李阿姨买了3千克，花了15元。如果买了6千克，花了30元。新发现：购买的数量如果是2倍关系，花的钱数也是2倍关系。
②如果买2.5千克土豆大约要花多少元？
先找到2.5千克在这条直线上对应的点，再找这个点对应的总价，就知道是12.5元了。
3.生活中还有哪些成正比例的量？
四、回顾反思
我们在观察、比较中发现两种相关联的量的变化规律，能联系生活实际判断两种相关联的量是否成正比例，用不同的方法分析表达规律。
五、课后作业
1.数学书第38页练一练第1题
2.数学书第40页第2题
3.结合本课的相关内容，寻找生活中还有哪些成正比例的量？并说明理由。
